例析排列組合題的常用解法

摘要：排列和組合的思想方法在實(shí)際生產(chǎn)生活中應(yīng)用非常廣泛，同時(shí)也是學(xué)生學(xué)習(xí)概率統(tǒng)計(jì)的奠基石，學(xué)好排列組合有利于培養(yǎng)學(xué)生的抽象能力和邏輯思維能力。本文旨在滲透數(shù)學(xué)思想方法方面做了一些嘗試和探索，把這一重要的數(shù)學(xué)思想方法通過(guò)學(xué)生日常生活中最簡(jiǎn)單的實(shí)例呈現(xiàn)出來(lái)。

關(guān)鍵詞：計(jì)數(shù)原理；排列；組合

排列組合應(yīng)用題是高中數(shù)學(xué)的重點(diǎn)和難點(diǎn)之一，學(xué)生在解決此類問(wèn)題時(shí)常常感到束手無(wú)策，“重復(fù)”和“遺漏”的錯(cuò)誤時(shí)有發(fā)生。現(xiàn)從一些簡(jiǎn)單的例題出發(fā)歸納出解決這類問(wèn)題的幾種解法。

一、 特殊元素法

例15名男生和1名女生站成一排照相，女生不能站排頭，也不能站排尾，共有多少種不同的站法？

分析：讓女生優(yōu)先選擇中間的4個(gè)位置中的任意一個(gè)，有A14種站法，再讓5名男生在另外5個(gè)位置上作全排列，有A55種站法，根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理，共有A14A55=480種站法。

二、 特殊位置法

例2同例1

分析：排頭和排尾不能站女生，那么就從5名男生中任選2名去站這兩個(gè)位置，有A25種站法，女生和剩余男生站其余4個(gè)位置，有A44種站法，根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理，共有A25A44=480種站法。

上述兩種方法都是遵從了特殊元素、特殊位置優(yōu)先考慮的原則。

三、 排除法

先不考慮限制條件求出所有的方法數(shù)，然后減去不符合要求的方法數(shù)，其中蘊(yùn)含了“正難則反”的數(shù)學(xué)解題技巧。

例3同例1

分析：不考慮限制條件，共有A66種站法，其中女生站排頭的有A55種站法，站排尾的也有A55種站法，所以符合題意的站法總數(shù)為：A66-2A55=480種。

四、 捆綁法

要求幾個(gè)元素相鄰時(shí)，可以先將他們“捆綁”起來(lái)，再與其他的元素排列。

例45個(gè)人站成一排，其中甲、乙相鄰的站法有幾種？

分析：先將甲、乙二人“捆綁”起來(lái)，有A22種方法，再與其他三人一起排列有A44種站法，根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理，共有A22A44=48種站法。

五、 插空法

要求幾個(gè)元素不相鄰時(shí)，可以先將其他的元素先排列好，再將要求不相鄰的元素插在他們之間或兩端的空當(dāng)中。

例55個(gè)人站成一排，其中甲、乙不相鄰的站法有幾種？

分析：先將其他3個(gè)人先排列好，有A33種方法，再將甲、乙插在另外3人之間或兩端的4個(gè)空擋中，有A24種方法，根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理，共有A33A24=72種站法。

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另外，此題還可考慮用排除法，5個(gè)人作全排列有A55種站法，其中甲、乙相鄰的站法有48種，所以甲、乙不相鄰的站法有A55-48=72種。

六、 插板法

例6現(xiàn)有10本完全相同的書全部分給7個(gè)人，每人至少1本書，問(wèn)共有多少種不同的分法？

分析1：題目中書的分法共有三類。

（1）有1個(gè)人分到4本書；其余的6個(gè)人每人分到1本書。其分法種數(shù)有N1=C17種。

（2）有1個(gè)人分到3本書；1個(gè)人分到2本書；其余5個(gè)人每人分到1本書。其分法種數(shù)有N2=C17C16種。

（3）有3個(gè)人每個(gè)人分到2本書，其余4個(gè)人每人分到1本書。其分法種數(shù)有N3=C37種。

所以，10本書的分法種數(shù)為：N=N1+N2+N3=C17+C17C16+C37=84。

上面的解題過(guò)程可以明顯看到對(duì)這類問(wèn)題需要進(jìn)行分類計(jì)算，比較繁鎖，容易遺漏。若是上題中書的數(shù)目或人的數(shù)目較多，處理起來(lái)將更加困難。因此我們需要尋求一種新的思路來(lái)解決此類問(wèn)題，我們不妨創(chuàng)設(shè)這樣一種虛擬的情境——插板。

分析2：將10本相同的書排成一行，10本書之間出現(xiàn)了9個(gè)空檔，然后我們用“插板”把10本書隔成有序的7份，每個(gè)人依次按序分到對(duì)應(yīng)位置的幾本書，兩塊相鄰的插板之間的書就是相應(yīng)的人所分得的書。這種借助于虛擬的“插板”分配物品的方法稱之為插板法。

那么上述問(wèn)題可以轉(zhuǎn)化為在9個(gè)空之中插入6塊“插板”，其方法種數(shù)為N=C69=84種。這樣就大大簡(jiǎn)化了此類問(wèn)題的運(yùn)算量。

例75個(gè)相同的小球放入3個(gè)不同的盒子，可以有空盒，共有多少種不同的放法？

分析：將5個(gè)相同的小球和2個(gè)“檔板”排成一列，共有C27（或C57）=21種放法。

排列組合應(yīng)用廣泛，題型多變，條件隱晦，思維抽象，得數(shù)頗大，不易驗(yàn)證，因而在解這類問(wèn)題時(shí)，要做到排、組分清，加、乘辨明，巧用模型，避免重、漏。

作者簡(jiǎn)介：桂大軍，安徽省淮南市，安徽淮南一中。