用單擺測量重力加速度的原理及大擺角時的等時性

黃海深　吳波

摘要：本文通過求解單擺的運動方程定性及定量地論證了單擺在任意擺角（不大于90度）下的等時性。結(jié)果顯示，擺角小于5度時，單擺的運動可以很好地近似為簡諧運動，周期的誤差不超過0.05%。隨著擺角的增大，周期迅速增大，誤差也急劇增大。

關(guān)鍵詞：單擺；周期；重力加速度

一、 引言

一個小球和一條細(xì)線就可以組成一個單擺，如圖1所示。單擺是一個很簡單的物理模型，因蘊(yùn)涵重要的物理思想，成為簡諧振動、非線性物理等教學(xué)中必講的內(nèi)容之一。同時由于在一定條件下具有解析解，單擺成為測量加速度的一個重要方法。用單擺測重力加速度實驗可見于中學(xué)物理實驗及部分大學(xué)物理實驗教材中，由于中學(xué)生還未學(xué)習(xí)微分方程，一般教材會直接給出周期的計算公式，中學(xué)生對公式的由來感到疑惑。大學(xué)生學(xué)習(xí)過微分方程之后，他們又會對“擺角必須小于5度”的限制條件產(chǎn)生懷疑：為什么加上這個條件？擺角大于5度時，單擺還具有等時性嗎？這是學(xué)生經(jīng)常問的問題，然而許多物理實驗教材并未給出解答。與此同時，還有一些粗心的同學(xué)，不管老師怎么強(qiáng)調(diào)，他依然會使用大擺角進(jìn)行實驗，那么這些同學(xué)的測量結(jié)果誤差多大？本文試圖從定性及定量的角度進(jìn)行回答。

二、 運動方程

單擺雖然簡單，卻處在一個非常復(fù)雜的物理背景之下，許多因素都會影響它的運動，進(jìn)而影響它的運動方程的形式。限于篇幅，本文不考慮細(xì)線的質(zhì)量和伸縮、球的大小、各種阻力及浮力。設(shè)細(xì)線長為l，小球的質(zhì)量為m，重力加速度為g，方向豎直向下，擺線與豎直方向角位移為θ，平衡位置右邊為正，左邊為負(fù)。設(shè)z軸通過點O且垂直紙面，向外為正方向。小球從夾角θ0釋放，初速為0。本文將從轉(zhuǎn)動定律和機(jī)械能守恒兩種角度建立單擺的運動方程。

1. 轉(zhuǎn)動定律

小球只受重力mg和細(xì)線對其的拉力F，方向分別為豎直向下和沿細(xì)線方向指向點O，小球的位矢為r，模為細(xì)線長l，小球?qū)軸的轉(zhuǎn)動慣量為J=ml2。由轉(zhuǎn)動定律可知：

M=Jα（1）

M為力矩，α為角加速度。

r×（mg+F）=ml2α（2）

r與F夾角為180度，矢量積的大小為0。圖1所示的角位置θ指向z軸正方向，r與g的矢量積指向z軸負(fù)方向，因此有：

-lmgsinθ=ml2d2θdt2（3）

d2θdt2+glsinθ=0（4）

令

ω=gl（5）

可得單擺的運動方程為：

d2θdt2+ω2sinθ=0（6）

2. 機(jī)械能守恒定律

由于不考慮細(xì)線伸縮，拉力F始終與小球的運動方向垂直，不做功；只有重力做功，而重力為保守力，系統(tǒng)的機(jī)械能守恒。設(shè)小球運動到圖1所示位置時速度大小為v，細(xì)線與豎直方向夾角為θ，則有：

mgl（1-cosθ）+12mv2=mgl（1-cosθ0）（7）

對方程（7）兩邊進(jìn)行微分可得：

mglsinθdθ+mvdv=0（8）

由于只有切向速度，v=vt，且vt=d（lθ）dt，兩邊同時除以dt可得：

mglsinθdθdt+mvdvtdt=0（9）

mgsinθd（lθ）dt+md（lθ）dtd2（lθ）dt2=0

（10）

化簡后即得式（4）。

三、 單擺的等時性

解出式（6）中角度與時間的關(guān)系，即可得出單擺是否具有等時性，但其為二階非線性微分方程，沒有初等函數(shù)形式的解。當(dāng)θ較小時，tanθ≈θ，式（6）變?yōu)槎A常系數(shù)齊次微分方程：

d2θdt2+ω2θ=0（11）

其特解為三角函數(shù)：

θ=θ0cosωt（12）

可求出其周期為：

T0=2πω=2πl(wèi)g（13）

這就是常見的單擺周期公式，也是計算重力加速度的公式。因此，當(dāng)θ較小時，單擺具有等時性。那么大擺角時，單擺還具有等時性嗎？答案是肯定的，理由為：系統(tǒng)的機(jī)械能守恒，那么當(dāng)細(xì)線的長度、小球的質(zhì)量、初始位置及初始速度確定之后，小球在每一個位置具有的勢能是確定的，動能也是確定的，因此速度也是確定的，擺過任何的角微元dθ所用的時間是確定的，那么小球往復(fù)所用的總時間就是確定的。所以，大擺角時，單擺依然具有等時性。既然如此，為什么還要求擺角小于5度呢？原因是只有擺角較小時，重力加速度和周期之間才有式（13）那樣的簡單關(guān)系。

四、 大擺角的周期

雖然從式（6）不能求解出大擺角時初等函數(shù)形式的周期，但我們可以求解出數(shù)值解。小球擺過任意弧長ldθ所用的時間為：

dt=ldθvt（14）

則單擺的周期可用下式計算：

T=4∫θ00ldθvt（15）

代入式（7）和（13）可得：

TT0=2π∫θ001cosθ-cosθ0dθ（16）

給出一系列不同的擺角θ0，手動編程或使用Mathematica等數(shù)學(xué)計算軟件都可以計算出結(jié)果，如圖2所示。擺角等于5度時，單擺的周期T相對擺角趨于0時的周期T0只改變了不到0.05%，可以很好地近似為簡諧振動。圖中還顯示，隨著擺角的增加，周期比值并非線性增加，而是呈指數(shù)增加。擺角為30度時，周期增加了1.73%，60度時，增加了7.32%，而90度時，則增加了18.03%。本文的結(jié)果與成思源和萬明理等人的結(jié)果相近，而避免了其使用的橢圓積分等非初等函數(shù)知識，便于大學(xué)生理解。

五、 結(jié)論

本文使用微積分知識及初等函數(shù)求解了單擺的周期，論證了任意擺角（不大于90度）都具有等時性。擺角較小時，單擺的運動可以很好地近似為簡諧運動，可以使用單擺的周期公式。隨著擺角的增大，周期迅速增大。本文可以回答學(xué)生在用單擺測量重力加速度實驗中的關(guān)于擺角的疑問，有利于其正確操作實驗儀器并培養(yǎng)嚴(yán)謹(jǐn)?shù)目茖W(xué)態(tài)度。

參考文獻(xiàn)：

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[3]萬明理.基于MATLAB下對單擺實驗中大擺角問題的討論[J].大學(xué)物理實驗，2010，23（6）：75-77.

作者簡介：黃海深，吳波，貴州省遵義市，遵義師范學(xué)院物理與電子科學(xué)學(xué)院。