一道高考題引發(fā)的思考

☉福建省同安第一中學(xué) 譚新華

高考題凝聚著眾多命題專家的心血，是命題專家智慧的結(jié)晶.有些高考題構(gòu)思精巧，立意深遠(yuǎn)，解法多樣，背景深刻，令人拍案叫絕.這些高考題為一線教師的教學(xué)提供了豐富的教學(xué)資源和一定的教學(xué)導(dǎo)向.如何充分挖掘高考題的價(jià)值，是一個(gè)值得深入研究的問題.筆者最近在教學(xué)中遇到2010年四川理科數(shù)學(xué)第21題，對(duì)它進(jìn)行了一定的研究，引發(fā)了一些思考，發(fā)現(xiàn)了圓錐曲線的一個(gè)優(yōu)美性質(zhì)，特寫此文與同行一起探討.

一、考題再現(xiàn)

題目 （2010年四川卷理21）已知定點(diǎn)A（-1，0），F(xiàn)（2，0），定直線l：x=，不在x軸上的動(dòng)點(diǎn)P與點(diǎn)F的距離是它到直線l的距離的2倍.設(shè)點(diǎn)P的軌跡為E，過點(diǎn)F的直線交E于B、C兩點(diǎn)，直線AB、AC分別交l于點(diǎn)M、N.

（1）求E的方程；

（2）試判斷以線段MN為直徑的圓是否過點(diǎn)F，并說明理由.

二、解法展示

解析：（1）設(shè)P（x，y），則整理得x2-=1（y≠0）.

（2）①當(dāng)直線BC與x軸不垂直時(shí)，設(shè)BC的方程為y=k（x-2）（k≠0），與雙曲線x2-=1聯(lián)立，消去y整理得（3-k2）x2+4k2x-（4k2+3）=0，由題意知3-k2≠0且Δ＞0.

因?yàn)閤1、x2≠-1，所以直線AB的方程為

②當(dāng)直線BC與x軸垂直時(shí)，其方程為x=2，則B（2，3），C（2，-3）.

綜上F →M·F →N=0，即FM⊥FN，故以線段MN為直徑的圓經(jīng)過點(diǎn)F.

筆者經(jīng)過探究還發(fā)現(xiàn)，以線段MN為直徑的圓與直線BC相切于F點(diǎn).下面予以證明：

所以PF⊥BC，于是以線段MN為直徑的圓與直線BC相切于F點(diǎn).

三、拓展推廣

將上述結(jié)論一般化，有：

命題1：已知雙曲線-=1，雙曲線的左頂點(diǎn)為A，過右焦點(diǎn)F的直線交雙曲線于B、C兩點(diǎn)，直線AB、AC分別交右準(zhǔn)線l于點(diǎn)M、N，則以線段MN為直徑的圓與直線BC相切于F點(diǎn).

證明：設(shè)B（x1，y1），C（x2，y2），直線BC的方程為y=k（x-c），與橢圓方程聯(lián)立消去y得（b2-a2k2）x2+2a2k2cx-a2（k2+b2）=0.

圖1

所以以線段MN為直徑的圓與直線BC相切于F點(diǎn).

命題2：已知橢圓+=1，橢圓的左頂點(diǎn)為A，過右焦點(diǎn)F的直線交橢圓于B、C兩點(diǎn)，直線AB、AC分別交右準(zhǔn)線l于點(diǎn)M、N，則以線段MN為直徑的圓與直線BC相切于F點(diǎn).

圖2

證明：設(shè)B（x1，y1），C（x2，y2），直線BC的方程為y=k（x-c），與橢圓方程聯(lián)立消去y得（a2k2+b2）x2-2a2k2cx+a2（k2-b2）=0.

所以以線段MN為直徑的圓與直線BC相切于F點(diǎn).

命題3：已知y2=2px，過焦點(diǎn)F的直線交拋物線于A、B兩點(diǎn)，直線OA、OB分別交準(zhǔn)線l于點(diǎn)M、N，則以線段MN為直徑的圓與直線AB相切于F點(diǎn).

證明：設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），直線AB的方程為y=k（ x-），與拋物線方程聯(lián)立消去y得k2x2-（2p+pk2）x+k=0.

圖3

所以以線段MN為直徑的圓與直線AB相切于F點(diǎn).

四、教學(xué)啟示

1.蘑菇戰(zhàn)術(shù)

數(shù)學(xué)教育家波利亞曾形象的指出：“好問題同某種蘑菇有些相像，它們都成堆地生長(zhǎng)，找到一個(gè)以后，你應(yīng)當(dāng)在周圍找一找，很可能附近就有好幾個(gè).”在解題教學(xué)中，如果我們就題論題，那么就失去了一次數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)的機(jī)會(huì)，就沒有很好地發(fā)揮試題的教學(xué)效益.我們的教學(xué)就可能陷入題海戰(zhàn)術(shù)的深淵，加重學(xué)生的學(xué)習(xí)負(fù)擔(dān).但倘若我們做一番思考，借題發(fā)揮，深入挖掘題目的縱橫聯(lián)系，充分利用題目的價(jià)值，就能提高教學(xué)效率，同時(shí)也能教給學(xué)生數(shù)學(xué)的思維方式，培養(yǎng)學(xué)生思維的靈活性、深刻性，提高解題教學(xué)的品位.這種教學(xué)策略也叫做蘑菇戰(zhàn)術(shù).正所謂遇題思三遍，題海不再現(xiàn).

2.探究教學(xué)

《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》明確指出：“有效的學(xué)習(xí)活動(dòng)不能單純依賴模仿與記憶，動(dòng)手實(shí)踐、自主探究、合作交流是學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的重要方式.”圓錐曲線是培養(yǎng)學(xué)生探究能力的良好素材，三種圓錐曲線之間具有相似性.因此，在教學(xué)實(shí)踐中，可以鼓勵(lì)學(xué)生先大膽提出猜想，然后可以借助幾何畫板初步驗(yàn)證，最后再通過嚴(yán)密的推理論證.學(xué)生通過自己探索發(fā)現(xiàn)得到的知識(shí)、結(jié)論將深深地烙印在他們的腦海中，歷久彌新.誠如富蘭克林所說的：“告訴我，我會(huì)忘記；教給我，我會(huì)記住；讓我參與，我才會(huì)掌握.”

3.運(yùn)算素養(yǎng)

大部分學(xué)生對(duì)圓錐曲線有畏難情緒.究其原因，主要是學(xué)生的運(yùn)算能力不高導(dǎo)致望題興嘆.因此，在教學(xué)中，必須下大力氣培養(yǎng)學(xué)生的運(yùn)算求解能力.可以采取以下幾個(gè)策略：（1）明晰算理.學(xué)生必須對(duì)基本概念、基本公式、基本法則熟練掌握，深刻理解.（2）養(yǎng)成良好的運(yùn)算習(xí)慣.學(xué)生在運(yùn)算過程中必須專心、細(xì)心，書寫工整，方能減少運(yùn)算失誤.與此同時(shí)，學(xué)生也必須具備鍥而不舍的毅力，才能克服運(yùn)算過程的繁雜，求得最終結(jié)果.（3）注重檢查.學(xué)生在解題中必須具備自我監(jiān)控和反思的意識(shí)，對(duì)運(yùn)算過程中可能出現(xiàn)的不合理結(jié)果進(jìn)行及時(shí)糾正.F