導數的應用

摘要：極限貫穿于整個高等數學的始終，其計算對于學生后續學習非常重要，洛必達法則屬于極限計算的重要方法，文章通過舉例說明洛必達法則解決的常見的幾種極限形式，并根據在教學過程的心得提出了對于高職學生在運用洛必達法則的過程中的注意事項。

關鍵詞：洛必達法則；極限；高職教學

極限是學生從高中數學到高等數學過度的第一課，也是學生學習高等數學遇到的第一道坎，然而極限方法是研究變量的一種基礎方法，也是后續導數及微積分學習的重要基礎，然而，在高職教學過程中，由于學生的基礎以及后續專業課對基礎課的需求，我們在高等數學的教學中弱化了學生對理論的推導與掌握，我們的重點更偏向于計算部分，因此，在極限的學習當中，極限計算的方法在高職學生接觸高等數學的第一課顯得尤為重要。

在極限的計算形式當中，主要有既定式和未定式兩種形式的計算，對于既定式的求解，由于其采用的方法比較簡單（直接代入法），所以高職學生易于掌握，但對未定式極限的計算，由于其類型復雜，不同類型的處理方法有所不同，所以求解技巧性強，對于高職學生來說掌握有一定難度，但當運用洛必達法則解決未定式極限時，其技巧性稍弱，學生掌握起來更容易。

所以，本文對運用洛必達法則求解各種未定式極限進行相應舉例說明，并總結了在高職教學中運用洛必達法則過程中需要注意和經常出現的問題，為高職學生學習洛必達法則提供了一定的幫助。

一、 洛必達法則

若函數f（x）和g（x）滿足：

（1）limx→x0f（x）=limx→x0g（x）=0（或limx→x0f（x）=limx→x0g（x）=∞

（2）若函數f（x）和g（x）在點x0處的某個去心領域內均可導，且g（x）′≠0

（3）limx→x0f（x）′g（x）′=A（或∞）

則有limx→x0f（x）g（x）=f（x）′g（x）′=A（或∞）

二、 洛必達法則解未定式極限方法舉例

（一） 直接運用洛必達法則00型與∞∞型

此類函數求極限只需運用洛必達法則直接對此分式函數的分子分母求導，直到分子分母只要有一個不為0或∞

此類型函數舉例如下：

1. 00型

例1limx→0ex-e-xsinx=00limx→0ex+e-xcosx=2

2. ∞∞型

例2limx→+∞x2ex=∞∞limx+∞2xex=limx→+∞2ex=0

（二） 需要變形計算（∞-∞型、0型、00型、1型、∞0型等）

1. ∞-∞型

對于此類函數的極限，我們需要將其變為00型或∞∞型，處理手段有以下兩種：

（1）通分

例3limx→32x2-9-1x-3=

∞-∞limx→32-x+3x2-9=limx→3-12x=-16

（2）有理化：①分子有理化；②分母有理化

由于有理化主要針對含有根號的式子，而根號的出現會使得求導過程變得復雜，鑒于數學計算的目的是計算變得簡單、可行，所有對于含有根號的

00型或∞∞型，我們一般不采取洛必達法則求解，而采取其他求極限的方法進行求解。

2. 0·∞型

處理方法：針對此類函數極限應用洛必達法則求解時，我們通常需要選擇其中一個因式到分母，將兩個式子相乘變為兩個式子相除，從而將0·∞型變為00型或∞∞型，由于洛必達法則涉及求導問題，所以在選擇誰去作為分母時，我們通常遵循的原則是：選擇更易于求導的式子去作為分式函數的分母，這樣才不會使得我們的求解過程變得復雜或不易求出。

此類型函數舉例如下：

例4limx→0-x2·e1x2

=0·∞limx→0-e1x21x2=limx→0-e1x2·（-2）x-3（-2）x-3=∞

3. 00型、1型、∞0型等

處理方法：對于既是指數函數，又是冪函數型的式子求極限，為了不使整個計算式子太復雜，我們可以先求以此函數式為真數的對數函數的極限，然后通過利用對數的運算法則，可以將此類型函數的極限轉化為兩個式子相乘，再利用0.型極限的計算方法，求出此對數函數的極限，最后，利用對數與指數函數互為反函數的性質，再反求以此次極限結果為指數的結果，即為所求的函數的極限。

此類型函數舉例如下：

例5limx→0+（sinx）x

解：此型式為00型

limx→0+ln（sinx）x=limx→0+xln（sinx）

=limx→0+ln（sinx）1x=limx→0+cosxsinx-1x2

=limx→0+-x2cosxsinx=limx→0+-x2cosxx=0

limx→0+（sinx）x=e0=1

例6limx→1x11-x

解：此型式為1∞型

limx→1lnx11-x=limx→111-xlnx=limx→1lnx1-x=limx→11x-1=-1

limx→1x11-x=e-1=1e

例7limx→1cotx1lnx

解：此型式為∞∞型

limx→1lncotx1lnx=limx→11lnxlncotx=limx→1lncotxlnx

=limx→1-csc2xcotx1x=limx→1-xsinxsin2xcosx=-1limx→1cotx1lnx=e-1=1e

三、 洛必達法則教學心得

（一） 洛必達法則求極限，其技巧性不如直接求極限方法強，學生掌握起來比較容易，但是其適用于易于求導數的表達式，當表達式不易于求導數（比如含有根號的式子）時，盡管可以運用洛必達法則，但會使得運算過程比較復雜，所以建議考慮運用其他方法。

（二） 運用洛必達法則的終止：當分子分母同時是無窮大或0時，可以無限次使用洛必達法則，但當使用之后分子分母只要有一個不為0或無窮大時，則需要停止使用洛必達法則。

（三） 洛必達法則與其他求極限方法的混用：在使用洛必達法則時，等價無窮小的替換可以與其一起使用，這樣會使得求導數的運算變得簡單，但是，無窮小的替換一定要在運用洛必達法則之前完成，千萬不能分子分母一個在進行等價無窮小的替換，一個在運用洛必達法則，即洛必達法則的使用一定要分子分母同步。

（四） 洛必達法則不是萬能，有些式子的雖然符合洛必達法則的使用條件，但是運用洛必達法則無法計算出結果或極限不存在，這時并不表明此式子的極限不存在，以下例子將說明這個問題，此時我們需要考慮運用其他方法。

例8limx→∞x+sinx1+x

解：根據其類型觀察，此類函數屬于∞∞型，根據洛必達法則的使用條件，我們可以運用洛必達法則，運用洛必達法則結果如下：

limx→∞x+sinx1+x=limx→∞1+cosx1=limx→∞1+cosx

根據函數極限的定義，由于limx→∞cosx的極限不存在，所以limx→∞

1+cosx的極限不存在

而此函數通過其他方法計算函數極限如下：

limx→∞x+sinx1+x=limx→∞（x1+x+sinx1+x）=limx→∞x1+x+

limx→∞sinx1+x=limx→∞11+1x+limx→∞sinx1+x

因為limx→∞11+1x=1

limx→∞11+x=0

所以limx→∞x+sinx1+x=1

參考文獻：

[1]周承貴，熊啟才，龍偉忠.應用高等數學（理工類）[M].重慶：重慶大學出版社，2015.

作者簡介：羅光俊，貴州省貴陽市，貴州建設職業技術學院。