解一題，拓一類
——一道2017年全國卷Ⅱ線性規劃的變式問題

☉江蘇省儀征市第二中學 俞仁宗

在數學解題過程中，往往通過對典型數學問題的解決并深入觀察，從中發現問題，提出問題，分析問題，并得以解決問題，真正達到“解一題拓一類，拓一類通一片”，避免“題海戰術”，從而真正培養思維品質，提升解題思維與解題能力，以不變應萬變.

高考真題 （2017·全國卷Ⅱ文·7，理·5）設x，y滿足則z=2x+y的最小值是（ ）.

（A）-15 （B）-9 （C）1 （D）9

分析：先根據條件作出對應不等式組的可行域，根據目標函數并結合可行域來確定最值問題.

解析：作出不等式組

所表示的平面區域，其是由點A（-6，-3），B（6，-3），C（0，1）圍成的三角形區域（包括邊界），對于目標函數z=2x+y，結合圖1知，過點A時取得最小值，最小值為-15，故選A.

點評拓展：解決線性規劃問題關鍵是先根據線性約束條件，畫出可行域，結合目標函數的特點，結合相應的幾何意義利用圖像求最值.利用線性規劃可以解決很多的相關問題，其解決問題的關鍵是：設出決策變量，利用圖像在線性約束條件下找出決策變量使線性目標函數達到最大或最小值.

圖1

變式1：設x，y滿足約束條件則其表示的平面區域的面積為______.

相似度：考查約束條件下的線性規劃可行域問題，區別在于本題是在線性規劃可行域約束條件下平面區域的面積問題，降低了難度，而高考真題是在給定的可行域約束條件下求目標函數的最小值.

解析：作出不等式組所表示的平面區域，其是由點A（-6，-3），B（6，-3），C（0，1）圍成的三角形區域（包括邊界），如圖2.

圖2

由于|AB|=|6-（-6）|=12，點C（0，1）到直線AB：y+3=0的距離為h=d=|1+3|=4，那么S=×12×4＝24.△ABC

變式2： 設x，y滿足約束條件的最大值是（ ）.

（A）15 （B）12 （C）9 （D）6

相似度：考查在線性規劃可行域約束條件下求目標函數的最值問題，區別在于本題是在給定的可行域約束條件下求目標函數的最大值，而高考真題是在給定的可行域約束條件下求目標函數的最小值.

解析：作出不等式組所表示的平面區域，其是由點A（-6，-3），B（6，-3），C（0，1）圍成的三角形區域（包括邊界）.

對于目標函數z=2x+y，結合圖1知，過點B時取得最大值，最大值為9，故選C.

變式3：設x，y滿足約束條件的最大值為9，則實數m=（ ）.

（A）-1 （B）-2 （C）1 （D）2

相似度：考查在線性規劃可行域約束條件下目標函數的相關問題，區別在于本題根據目標函數的最值問題求解約束條件中的相關不等式中的參數值，而高考真題直接根據可行域求解目標函數的最值問題.

解析：將目標函數變形為y=-2x+z，當z取最大值，則直線縱截距最大，故當m≤0時，不滿足題意；

當m＞0時，作出不等式組其是由點A（-6，-3），C（0，1）圍成的三角形區域（包括邊界），如圖3.對于目標函數z=2x+y，顯然過點時取得最大值，最大值為z=2×-3=9，解得m=2.故選D.

圖3

變式4：設x，y滿足約束條件（k＞0）的最小值等于-15，則實數k=______.

相似度：考查在線性規劃可行域約束條件下目標函數的相關問題，區別在于本題根據目標函數的最值問題求解相應的參數值，而高考真題直接根據可行域求解目標函數的最值問題.

解析：作出不等式組所表示的平面區域，其是由點A（-6，-3），B（6，-3），C（0，1）圍成的三角形區域（包括邊界），如圖1.

當k＞0時，目標函數z=kx+y過點A（-6，-3）時取得最小值為k×（-6）-3=-15，解得k=2.

變式5：設x，y滿足約束條件最小值為______，最大值為______.

相似度：考查在線性規劃可行域約束條件下目標函數的相關問題，區別在于本題是在給定的可行域約束條件下，結合斜率的幾何意義確定相關分式的最值問題，增加了知識點與難度，而高考真題直接根據可行域求解目標函數的最值問題.

圖4

解析：作出不等式組所表示的平面區域，其是由點A（-6，-3），B（6，-3），C（0，1）圍成的三角形區域（包括邊界），如圖4.由表示的是可行域內的點P（包括邊界）與點P（-9，-5）的連線的斜率，那么由相應的可行域可知，當取交點B（6，-3）時，此時直線PB的斜率最小，即

點P經過直線AC：2x-3y+3=0，此時直線PAC的斜率最大，即

變式6：設x，y滿足約束條件9）2+（y+5）2的最小值為______，最大值為______.

相似度：考查在線性規劃可行域約束條件下目標函數的相關問題，區別在于本題是在給定的可行域約束條件下，結合平面內兩點間的距離公式、點到直線的距離公式確定相關等式的最值問題，增加了知識點與難度，而高考真題直接根據可行域求解目標函數的最值問題.

解析：作出不等式組所表示的平面區域，其是由點A（-6，-3），B（6，-3），C（0，1）圍成的三角形區域（包括邊界），如圖4.

由于z=（x+9）2+（y+5）2表示的是可行域內的點（包括邊界）與點P（-9，-5）的連線的長度的平方，

那么由相應的可行域可知，當取交點B（6，-3）時，此時線段PB的長度最大，即|PB|2=（6+9）2+（-3+5）2=229；

當取交點A（-6，-3）時，此時線段PA的長度最小，即|PA|2=（-6+9）2+（-3+5）2=13.J