高考概率統計題命題探究

■山東棗莊二中 張運虎

研究近年來高考試卷,不難發現概率統計題也融入新課標的教育理念,多角度、多視點地考查學生的數學素養,使學生的自主性和個性得以發揮。體現數學與社會、人與自然的和諧統一。許多試題體現了時代氣息,有創新特色。下面結合2 0 1 6年高考題談談高考概率統計題的命題特色。

一、關注學生的生活實際

這類題關注學生生活,試題中有大量生活背景,充分體現了“從生活走向數學,從數學走向生活”,符合新課標“學習資源和實踐機會無所不在,無時不有”的理念。

例1(2 0 1 6年高考山東理數)某高校調查了2 0 0名學生每周的自習時間(單位:小時),制成了如圖1所示的頻率分布直方圖,其中自習時間的范圍是[1 7.5,3 0],樣本數據分組為[1 7.5,2 0),[2 0,2 2.5),[2 2.5,2 5),[2 5,2 7.5),[2 7.5,3 0)。根據直方圖,這2 0 0名學生中每周的自習時間不少于2 2.5小時的人數是( )。

A.5 6 B.6 0 C.1 2 0 D.1 4 0

圖1

解析：由頻率分布直方圖知,自習時間不少于2 2.5小時為后三組,有2 0 0×(0.1 6+0.0 8+0.0 4)×2.5=1 4 0(人),選D。

點評:本題主要考查頻率分布直方圖,是一道基礎題目。從歷年高考題目看,圖表題已是屢見不鮮,作為一道應用題,考查考生的視圖、用圖能力,以及應用數學解決實際問題的能力。

例2 (2 0 1 6年高考山東文數)某兒童樂園在六一兒童節推出了一項趣味活動。參加活動的兒童需轉動如圖2所示的轉盤兩次,每次轉動后,待轉盤停止轉動時,記錄指針所指區域中的數。設兩次記錄的數分別為x,y。獎勵規則如下:

圖2

①若x y≤3,則獎勵玩具一個;

②若x y≥8,則獎勵水杯一個;

③其余情況獎勵飲料一瓶。

假設轉盤質地均勻,四個區域劃分均勻。小亮準備參加此項活動。

(Ⅰ)求小亮獲得玩具的概率;

(Ⅱ)請比較小亮獲得水杯與獲得飲料的概率的大小,并說明理由。

解析：用數對(x,y)表示兒童參加活動先后記錄的數,則基本事件空間Ω與點集S={(x,y)|x∈N,y∈N,1≤x≤4,1≤y≤4}一一對應。因為S中元素個數是4×4=1 6,所以基本事件總數為n=1 6。

(Ⅰ)記“x y≤3”為事件A。

則事件A包含的基本事件共有5個,即(1,1),(1,2),(1,3),(2,1),(3,1)。所以,P(A)=,即小亮獲得玩具的概率為。

(Ⅱ)記“x y≥8”為事件B,“3＜x y＜8”為事件C。

則事件B包含的基本事件共有6個,即(2,4),(3,3),(3,4),(4,2),(4,3),(4,4)。

所以,P(B)=6=3。1 68

則事件C包含的基本事件共有5個,即(1,4),(2,2),(2,3),(3,2),(4,1),所以,P(C)=因為,所以,小亮獲得水杯的概率大于獲得飲料的概率。

點評:本題主要考查古典概型概率的計算。解答本題的關鍵在于準確確定所研究對象的基本事件空間、基本事件個數,利用概率的計算公式求解。本題較容易?,能較好地考查考生的數學應用意識、基本運算能力等。

二、面向社會生產實踐

這類題突出在實踐應用性上,注重社會現實,體現時代精神,試題選材體現社會熱點,關注當前科技新發展。

例3 (2 0 1 6年高考新課標2理數)某險種的基本保費為a(單位:元),繼續購買該險種的投保人稱為續保人,續保人的本年度的保費與其上年度的出險次數的關聯如下:

表1

設該險種一續保人一年內出險次數與相應概率如下:

表2

(Ⅰ)求這一續保人本年度的保費高于基本保費的概率;

(Ⅱ)若這一續保人本年度的保費高于基本保費,求其保費比基本保費高出6 0%的概率;

(Ⅲ)求續保人本年度的平均保費與基本保費的比值。

分析：(Ⅰ)根據互斥事件的概率公式求這一續保人本年度的保費高于基本保費的概率;(Ⅱ)這一續保人本年度的保費高于基本保費,當且僅當一年內出險次數大于3,由條件概率公式求解;(Ⅲ)記續保人本年度的保費為X,求X的分布列,再根據期望公式求解。

解：(Ⅰ)設A表示事件:“這一續保人本年度的保費高于基本保費”,則事件A發生當且僅當一年內出險次數大于1,故P(A)=0.2+0.2+0.1+0.0 5=0.5 5。

(Ⅱ)設B表示事件:“這一續保人本年度的保費比基本保費高出6 0%”,則事件B發生當且僅當一年內出險次數大于3,故P(B)=0.1+0.0 5=0.1 5。

又P(A B)=P(B),故P(B|A)=因此所求概率為

(Ⅲ)記續保人本年度的保費為X,則X的分布列為:

表3

E X=0.8 5a×0.3 0+a×0.1 5+1.2 5a×0.2 0+1.5a×0.2 0+1.7 5a×0.1 0+2a×0.0 5=1.2 3a。

因此續保人本年度的平均保費與基本保費的比值為1.2 3。

總結：條件概率的求法:

(1)定義法:先求P(A)和P(A B),再由

(2)基本事件法:當基本事件適合有限性和等可能性時,可借助古典概型概率公式,先求事件A包含的基本事件數n(A),再在事件A發生的條件下求事件B包含的基本事件數n(A B),得

求離散型隨機變量均值的步驟:①理解隨機變量X的意義,寫出X可能取得的全部值;②求X的每個值的概率;③寫出X的分布列;④由均值定義求出E(X)。

三、試題具有鮮明的時代特色

“使學生具有初步的創新精神”是新課程改革的核心理念之一,隨著新課程改革的實施,新課標對數學學科的內容的學習有了新的要求,考試的內容也發生著變化,試題變得越來越新穎別致,具有鮮明的時代特色。

例4(2 0 1 6年高考天津理數)某小組共1 0人,利用假期參加義工活動,已知參加義工活動次數為1,2,3的人數分別為3,3,4,現從這1 0人中隨機選出2人作為該組代表參加座談會。

(Ⅰ)設A為事件“選出的2人參加義工活動次數之和為4”,求事件A發生的概率;

(Ⅱ)設X為選出的2人參加義工活動次數之差的絕對值,求隨機變量X的分布列和數學期望。

分析：(Ⅰ)先確定從這1 0人中隨機選出2人的基本事件種數:C210,再確定選出的2人參加義工活動次數之和為4所包含基本事件數:C13C14+C23,最后根據概率公式求出概率。(Ⅱ)先確定隨機變量的可能取值為0,1,2,再分別求出對應概率,列出概率分布,最后根據公式計算數學期望。,所以,事件A發生的概率為

(Ⅱ)隨機變量X的所有可能取值為0,1,2。所以,隨機變量X的分布列為:隨機變量X的數學期望E(X)

表4

總結：求均值、方差的方法:

(1)已知隨機變量的分布列求它的均值、方差和標準差,可直接按定義(公式)求解;

(2)已知隨機變量ξ的均值、方差,求ξ的線性函數η=aξ+b的均值、方差和標準差,可直接用ξ的均值、方差的性質求解;

(3)如能分析確定所給隨機變量是服從常用的分布(如兩點分布、二項分布等),可直接利用它們的均值、方差公式求解。

四、圖表信息題型的大量使用

2 1世紀是信息化社會,作為一個公民應學會搜索、整理和加工信息。表格、圖像和圖形是一種最直觀、最形象的數學語言,包含著豐富的信息資源,如何觀察、提煉這些信息,并利用這些信息來分析解決問題,是考查數學能力的較好形式之一。

例5 (2 0 1 6年高考新課標Ⅲ文數)某旅游城市為向游客介紹本地的氣溫情況,繪制了一年中月平均最高氣溫和平均最低氣溫的雷達圖。圖3中A點表示十月的平均最高氣溫約

圖3

為1 5℃,B點表示四月的平均最低氣溫約為5℃。下面敘述不正確的是( )A.各月的平均最低氣溫都在0℃以上B.七月的平均溫差比一月的平均溫差大C.三月和十一月的平均最高氣溫基本相同

D.平均氣溫高于2 0℃的月份有5個

解析：由圖可知0℃均在虛線框內,所以各月的平均最低氣溫都在0℃ 以上,A正確;由圖可知七月的平均溫差大于7.5℃,而一月的平均溫差小于7.5℃,所以七月的平均溫差比一月的平均溫差大,B正確;由圖可知三月和十一月的平均最高氣溫都大約在5℃,基本相同,C正確;由圖可知平均最高氣溫高于2 0℃的月份有3個或2個,所以D不正確。故選D。

點評:解答本題時易錯點可能有兩個:(1)對圖形中的線條認識不明確,不知所措,只覺得是兩把雨傘重疊在一起,找不到解決問題的方法;(2)估計平均溫差時易出現錯誤,而錯選B。