構造法在三角證明中的應用

摘要：在進行三角證明或計算時，需要在圖形中添加一些輔助線，輔助線能使題目中的條件比較集中，使隱蔽的條件顯露，將復雜的問題簡單化，使數學問題較輕松地解決。

關鍵詞：三角形；輔助線；三線合一

在解題時按常規方法難以解決或無以下手時，就需要改變方向，在更廣闊的背景下，通過對條件或結論的分析與思考，構造出與問題有關的代數或幾何模型，從而找到解決問題的方法與途徑。巧妙應用構造法解題，可以使代數、三角、幾何等各種知識相互滲透與交融，使學生的視野更開闊。在進行三角證明或計算時，需要在圖形中添加一些輔助線，輔助線能使題目中的條件比較集中，使隱蔽的條件顯露，將復雜的問題簡單化，使數學問題較輕松地解決。

一、 構造等腰三角形

等腰三角形主要的性質：等邊對等角，等角對等邊，三線合一

構造等腰三角形的“四個方法”：

1. “角平分線+平行線”構造等腰三角形；

2. “角平分線+垂線”構造等腰三角形；

3. 應用“垂直平分線”構造等腰三角形；

4. 用“三角形中角的2倍關系”構造等腰三角形。

例1如圖，AB=AC，∠BAC=90°，∠1=∠2，CE⊥BE，求證：BD=2CE。

分析：由圖形知，BE既是角平分線，又是垂線，故可構造等腰三角形（延長CE交BA的延長線于點F）。由等腰三角形三線合一，知CF=2CE，故只需再證BD與CF相等（由△ADB≌△AFC可得）。

二、 構造等邊三角形法

等邊三角形既具有等腰三角形的性質，又具有自身的特性：三條邊相等，三個內角都是60°。同時它還是軸對稱圖形，它有三條對稱軸，分別為三邊的垂直平分線，各邊上的高線、中線、對應的角平分線互相重合。

例2如圖，已知△ABC為等邊三角形，延長BC到D，延長BA到E，并使AE=BD，連接CE，DE。求證：EC=ED。

分析：先以∠B為內角，BE為邊構造等邊三角形（延長BD至F，使BF=BE，連接EF），再依據等邊三角形的性質找全等三角形（△ECB≌△EDF）求解。

三、 構造直角三角形

有以下幾種情形：勾股定理及逆定理應用；角平分線性質；線段的垂直平分線；利用面積，求解時。

例3如圖，在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC，交BC于點D，AC=BC，能否在AB上確定一點E，使△BDE的周長等于AB的長？請說明理由。

分析：過點D作DE⊥AB于點E，由角的平分線性質可知DC=DE，由三角形全等有AE=AC=BC，又DE=BE，可得△BDE的周長=AB。

四、 構造三角形的中位線

三角形的中位線具有兩方面的性質：位置上的平行關系；數量上的倍分關系。因此，當題目中給出一個三角形兩邊的中點時，可以直接連接中點，構造中位線；當題目中給出一邊的中點時，往往需要找另一邊的中點等。

例4如圖，在四邊形ABCD中，M，N分別是AD，BC的中點，若AB=10，CD=8，求MN長度的取值范圍。

分析：取BD中點P，連PM，PN，由三角形三邊關系可得。

五、 構造全等三角形、相似三角形

全等三角形有軸對稱形、中心對稱形、旋轉形與平移形等；如果出現兩條相等線段或兩個相等角關于某一直線成軸對稱就可以添加對稱軸構造全等三角形。當幾何問題中出現一組或兩組相等線段位于一組對頂角兩邊且成一直線時可添加中心對稱形全等三角形加以證明，添加方法是將四個端點兩兩連接或過兩端點添平行線。

相似三角形有平行線型，相交線型，旋轉型；當出現相比線段重疊在一直線上時（中點可看成比為1），可添加平行線得平行線型相似三角形。

人們從來就是用自己的聰明才智創造條件解決問題的，當問題的條件不夠時，添加輔助線構成新圖形，形成新關系，使分散的條件集中，建立已知與未知的橋梁，把問題轉化為自己能解決的問題，這是解決問題常用的策略。當然，在具體問題中還要具體分析。數學是死的，也是活的。如果它的模型掌握了，便可以不變應萬變。

參考文獻：

[1]榮德基主編.點撥訓練.八年級數學下冊.

[2]趙建勛著.中學生數學.

[3]數學學習與研究.2016.

作者簡介：沈雪華，福建省漳州市，詔安一中。