問題變式與訓練在數學概念教學中的應用與思考

☉江蘇省木瀆高級中學 李雅萍

筆者所聽取的一節區級公開課的教學設計完整且教學環節規范，很好地實現了執教者所預設的教學目標，例題設計對于學生理解、轉換以及解決問題能力的考查也體現得相當到位，取得了很好的教學效果.本文結合實際案例以及概念變式教學中的引入、表征、辨析、應用這四個環節對中學數學概念變式教學的策略進行了積極的思考和小結.

一、教學設計的分析

問題是數學的心臟，而變式教學則是問題的驅動.變式教學的問題驅動可以從概念性變式與過程性變式兩個方面來設計，前者借助直觀或具體的變式引入概念并使概念的本質屬性得以凸顯，繼而得到概念的科學外延；而后者則在概念形成過程的揭示中，不斷通過問題的設置與解決使得特定經驗系統的變式得以成功構建.

有些教師在“弧度制”的教學中一般會單刀直入地給出角度制和弧度制之間的換算關系，然后再布置很多的習題供學生反復演練，這是不可取的.實際上，教師在概念教學中應基于數學知識自身的生長點進行問題驅動的設計，使得數學知識的發生、發展、形成過程因為問題的驅動而得到清晰的展示，才能獲得意想不到的良好教學效果.

問題1：弧度制的引入有什么必要性呢？原有的角度制有什么不夠科學的地方？角度和實數的應用范圍不夠廣泛，而且數學學科對于統一性也是比較注重的.

問題2：實數用角來表示應如何進行？教師首先可以引導學生進行自主思考與嘗試，并根據學生的情況進行適時的點撥，啟發并引導學生在圓周率等于圓的周長和直徑的比值與新問題的聯系上得到角的弧度制這一表示方法，然后再引導學生在此基礎上過渡到角度制和弧度制之間的換算方法的學習上，促進知識框架搭建的問題驅動使得教學創新在問題設計中得到尤為生動而具體的展現.

問題的變式只是變式教學中的一個很小的組成部分，基本概念辨析型變式、公式的深化變式、多證變式、應用變式等等都是變式教學所涵蓋的豐富內容.數學概念的抽象性大多都是比較強的，教師如果在概念教學中進行簡單而直接的呈現，學生一般都比較難以接受與理解，但如果教師在概念教學中能夠注重其變式的設計，學生就能更好地掌握概念所體現的客觀實際，教師再適時引導學生對概念進行進一步的探討與變式研究，學生知其所以然后自然就會形成更加深刻的理解與感悟.

二、教學主要內容

（一）變式引入

1.復習：

（1）小學：角度制.

單位（1°角）：圓周角的為1°，圓周長l=2πr.

（2）初中：圓心角α所對的圓弧長l=α.

（3）上節課：以度數形式將任意角分成正角、零角、復角.

（4）單位圓：復習以原點為圓心、一個單位長為半徑的圓叫做單位圓.

問題：對于一個量的度量在日常生活中有很多方法，“角”的度量一樣如此，函數的定義域、值域等問題中關于角的研究，若仍然沿用小學時期學的角度制則會產生諸多不便.教師在教學中圍繞新授的概念進行了多角度問題情境的設計，使學生輕松找到“知識的固著點”并為后續的概念應用打下了堅實的基礎.

2.變式引入：弧度制

同一個圓中，圓心角的大小及其所對弧長是一一對應的，但半徑的變化會影響圓心角所對應的弧長.

如圖1，事實上

圖1

當α不變時，不管l和r怎樣改變，都是同一個比值（常數）.

（二）變式表征

1.弧度數

將圓心角所對的弧長和半徑的比值記作為α，那么，

圓心角所對的弧度數在圓的半徑是1個單位長度時就是這個角的弧度數，即α=l.

分析：不同角所對的弧度數也各不相同，角越大，其弧度數也就越大，因此，弧度數也是可以度量角的大小的度量單位.

2.弧度的角（單位）

1弧度的角也就是我們通常所講的單位圓中長是1個單位長度的弧所對應的圓心角，我們通常記作1rad.

注：（1）圓角的弧度數是2π（單位圓中，圓周長l=2π）.

（2）角的正負決定了該角弧度數的正負，而零角的弧度數即為零.

如圖1，弧AB可以看成射線OA繞著端點O旋轉過程中點A移至點B而形成的.

點A移動的方向有順時針與逆時針兩種，可用“-”、“+”來表示其方向.若單位圓弧長是3π，且所對圓心角α為負角，則α=-3π.

（3）半徑是r的圓中的任一角α的弧度數α的絕對值都會滿足：|α|=，其中l為圓心角α所對圓弧的長，r為半徑.

（三）變式辨析

1.弧度制

度量角的又一個單位制.

2.角度和弧度之間的互換

360°=2πrad，πrad=180°.

注：（1）1°=，1rad=（）°≈57°18′；（2）rad常省去不寫；（3）角有角度制與弧度制兩種度量方法.

（四）變式應用

例1 （1）將45°角化成弧度表示；

（2）將rad化成度數表示.

例2 如圖2，如果運用弧度來表達陰影部分角的集合應該是怎樣的呢？

變式應用：（1）將下列各角化成角度或者弧度：

圖2

①-300°； ②π.

（2）思考：手表上的時針與分針在3∶00至5∶35這個時間段內，時針與分針分別轉了______弧度與______的角.

作業：教材與練習冊上的習題.

小結：1.學生對于弧度制這一定義的理解；2.學生對于弧度制與角度制之間互相轉化的方法的掌握.

三、教學反思

1.學生對新概念的感悟與理解得益于變式教學的實施

學好數學的基礎與關鍵是對概念的正確理解，學生學習枯燥而抽象的數學概念時往往會產生索然無味的感覺，變式教學的實施不僅能讓學生感受到數學概念產生的背景與含義，還能使學生對概念、內涵的理解更加深刻而鮮明.

2.學生良好數學思維品質的形成與發展得益于變式教學的實施

“一題多解”、“一題多變”這些變式教學中常用的手段能使所學知識在更多不同情境與層次中得到反復的滲透與利用，學生對所學知識的再認識與再深化往往就在這一過程中得到很好的感悟與實現.

3.學生學習熱情的保持得益于變式教學的實施

課堂教學的效果容易受到學生參與度的極大影響，變式教學的實施使得教材前后知識的銜接更加自然而流暢，難度逐步增強且具有鮮明層次性的習題也使學生在不斷的探索中加深對知識、原理的理解與應用，學生在不斷變化的練習中能夠始終保持數學學習的新鮮情感與好奇心態，學習參與的動力與熱情也使良好的學習效果得到了有力的保障.

4.復習課教學效率的提升得益于變式教學的實施

綜合性或者有一定難度的變式令學生在復習梳理與解題中不斷聯系前后所學知識，數學思想方法的運用由此變得更加靈活而科學.

5.學生變式研究能力的鍛煉和提高得益于變式教學的實施

每年的高考試題都是一些基礎知識與常見典型例題加以變化而形成的，學生對于變式研究的能力越強也就越發能夠“窺得廬山真面目”，解題自然也就輕松了.

總之，教師一定要認識到變式教學在數學學習中的影響與價值，積極引導學生在探究、交流中不斷運用自己所學知識進行變式的研究與訓練.教師在變式教學中不僅要能夠深入研究、把握概念的本質內涵，并且還應該在此基礎上設計出更多有意義的變式問題，還要在引導、培養學生參與變式問題設計上動腦筋、想辦法，使學生能夠在不斷地積極參與中不斷發揮出自己的潛在能力，這不僅是學生知識掌握水平與能力的準確定位，也是教師衡量自身教學效果的檢驗與歸宿.學生不斷變化角度對問題的本質進行再認識并逐漸升華必須倚賴變式教學的精心設計與實施，不僅如此，學生在親身參與和實踐的數學學習活動中還能獲得自身數學思維品質、智力與綜合能力的良好發展.

1.李民權.讓“活”字貫穿整個數學課堂［J］.中學生數理化，2013（04）.

2.王增運.課堂生成性資源處理技巧淺探［J］.中學教學參考，2012（15）.J