離散型隨機變量及其分布列高考熱點透視

■河南省許昌市許昌高級中學 胡銀偉

與實際生活密切相關的離散型隨機變量的分布列、期望與方差問題,不但考查同學們的理解能力與數(shù)學計算能力,而且能夠不斷創(chuàng)新問題情境,突出考查同學們運用概率、期望與方差解決實際問題的能力,因此是高考的熱點。從近幾年高考命題情況來看,離散型隨機變量及其分布列高考熱點主要有以下兩類。

熱點一：對離散型隨機變量分布列及期望的考查

例1 (2 0 1 7年全國Ⅲ卷)某超市計劃按月訂購一種酸奶,每天進貨量相同,進貨成本每瓶4元,售價每瓶6元,未售出的酸奶降價處理,以每瓶2元的價格當天全部處理完。根據(jù)往年銷售經(jīng)驗,每天需求量與當天最高氣溫(單位:℃)有關。如果最高氣溫不低于2 5,需求量為5 0 0瓶;如果最高氣溫位于區(qū)間[2 0,2 5),需求量為3 0 0瓶;如果最高氣溫低于2 0,需求量為2 0 0瓶。為了確定六月份的訂購計劃,統(tǒng)計了前三年六月份各天的最高氣溫數(shù)據(jù),得下面的頻數(shù)分布表:

?

以最高氣溫位于各區(qū)間的頻率代替最高氣溫位于該區(qū)間的概率。

(1)求六月份這種酸奶一天的需求量X(單位:瓶)的分布列;

(2)設六月份一天銷售這種酸奶的利潤為Y(單位:元),當六月份這種酸奶一天的進貨量n(單位:瓶)為多少時,Y的期望達到最大值?

解析：(1)由題意知,X所有的可能取值

X2 0 0 3 0 0 5 0 0 P0.20.40.4

(2)由題意知,這種酸奶一天的需求量至多為5 0 0,至少為2 0 0,因此只需考慮2 0 0≤n≤5 0 0。

當3 0 0≤n≤5 0 0時:若最高氣溫不低于2 5,則Y=6n-4n=2n;

若最高氣溫位于區(qū)間[2 0,2 5),則Y=6×3 0 0+2(n-3 0 0)-4n=12 0 0-2n;

若最高氣溫低于2 0,則Y=6×2 0 0+2(n-2 0 0)-4n=8 0 0-2n。

此時,E(Y)=2n×0.4+(12 0 0-2n)×0.4+(8 0 0-2n)×0.2=6 4 0-0.4n。

當2 0 0≤n＜3 0 0時:若最高氣溫不低于2 0,則Y=6n-4n=2n;

若最高氣溫低于2 0,則Y=6×2 0 0+2(n-2 0 0)-4n=8 0 0-2n;

此時,E(Y)=2n×(0.4+0.4)+(8 0 0-2n)×0.2=1 6 0+1.2n。

所以當n=3 0 0時,Y的期望達到最大值,最大值為5 2 0元。

點評:求隨機變量的數(shù)學期望和方差的關鍵是正確求出隨機變量的分布列,而求隨機變量及其分布列的一般步驟為:(1)明確隨機變量的所有可能取值以及取每個取值所表示的意義;(2)利用排列組合知識或互斥事件、獨立事件的概率公式求出隨機變量取每個可能值的概率;(3)按規(guī)范形式寫出隨機變量的分布列,并用分布列的性質(zhì)驗證。

練習1：(2 0 1 7年天津卷)從甲地到乙地要經(jīng)過3個十字路口,設各路口信號燈工作相互獨立,且在各路口遇到紅燈的概率分別為

(1)記X表示一輛車從甲地到乙地遇到紅燈的個數(shù),求隨機變量X的分布列和數(shù)學期望;

(2)若有2輛車獨立地從甲地到乙地,求這2輛車共遇到1個紅燈的概率。

解析：(1)隨機變量X的所有可能取值為0,1,2,3。

所以隨機變量X的分布列為:

?

(2)設Y表示第一輛車遇到紅燈的個數(shù),Z表示第二輛車遇到紅燈的個數(shù),則所求事件的概率為:

P(Y+Z=1)=P(Y=0,Z=1)+P(Y=1,Z=0)=P(Y=0)P(Z=1)+所以這2輛車共遇到1個紅燈的概率為

練習2：(2 0 1 7年山東卷)在心理學研究中,常采用對比試驗的方法評價不同心理暗示對人的影響,具體方法如下:將參加試驗的志愿者隨機分成兩組,一組接受甲種心理暗示,另一組接受乙種心理暗示,通過對比這兩組志愿者接受心理暗示后的結(jié)果來評價兩種心理暗示的作用。現(xiàn)有6名男志愿者A1,A2,A3,A4,A5,A6和4名女志愿者B1,B2,B3,B4,從中隨機抽取5人接受甲種心理暗示,另5人接受乙種心理暗示。

(1)求接受甲種心理暗示的志愿者中包含A1但不包含B1的概率;

(2)用X表示接受乙種心理暗示的女志愿者人數(shù),求X的分布列與數(shù)學期望E(X)。

解析：(1)記“接受甲種心理暗示的志愿者中包含A1但不包含B1”為事件為M,則

(2)由題意知X可取的值為:0,1,2,3,4,則:

因此,X的分布列為:

X 0 1 2 3 4 P1 4 2 5 51 2 1 1 0 2 12 14 2

熱點二：對離散型隨機變量期望與方差應用的考查

例2 為回饋顧客,某商場擬通過摸球兌獎的方式對10 0 0位顧客進行獎勵,獎勵規(guī)定:每位顧客從一個裝有4個標有面值的球的袋中一次性隨機摸出2個球,球上所標的面值之和為該顧客所獲的獎勵額。

(1)若袋中所裝的4個球中有1個所標的面值為5 0元,其余3個均為1 0元,求:

①顧客所獲的獎勵額為6 0元的概率;

②顧客所獲的獎勵額的分布列及數(shù)學期望。

(2)商場對獎勵總額的預算是6 00 0 0元,并規(guī)定袋中的4個球只能由標有面值1 0元和5 0元的兩種球組成,或標有面值2 0元和4 0元的兩種球組成。為了使顧客得到的獎勵總額盡可能符合商場的預算且每位顧客所獲的獎勵額相對均衡,請對袋中的4個球的面值給出一個合適的設計,并說明理由。

解析：(1)設顧客所獲的獎勵額為X。顧客所獲的獎勵額為6 0元的概率為。

②依題意,得X的所有可能取值為2 0,故X的分布列為:

X 2 0 6 0 P0.50.5

所以顧客所獲的獎勵額的期望為E(X)=2 0×0.5+6 0×0.5=4 0(元)。

(2)根據(jù)商場的預算,每個顧客的平均獎勵額為6 0元,所以先尋找期望為6 0元的可能方案。

對于面值由1 0元和5 0元組成的情況,假設選擇(1 0,1 0,1 0,5 0)的方案,因為6 0元是面值之和的最大值,所以期望不可能為6 0元;假設選擇(5 0,5 0,5 0,1 0)的方案,因為6 0元是面值之和的最小值,所以期望也不可能為6 0元,因此可能的方案是(1 0,1 0,5 0,5 0),記為方案1。

對于面值由2 0元和4 0元組成的情況,同理可排除(2 0,2 0,2 0,4 0)和(4 0,4 0,4 0,2 0)的方案,所以可能的方案是(2 0,2 0,4 0,4 0),記為方案2。

以下是對兩個方案的分析:

對于方案1,即(1 0,1 0,5 0,5 0),設顧客所獲的獎勵額為X1,則X1的分布列為:

X12 0 6 0 1 0 0 P1 6 23 16

對于方案2,即(2 0,2 0,4 0,4 0),設顧客所獲的獎勵額為,則的分布列為:

X24 0 6 0 8 0 P1 6 23 16

由于兩種方案的獎勵額的期望都符合要求,但方案2獎勵額的方差比方案1的小,所以最優(yōu)方案為方案2。

點評:解決概率的實際應用問題,要先根據(jù)題意確定概率模型,選擇概率公式;對于離散型隨機變量的分布列,要注意利用分布列的性質(zhì)進行檢驗,特殊分布列的期望的計算可以直接利用公式,以簡化計算過程。

期望能夠反映隨機變量取值的“平均水平”,因此,當期望不同時,兩個隨機變量取值的水平可見分曉,由此可對實際問題作出決策判斷;在實際問題中,若兩個隨機變量ξ1,ξ2,有E(ξ1)=E(ξ2)或E(ξ1)與E(ξ2)較為接近時,就需要用D(ξ1)與D(ξ2)來比較兩個隨機變量的穩(wěn)定程度。一般將期望最大(或最小)的方案作為最優(yōu)方案,若各方案的期望相同,則選擇方差最小(或最大)的方案作為最優(yōu)方案。

練習3:現(xiàn)有兩種投資方案,一年后投資盈虧的情況如下表:

投資股市:

投資結(jié)果 獲利4 0% 不賠不賺 虧損2 0%概率 1 2 18 38

購買基金:

投資結(jié)果 獲利2 0% 不賠不賺 虧損1 0%概率 p 1 3 q

(2)已知甲乙兩人分別選擇了“投資股市”和“購買基金”進行投資,如果一年后他們中至少有一人獲利的概率大于,求p的取值范圍。

(3)丙要將家中閑置的1 0萬元錢進行投資,決定在“投資股市”和“購買基金”這兩種方案中選擇一種,已知,那么丙選擇哪種投資方案,才能使得一年后投資收益的數(shù)學期望較大?結(jié)合結(jié)果并說明理由。

解析：(1)因為“購買基金”后,投資結(jié)果只有“獲利”“不賠不賺”“虧損”三種,且三種投資結(jié)果相互獨立,所

又因為p=,所以q=。

(2)記事件A為“甲投資股市且盈利”,事件B為“乙購買基金且盈利”,事件C為“一年后甲乙兩人中至少有一人投資獲利”,則,且A,B相互獨立。

(3)假設丙選擇“投資股市”方案進行投資,且記X為丙投資股市的獲利金額(單位:萬元),所以隨機變量X的分布列為:

X40-2 P1 2 18 38

假設丙選擇“購買基金”方案進行投資,且記Y為丙購買基金的獲利金額(單位:萬元),所以隨機變量Y的分布列為:

Y20-1 P1 2 13 16

因為E(X)＞E(Y),所以丙選擇“投資股市”才能使得一年后的投資收益的數(shù)學期望較大。