淺談中學數學的對稱美

摘要：數學自身是理性思維和想象力的結合體，數學美是集科學與藝術美為一體，主要包括對稱美、簡潔美、統一美，在數學史中，數學美是數學發展的重要因素，在學習的過程中，要善于發現數學之美，學會在欣賞美中獲得知識。其中對稱美是數學美中最顯著的表現形式，在中學數學中這一性質是非常常見的。欣賞對稱美，體會數學之美。

關鍵詞：中學數學；代數；幾何；對稱美

古希臘學者畢達哥拉斯說：“美就是和諧，整個天體是一種和諧，宇宙的和諧是由數組成的，因而構成了整個宇宙的美”。同畢達哥拉斯一樣，許多中外知名學者都認為數學是美的，數學美是自然美的客觀反映，是科學美的核心，其中表現最突出的是對稱美。對稱與美是緊密聯系的，對稱的事物給人一種視覺上的美感，精神上的享受，對稱性這一性質被廣泛地應用在生活中，比如某些著名的建筑，北京的紫禁城、印度的泰姬陵、巴黎的埃菲爾鐵塔等等，另外在自然界中，比如蝴蝶、楓葉、雪花、風車等也具有此性質，對稱性本身就是一種和諧、一種美，同時對稱性在數學教材中也是普遍存在的。

一、 數學定理及公式的對稱美

在中學數學中，有許多定理公式都具有對稱性，這一特點有利于學生的理解記憶。公式的對稱性主要是指公式中不同的運算符號可以改變，運算順序也可改變，例如平方和（差）公式（a±b）2=a2±2ab+b2，立方和（差）公式（a±b）3=a3±3a2b+3ab2±b3，其中a，b的位置可以互換，公式仍然成立。類似的公式還有很多，三角函數中的和、差、倍、半公式，兩角和差的正弦公式sin（α±β）=sinαcosβ±cosαsinβ還有兩角和差的余弦公式cos（α±β）=cosαcosβsinαsinβ等，這些公式的展開式都具有對稱性，使人讀起來有種節奏感，印象深刻。數學中的許多定理的對稱性也體現出數學的對稱美。比如初中教材中出現的平行四邊形的性質：“平行四邊形的對角線互相平分，”與平行四邊形的判定定理：“對角線互相平分的四邊形是平行四邊形。”這就是數學中定理的對稱關系，平行線的性質與平行線的判定定理也是具有對稱性的。從運算符號看，“+”與“-”“×”與“÷”也具有“對稱”關系。從數的角度看，奇數與偶數，整數與小數，約數與倍數，質數與合數也是具有對稱關系。這些關于數學的對稱性的認識讓我們對數學的學習又加深了一步，讓我們在學習數學的同時又體會著數學的美，進一步提高學生學習數學的興趣。

二、 代數中的對稱美

中學數學中的代數包括函數、不等式、數列、概率、解析幾何等部分。每個部分中都能體現出不同的數學對稱美。

1. 不等式的對稱美

在不等式中，我們可以任意的交換兩個字母，此不等式不會改變，這就是不等式的對稱性，例如不等式x+y+z≤3，xy+yz+xz≥1，a2+b2+c2≥ab+ac+bc等。

2. 函數的對稱美

函數是貫穿于整個中學數學的學習，也是整個中學數學學習的重心，而函數的對稱性是函數中最重要的性質之一，函數的對稱性主要體現在函數圖像具有對稱性，其中包括點對稱和線對稱。接下來以二次函數和三角函數為例來研究函數的對稱性，體驗對稱之美。

（1）二次函數中關于點的對稱美

二次函數y=ax2+bx+c（a≠0）的兩個零點A（x1，0）和B（x2，0），也就是方程ax2+bx+c=0（a≠0）的兩個解x1、x2，A點和B點在二次函數的圖像上是關于對稱軸x=-b2a對稱的兩個點，都在x軸上，由于二次函數的圖像整體都是關于x=-b2a對稱的，因此二次函數上有很多互相對稱的點，其對稱點式通用（x1，k），（x2，k），k是相當于把二次函數與x軸的交點上下平移k個單位。這種對稱主要是體現其圖形的對稱美，對稱性也給我們求解問題帶來了方便。

（2）三角函數的對稱美

三角函數一般包括正弦函數、余弦函數、正切函數、余切函數、正割函數與余割函數，其中正弦函數y=sinx與余弦函數y=cosx是三角函數中的常用函數，它們的函數圖像既是中心對稱圖形，又是軸對稱圖形。

正弦函數與余弦函數還是周期函數，它們的對稱軸和對稱中心有無數個，其對稱性使圖像看起來很美觀，做題時也容易讓我們根據其對稱性解決問題。

三、 幾何中的對稱美

幾何中的對稱性是最直觀、最易懂的性質，也是我們解題時最常用到的性質。幾何中的對稱一般包括點對稱、中心對稱、軸對稱，在平面幾何中等腰三角形、正方形、圓既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形，其中圓是具有性質最多的圖形。立體幾何中正方體、正四面體、球、長方體也是對稱圖形，球是最美的圖形，這些對稱圖形看起來有一種和諧美，讓人視覺得到享受。而這一性質被廣泛應用在我們的日常生活中，形成了許多美麗的圖形，神奇的建筑，豐富了我們的生活情趣，當我們走在街道兩邊，看到周圍的建筑，路旁的花花草草，川流不息的車輛無不顯示出人們創造出的對稱美。汽車的品牌、北京天壇的建筑和外國建筑都具有對稱性這一特點。

對稱美是數學美中最顯著的特征之一，而對稱美在中學數學教材中到處都存在，讓人們在學習數學中發現美，提高自身的數學素養，所以在教學過程中要注重把這種數學美呈現在學生面前，讓學生體會到這種美，從而可以提高學生學習數學的興趣。這些數學的性質給學生的學習帶來不少樂趣，讓其在課本上學習對稱美，在生活中體會數學美，了解數學和生活是密切相關的。正如英國哲學家、數學家羅素認為：“數學，如果正確的看它，不但擁有真理，而且也具有至高的美，是一種冷而嚴肅的美。”

參考文獻：

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作者簡介：宋丹丹，四川省南充市，西華師范大學數學與信息學院。