憑分吹草動(dòng) 我自濤聲依舊
——2017年高考三角函數(shù)題型回顧與展

■江西省豐城中學(xué) 吳愛龍

縱觀近幾年高考全國卷,三角函數(shù)部分一般是一大一小兩道試題。如果不考大題,則會(huì)考三道小題;考查內(nèi)容主要涉及三角函數(shù)求值、三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)、三角恒等變換、解三角形。2 0 1 7年高考大綱提出了對(duì)“數(shù)學(xué)文化”知識(shí)考查的明確要求;對(duì)能力要求的內(nèi)涵進(jìn)行了修改,增加了基礎(chǔ)性、綜合性、應(yīng)用性和創(chuàng)新性的要求,強(qiáng)調(diào)考查同學(xué)們的數(shù)學(xué)思想、數(shù)學(xué)能力、數(shù)學(xué)的科學(xué)與人文價(jià)值,更加注重了對(duì)同學(xué)們數(shù)學(xué)綜合素養(yǎng)的考查。盡管考綱作了較大調(diào)整,但由于三角函數(shù)屬傳統(tǒng)章節(jié),考查的內(nèi)容幾乎沒太大的變動(dòng)。

聚焦1 三角函數(shù)的圖像

例1 (1)(2 0 1 7年課標(biāo)Ⅰ卷)已知曲線

結(jié)論正確的是( )。

A.把上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長到原來的2倍,縱坐標(biāo)不變,再把得到的曲線向右平移個(gè)單位長度,得到曲線

B.把C1上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長到原來的2倍,縱坐標(biāo)不變,再把得到的曲線向左平移個(gè)單位長度,得到曲線2C.把1上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來的,縱坐標(biāo)不變,再把得到的曲線向右平移個(gè)單位長度,得到曲線2

(2)(2 0 1 7年天津卷)設(shè)函數(shù)f(x)=2 s i n(ω x+φ),x∈R,其中ω＞0,|φ|＜π。若,且f(x)的最小正周期大于2 π,則( )。

解析：(1)若把曲線C1上各點(diǎn)橫坐標(biāo)伸長到原來的2倍(縱坐標(biāo)不變),便得y=c o s,無論左右怎么平移不可能得到曲線C2,排除選項(xiàng)A、B。當(dāng)把曲線C1上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來的(縱坐標(biāo)不變)后,得到曲線y=c o s2x,再將其向左平移個(gè)單合題意。由2 π=3 π,得ω=2,排除選項(xiàng)C、ω 3 D。若選A,則,此時(shí),符合題設(shè),而選項(xiàng)B不合題意,故答案為A。

點(diǎn)評(píng):準(zhǔn)確畫出y=s i nx、y=c o sx、y=t a nx及y=As i n(ω x+φ)的圖像是考試大綱的基本要求,對(duì)于函數(shù)y=As i n(ω x+φ)還必須掌握“五點(diǎn)作圖法”與“變換作圖法”,了解其物理意義及參數(shù)A、ω、φ對(duì)函數(shù)圖像變化的影響。變換法作圖包括振幅變換、周期變換、相位變換,振幅變換較好掌握,后兩者容易出問題。對(duì)于周期變換與相位變換建議先相位后周期變換,否則平移的長度單位易出錯(cuò)。由函數(shù)y=f(ω x)的圖像要得到函數(shù)y=f(ω x+φ)的圖像必須是左(右)平移 φ 個(gè)

ω

單位,而不是|φ|個(gè)長度單位。五點(diǎn)法作圖應(yīng)抓準(zhǔn)五個(gè)關(guān)鍵點(diǎn),尤其是其中三個(gè)零點(diǎn)。第一個(gè)零點(diǎn)圖像特征是由下而上,第二個(gè)零點(diǎn)是由上而下。在已知函數(shù)圖像求函數(shù)解析式時(shí),如果從圖上把握不住圖像特征,建議不用零點(diǎn)代入求初相φ的值。如本例第二小題在得出之后,利用條件

求φ時(shí),就無法排除選項(xiàng)B了。

聚焦2 三角函數(shù)的性質(zhì)

例2 (1)(2 0 1 7年課標(biāo)Ⅲ卷)設(shè)函數(shù)

,則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是( )。稱

(2)(2 0 1 7年浙江卷)已知函數(shù)f(x)=s i n2x-c o s2x-2 3 s i nxc o sx,求f(x)的最小正周期及單調(diào)遞增區(qū)間。數(shù)不單調(diào),D錯(cuò)誤,故選D。)的最小正周期是解得的單調(diào)遞增區(qū)間是[π+kπ,2π+kπ],k∈Z。63

點(diǎn)評(píng):三角函數(shù)的性質(zhì)包括三角函數(shù)的定義域、值域、最值、周期性,以及單調(diào)性、奇偶性與對(duì)稱性。判斷函數(shù)的周期性可用定義或套 用Ac o s(ω x+φ)的 最 小 正 周 期 為 T的最小正周期為T=若要判斷直線x=a是否為函數(shù)f(x)=As i n(ω x+φ)或f(x)=Ac o s(ω x+φ)的對(duì)稱軸,只需判斷f(a)=±A或f'(a)=0是否成立;若要判斷點(diǎn)(a,0)是否為它們的中心,只要判斷f(a)=0是否成立。函數(shù)y=f(a-x)是一個(gè)復(fù)合函數(shù),欲求其單調(diào)遞增區(qū)間必須先求函數(shù)的定義域進(jìn)而求函數(shù)y=f(x)的遞減區(qū)間;若函數(shù)y=f(x+a)為偶函數(shù),有f(-x+a)=f(x+a),則函數(shù)y=f(x)的圖像關(guān)于直線x=a對(duì)稱。若函數(shù)y=f(x+a)為奇函數(shù),有f(-x+a)=-f(x+a),從而知函數(shù)y=f(x)的圖像關(guān)于點(diǎn)(a,0)成中心對(duì)稱。此外,若函數(shù)y=f(x)滿足條件f(a+t)=f(b-t),t∈R,則函數(shù)y=f(x)的圖像關(guān)于直線x=對(duì)稱。而函數(shù)y=f(a+x)與y=f(b-x)的圖像關(guān)于直線對(duì)稱,前者屬函數(shù)圖像的自身軸對(duì)稱問題,后者是兩個(gè)函數(shù)圖像之間的相互對(duì)稱問題,應(yīng)嚴(yán)加區(qū)別。此外,還應(yīng)掌握翻折變換。函數(shù)y=f(|x|)是偶函數(shù),圖像關(guān)于y軸對(duì)稱,在y軸右側(cè)的圖像保留,左側(cè)原有圖像去掉后再將右側(cè)圖像關(guān)于y軸翻折過去。

聚焦3 三角函數(shù)的變換

例3(2 0 1 7年山東卷理科)已知函數(shù)

(1)求ω;

(2)將函數(shù)=f(x)的圖像上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)擴(kuò)大到原來的2倍(縱坐標(biāo)不變),再將得到的圖像向左平移個(gè)單位,得到函數(shù)y=g(x)的圖像,求g(x)在小值。又0＜ω＜3,所以ω=2。

(2)由(1)知,將其圖像上各點(diǎn)橫坐標(biāo)擴(kuò)大到原來的2倍(縱坐標(biāo)不變),得函數(shù);再將圖像向左平移π個(gè)單位,得g(x)=4

點(diǎn)評(píng):三角函數(shù)的恒等變換是高考的必考內(nèi)容,它滲透于三角函數(shù)的求值與化簡、圖像與性質(zhì)、解三角形與平面向量等各種題型之中。三角恒等變換既要掌握和(差)角公式、二倍角公式,又要會(huì)套用積化和差、和差化積與半角公式。此外,還必須掌握諸如常值代換、整體處理、湊角、升(降)冪等常用技巧。公式等是常用公式,此外,公式及其變形也經(jīng)常用到。本例函數(shù)f(x)還可以直接套用和差化積公式來化簡,f(x)=也非常簡捷。

聚焦4 解三角形的問題

例4 (1)(2 0 1 7年山東卷理科)在△A B C中,角A、B、C的對(duì)邊分別為a、b、c,若△A B C為銳角三角形,且滿足s i nB(1+2 c o sC)=2 s i nAc o sC+c o sAs i nC,則下列等式成立的是( )。

Aa.=2b Bb.=2a

C.A=2B D.B=2A

(2)(2 0 1 7年全國新課標(biāo)Ⅰ卷理科)已知△A B C的內(nèi)角A、B、C的對(duì)邊分別a、b、c,

①求s i nBs i nC;

②若6 c o sBc o sC=1,a=3,求△A B C的周長。

解析：(1)由題設(shè)知s i nB+2 s i nBc o sC=s i nAc o sC+s i n(A+C),又s i nB=s i n(A+C),因此,有2 s i nBc o sC=s i nAc o sC。因?yàn)閏 o sC≠0,所以2 s i nB=s i nA,即2b=a,故選A。

(2)①由題設(shè)條件可得1a cs i nB=2由正弦定理得s i nCs i nB=,故s i nBs i nC=。又a=3,代入b cs i nA6 2c m。在容器中注入水,水深為1 2c m?，F(xiàn)有一根玻璃棒l,其長度為4 0c m,容器厚度、玻璃棒粗細(xì)均忽略不計(jì),將l放在容器中,l的一端置于點(diǎn)E處,另一端置于側(cè)棱G G1上,求l沒入水中部分的長度。

解析：(1)將正六邊形分割為6個(gè)全等的得b c=8。由余弦定理得,所以得b+c=3 3,故△A B C的周長為3+3 3。

點(diǎn)評(píng):解三角形常涉及正弦定理、余弦定理(勾股定理)、射影定理、內(nèi)角和定理以及三角形面積公式等知識(shí),必須熟記。考查題型包括求角、求邊長、求函數(shù)值、求面積與周長的取值范圍或最值問題。此外還要熟練掌握一些常見的三角恒等變換,變換的方向是消去“角度差異”、“名稱差異”與“次數(shù)差異”。

聚焦5 三角文化與素養(yǎng)

例5 (1)(2 0 1 7年浙江卷)我們古代數(shù)學(xué)家劉徽創(chuàng)立的“割圓術(shù)”可以估算圓周率π,理論上能把π的值計(jì)算到任意精度。祖沖之繼承并發(fā)展了“割圓術(shù)”,將π的值精確到小數(shù)點(diǎn)后七位,其結(jié)果領(lǐng)先世界一千多年,“割圓術(shù)”的第一步是計(jì)算單位圓內(nèi)接正六邊形的面積S6,S6=。

(2)(2 0 1 7年江蘇卷)如圖1,水平放置的正四棱臺(tái)形玻璃容器的高為3 2c m,兩底面對(duì)角線E G,E1G1的長分別為1 4c m和

圖1

(2)作其對(duì)角面E E1G1G,如圖2。再作G K⊥E1G1于K,作NM⊥E G交其延長線于M,則△GMN與△G1K G相似。G中+M,3 x由=設(shè)在3勾)x2M股+R。N t定(=4理△x 4E x知)M2,(1N則= 4 4 02,解得x=6。

圖2

設(shè)EN與水面交

點(diǎn)為P,作P Q⊥E G于Q,則由△E P Q與△E NM相似知E P=2 0。

故玻璃棒l沒入水中部分的長度為2 0c m。

點(diǎn)評(píng):數(shù)學(xué)文化與數(shù)學(xué)素養(yǎng)的考查是新一輪高考命題大綱的明確要求,以此為背景命制試題既能考查知識(shí)的應(yīng)用,又能使同學(xué)們感受到我國古代燦爛的數(shù)學(xué)文化。

通過以上對(duì)2 0 1 7年高考中的三角函數(shù)高考題型回放與聚焦,我們不難看出三角函數(shù)題型是較為穩(wěn)定的,并無大起大落。認(rèn)真研讀2 0 1 8年全國統(tǒng)一考試大綱(理科)后,預(yù)測(cè)2 0 1 8年高考三角函數(shù)題型仍將如此,不會(huì)有大的變化或舉動(dòng)。希望同學(xué)們迎考學(xué)習(xí)時(shí),應(yīng)緊扣考試大綱,回歸課本,瞄準(zhǔn)考點(diǎn),弄清知識(shí)點(diǎn),淡化技巧,不搞“題海戰(zhàn)術(shù)”,回避難題與偏題。由于在高考《考試大綱》“總綱”中特別強(qiáng)調(diào)“立德樹人”育人功能,通過數(shù)學(xué)史上典型事例,滲透中華優(yōu)秀傳統(tǒng)文化的因素,使同學(xué)們感受中華文明的博大精深,因此對(duì)涉及三角的數(shù)學(xué)文化試題仍應(yīng)多加關(guān)注。此外,應(yīng)注意三角函數(shù)與數(shù)列、導(dǎo)數(shù)的綜合問題,三角函數(shù)與均值不等式的交匯而命制的最值或取值范圍問題,在解三角形中,應(yīng)關(guān)注角平分線、中線、外接圓、內(nèi)切圓等幾何概念,應(yīng)了解測(cè)量中的方位角、仰角與俯角等術(shù)語,還應(yīng)重視正、余弦定理與三角形面積公式等在平面多邊形中的拓展應(yīng)用?？偠灾?對(duì)三角函數(shù)的學(xué)習(xí),只要多做常規(guī)題,便可輕松得分。三角函數(shù)命題考向預(yù)測(cè)以一言而蔽之,即:“任憑風(fēng)吹草動(dòng),我自濤聲依舊?！?/p>