統(tǒng)計(jì)與概率創(chuàng)新題賞析

■甘肅省隴南市禮縣職業(yè)中等專(zhuān)業(yè)學(xué)校 楊 虎 王志雄

概率與統(tǒng)計(jì)是新課標(biāo)實(shí)施后變化較大的一個(gè)內(nèi)容,有人曾戲稱(chēng)“概率與統(tǒng)計(jì)是新課改后逐步登上高考舞臺(tái)的新生花旦”!經(jīng)過(guò)多年觀察,不難發(fā)現(xiàn)概率與統(tǒng)計(jì)試題一般在新穎、生活化的情境中,考查同學(xué)們分析數(shù)據(jù)、提取信息、解決實(shí)際問(wèn)題的能力。所以,不論是高考數(shù)學(xué)試題還是競(jìng)賽數(shù)學(xué)試題,命題者越來(lái)越注重問(wèn)題情境的設(shè)置,選取一些貼近生活、緊扣熱點(diǎn)、反映潮流的新穎素材來(lái)包裝,以體現(xiàn)概率與統(tǒng)計(jì)的應(yīng)用價(jià)值,以期達(dá)到解決現(xiàn)實(shí)問(wèn)題之目的。下面選取近兩年各類(lèi)數(shù)學(xué)考試中統(tǒng)計(jì)與概率的新穎試題進(jìn)行歸納賞析。

一、概率與區(qū)域面積牽手

例1 (2 0 1 6年高考全國(guó)Ⅱ卷理科)從區(qū)間 [0 ,1]隨機(jī)抽取2n個(gè)數(shù)x1,x2,…,xn,y1,y2,…,yn,構(gòu)成n個(gè)數(shù)對(duì)(x1,y1),(x2,y2),…,(xn,yn),其中兩數(shù)的平方和小于1的數(shù)對(duì)共有m個(gè),則用隨機(jī)模擬的方法得到的圓周率π的近似值為( )。

解析：如圖1,由題意得:(xi,yi)(i=1,2,…,n)在如圖1所示的方格中,而平方和小于1的點(diǎn)均在圖中所示的陰影中,由幾何概率知識(shí)可得,圓形的面積和正方形的面故選C。

圖1

點(diǎn)評(píng):求解與面積有關(guān)的幾何概型問(wèn)題,關(guān)鍵是弄清某事件對(duì)應(yīng)的面積,必要時(shí)可根據(jù)題意構(gòu)造兩個(gè)變量,把變量看成點(diǎn)的坐標(biāo),找到全部試驗(yàn)結(jié)果構(gòu)成的平面圖形,以便求解。

例2 如圖2,設(shè)拋物線y=-x2+1的頂點(diǎn)為A,與x軸正半軸的交點(diǎn)為B,設(shè)拋物線與兩坐標(biāo)軸正半軸圍成的區(qū)域?yàn)镸,隨機(jī)往M內(nèi)投一點(diǎn)P,則點(diǎn)P落在△A O B內(nèi)的概率是( )。

圖2

解析：設(shè)拋物線y=-x2+1與x軸正半軸及y軸的正半軸所圍成的區(qū)域的面積為。設(shè)事件N=“隨機(jī)往M內(nèi)投一點(diǎn)P,則點(diǎn)P落在△A O B內(nèi)”,則:

點(diǎn)評(píng):以函數(shù)為命題背景考查概率知識(shí)是本題的一大亮點(diǎn),可以體會(huì)到近幾年在對(duì)概率的考查上重視命題背景,突出概率與其他知識(shí)的交匯,應(yīng)引起同學(xué)們的重視。

二、概率與情景問(wèn)題交融

例3 (2 0 1 6年高考全國(guó)Ⅰ卷理科)某公司的班車(chē)在7:0 0,8:0 0,8:3 0發(fā)車(chē),小明在7:5 0至8:3 0之間到達(dá)發(fā)車(chē)站乘坐班車(chē),且到達(dá)發(fā)車(chē)站的時(shí)刻是隨機(jī)的,則他等車(chē)時(shí)間不超過(guò)1 0分鐘的概率是( )。

解析：由題意畫(huà)出時(shí)間軸如圖3所示,小明到達(dá)的時(shí)間會(huì)隨機(jī)的落在圖中線段A B中,而當(dāng)他到達(dá)的時(shí)間落在線段A C或D B時(shí),才能保證他等車(chē)的時(shí)間不超過(guò)1 0分鐘。于是,根據(jù)幾何概型,小明等車(chē)時(shí)間不超過(guò)1 0分鐘的概率為,故選B。

圖3

點(diǎn)評(píng):求解幾何概率問(wèn)題的關(guān)鍵是確定“測(cè)度”,常見(jiàn)的測(cè)度有:長(zhǎng)度、面積、體積等。本題將幾何概率與班車(chē)發(fā)車(chē)的時(shí)間段聯(lián)系起來(lái),即命題以時(shí)間段為“測(cè)度”,打破以往常規(guī)幾何模式思維,整道題目顯得新穎別致,同時(shí)又體現(xiàn)了數(shù)學(xué)來(lái)源于實(shí)際生活,又服務(wù)于實(shí)際生活的理念。

三、概率與體育競(jìng)賽同行

例4 甲、乙兩名跳高運(yùn)動(dòng)員一次試跳2米高度成功的概率分別是0.7,0.6,且每次試跳成功與否相互之間沒(méi)有影響,求:

(1)甲試跳三次,第三次才成功的概率;

(2)甲、乙兩人在第一次試跳中至少有一人成功的概率;

(3)甲、乙各試跳兩次,甲比乙的成功次數(shù)恰好多一次的概率。

解析：記“甲第i次試跳成功”為事件,“乙第i次試跳成功”為事件Bi,依題意

(1)“甲第三次試跳才成功”為事件,且三次試跳相互獨(dú)立,所以

(2)“甲、乙兩人在第一次試跳中至少有一人成功”為事件C。

方法1:因?yàn)榍冶舜嘶コ?所以:

方法21-0.3×0.4=0.8 8。

(3)設(shè)“甲在兩次試跳中成功i次”為事件Mi(i=0,1,2),“乙在兩次試跳中成功i次”為事件)。因?yàn)槭录凹?、乙各試跳兩?甲比乙的成功次數(shù)恰好多一次”可表示為,且為互斥事件,所以所求的概率為:

點(diǎn)評(píng):本題主要考查體育競(jìng)賽中互斥事件下的概率的計(jì)算,分析時(shí)一定要緊扣定義“事件A與事件B不可能同時(shí)發(fā)生是指若事件A發(fā)生,事件B就不發(fā)生或者事件B發(fā)生,事件A就不發(fā)生”來(lái)判斷是否互斥。概率在體育競(jìng)賽中有重要的應(yīng)用,學(xué)習(xí)時(shí)應(yīng)當(dāng)重視這個(gè)命題背景。

例5 某校在一次趣味運(yùn)動(dòng)會(huì)的頒獎(jiǎng)儀式上,高一、高二、高三各代表隊(duì)人數(shù)分別為1 2 0人、1 2 0人、n人。為了活躍氣氛,大會(huì)組委會(huì)在頒獎(jiǎng)過(guò)程中穿插抽獎(jiǎng)活動(dòng),并用分層抽樣的方法從三個(gè)代表隊(duì)中共抽取2 0人在前排就座,其中高二代表隊(duì)有6人。

(1)求n的值。

(2)把在前排就座的高二代表隊(duì)6人分別記為a,b,c,d,e,f,現(xiàn)隨機(jī)從中抽取2人上臺(tái)抽獎(jiǎng),求a和b至少有1人上臺(tái)抽獎(jiǎng)的概率。

(3)抽獎(jiǎng)活動(dòng)的規(guī)則是:代表通過(guò)操作按鍵使電腦自動(dòng)產(chǎn)生兩個(gè)[0,1]之間的均勻隨機(jī)數(shù)x,y,并按如圖4所示的程序框圖執(zhí)行。若電腦顯示“中獎(jiǎng)”,則該代表中獎(jiǎng);若電腦顯示“謝謝”,則不中獎(jiǎng),求該代表中獎(jiǎng)的概率。

圖4

解析：(1)根據(jù)分層抽樣可得 6=1 2 0

(2)高二代表隊(duì)6人,從中抽取2人上臺(tái)抽獎(jiǎng)的基本事件有(a,b),(a,c),(a,d),(a,e),(a,f),(b,c),(b,d),(b,e),(b,f),(c,d),(c,e),(c,f),(d,e),(d,f),(e,f)共1 5種,其中a和b至少有1人上臺(tái)抽獎(jiǎng)的基本事件有9種,所以a和b至少有1人上臺(tái)抽

圖5

獎(jiǎng)的概率為區(qū)域?yàn)槿鐖D5中的陰影部分。

直線方程2x-y-1=0,令y=0,可得于是在x,y∈

[0,1]時(shí)滿足2x-y-1≤0的區(qū)域的面積為

所以該代表中獎(jiǎng)的概率為

點(diǎn)評(píng):本題將當(dāng)今社會(huì)熱門(mén)活動(dòng)——抽獎(jiǎng)與概率知識(shí)結(jié)合,讓試題增加了趣味性,而抽獎(jiǎng)活動(dòng)生活中比比皆是,以抽獎(jiǎng)為背景命題給同學(xué)們一個(gè)熟悉的生活情境,體現(xiàn)了數(shù)學(xué)知識(shí)與生活的密切聯(lián)系。

四、概率與新概念結(jié)合

例6(2 0 1 5年高考福建卷文科)全網(wǎng)傳播的融合指數(shù)是衡量電視媒體在中國(guó)網(wǎng)民中影響力的綜合指標(biāo)。根據(jù)相關(guān)報(bào)道提供的全網(wǎng)傳播2 0 1 5年某全國(guó)性大型活動(dòng)的“省級(jí)衛(wèi)視新聞臺(tái)”融合指數(shù)的數(shù)據(jù),對(duì)名列前2 0名的“省級(jí)衛(wèi)視新聞臺(tái)”的融合指數(shù)進(jìn)行分組統(tǒng)計(jì),結(jié)果如表1所示。

表1

(1)現(xiàn)從融合指數(shù)在[4,5)和[7,8]內(nèi)的“省級(jí)衛(wèi)視新聞臺(tái)”中隨機(jī)抽取2家進(jìn)行調(diào)研,求至少有1家的融合指數(shù)在[7,8]的概率;

(2)根據(jù)分組統(tǒng)計(jì)表求這2 0家“省級(jí)衛(wèi)視新聞臺(tái)”的融合指數(shù)的平均數(shù)。

解析：(1)融合指數(shù)在[7,8]內(nèi)的“省級(jí)衛(wèi)視新聞臺(tái)”記為A1,A2,A3;融合指數(shù)在[4,5)內(nèi)的“省級(jí)衛(wèi)視新聞臺(tái)”記為B1,B2。從融合指數(shù)在[4,5)和[7,8]內(nèi)的“省級(jí)衛(wèi)視新聞臺(tái)”中隨機(jī)抽取2家的所有基本事件是:{A1,A2},{A1,A3},{A2,A3},{A1,B1},{A1,B2},{A2,B1},{A2,B2},{A3,B1},{A3,B2},{B1,B2},共1 0個(gè)。

其中,至少有1家融合指數(shù)在[7,8)內(nèi)的基本事件是:{A1,A2},{A1,A3},{A2,A3},{A1,B1},{A1,B2},{A2,B1},{A2,B2},{A3,B2},{A3,B2},共9個(gè)。所以所求的概率

(2)這2 0家“省級(jí)衛(wèi)視新聞臺(tái)”的融合指數(shù)平均數(shù)等于

點(diǎn)評(píng):融合指數(shù)是新聞專(zhuān)業(yè)里的“術(shù)語(yǔ)”,在本題中題目做了說(shuō)明:全網(wǎng)傳播的融合指數(shù)是衡量電視媒體在中國(guó)網(wǎng)民中影響力的綜合指標(biāo)。越來(lái)越注重?cái)?shù)學(xué)與生活的聯(lián)系是高考命題的趨勢(shì)之一,本題的命題背景體現(xiàn)了關(guān)注生活也就是關(guān)注數(shù)學(xué)的理念。

例7某次測(cè)量發(fā)現(xiàn)一組數(shù)據(jù)(xi,yi)具有較強(qiáng)的相關(guān)性,并計(jì)算得^y=x+1,其中數(shù)據(jù)(1,y0),y0因書(shū)寫(xiě)不清,只記得y0是[0,3]內(nèi)的任意一個(gè)值,則該數(shù)據(jù)對(duì)應(yīng)的殘差的絕對(duì)值不大于1的概率為 。(殘差=真實(shí)值-預(yù)測(cè)值)

解析：由^y=x+1,得^y0=1+1=2,于是預(yù)測(cè)值為2。由于|y0-2|≤1,因此1≤y0≤3。當(dāng)y0∈[1,3]時(shí),數(shù)據(jù)對(duì)應(yīng)的殘差的絕對(duì)值不大于1,由于y0是[0,3]內(nèi)的任意一個(gè)值,因此數(shù)據(jù)對(duì)應(yīng)的殘差的絕對(duì)值不大于1的概率

點(diǎn)評(píng):根據(jù)“殘差=真實(shí)值-預(yù)測(cè)值”來(lái)進(jìn)行計(jì)算是本題的突破口。新概念題目比較注重對(duì)同學(xué)們閱讀理解能力的考查,所以平時(shí)對(duì)閱讀理解型題目的學(xué)習(xí)與積累是非常有必要的。

五、概率與二進(jìn)制交融

例8 (2 0 1 6年安徽省高中數(shù)學(xué)競(jìng)賽)等可能地隨機(jī)產(chǎn)生一個(gè)正整數(shù)x∈{1,2,…,20 1 6},則x在二進(jìn)制下的各位數(shù)字之和不超過(guò)8的概率等于 。{0,1}。我們考查滿足的x的個(gè)數(shù),其充分必要條件為p≥9-p,因此x的個(gè)數(shù)為

=5 1。從q而x在二進(jìn)制下的各位數(shù)字之和不超過(guò)8的個(gè)數(shù)為20 1 6-5 1=19 6 5,因此所求概率為

點(diǎn)評(píng):二進(jìn)制是計(jì)算機(jī)技術(shù)中廣泛采用的一種數(shù)制,本題將二進(jìn)制與概率融合,考查方式新穎而獨(dú)特,體現(xiàn)了競(jìng)賽題的高立意,新視角。

六、概率與各色小球共舞

例9 (2 0 1 6年高考北京卷理科)袋中裝有偶數(shù)個(gè)球,其中紅球、黑球各占一半。甲、乙、丙是三個(gè)空盒,每次從袋中任意取出兩個(gè)球,將其中一個(gè)球放入甲盒,如果這個(gè)球是紅球,就將另一個(gè)球放入乙盒,否則就放入丙盒。重復(fù)上述過(guò)程,直到袋中所有球都被放入盒中,則( )。

A.乙盒中黑球不多于丙盒中黑球B.乙盒中紅球與丙盒中黑球一樣多C.乙盒中紅球不多于丙盒中紅球

D.乙盒中黑球與丙盒中紅球一樣多

解析：若乙盒中放入的是紅球,則須保證抽到的兩個(gè)均是紅球;若乙盒中放入的是黑球,則須保證抽到的兩個(gè)球是一紅一黑,且紅球放入甲盒;若丙盒中放入的是紅球,則須保證抽到的兩個(gè)球是一紅一黑,且黑球放入甲盒;若丙盒中放入的是黑球,則須保證抽到的兩個(gè)球都是黑球;由于抽到的兩個(gè)球是紅球和黑球的次數(shù)是奇數(shù)還是偶數(shù)無(wú)法確定,故無(wú)法判定乙盒和丙盒中異色球的大小關(guān)系,而抽到兩個(gè)紅球的次數(shù)與抽到兩個(gè)黑球的次數(shù)應(yīng)是相等的,故選C。

點(diǎn)評(píng):本題將小球與概率知識(shí)結(jié)合,創(chuàng)新味十足,命題立意在出現(xiàn)情況的等可能性。如果所求事件對(duì)應(yīng)的基本事件有多種可能,那么一般我們通過(guò)逐一列舉計(jì)數(shù),再求概率,此題即是如此。列舉的關(guān)鍵是要有序(有規(guī)律),從而確保不重不漏。

七、概率與直線和圓交匯

例1 0 (2 0 1 6年高考山東卷理科)在[-1,1]上隨機(jī)地取一個(gè)數(shù)k,則事件“直線y=k x與圓(x-5)2+y2=9相交”發(fā)生的概率為 。

解析：直線y=k x與圓(x-5)2+y2=9相交,需要滿足圓心到直線的距離小于半徑,是所求概率

點(diǎn)評(píng):本題綜合性較強(qiáng),具有“無(wú)圖考圖”的顯著特點(diǎn),幾何概型概率的計(jì)算問(wèn)題,當(dāng)涉及圓心距的計(jì)算與弦長(zhǎng)相關(guān)的問(wèn)題時(shí)往往要關(guān)注“圓的特征直角三角形”。在直線與圓的知識(shí)和概率知識(shí)的交匯處命題,較好地考查了同學(xué)們分析問(wèn)題解決問(wèn)題的能力以及運(yùn)算能力。

八、概率與平面向量相伴

例1 1 (2 0 1 6

年高考上海卷理科)如圖6,在平面直角坐標(biāo)系x O y中,O為正八邊形A1A2…A8的中心,A1(1 ,0)。任取不同的兩點(diǎn)Ai,Aj,點(diǎn)P滿=0,則點(diǎn)P落在第一象限的概率是 。

圖6

解析：根據(jù)題意分析知共有C28=2 8(種)基本事件,其中使點(diǎn)P落在第一象限共有(種)基本事件,故所求概率為

點(diǎn)評(píng):本題是概率新考題型,在概率的計(jì)算上做文章,考查同學(xué)們思維的靈活性。解答本題的關(guān)鍵是從坐標(biāo)系中的平面向量知識(shí)入手,準(zhǔn)確確定所研究對(duì)象的基本事件空間、基本事件個(gè)數(shù),利用概率的計(jì)算公式求解。對(duì)增強(qiáng)同學(xué)們數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí)、基本運(yùn)算求解能力不無(wú)裨益。

九、概率與實(shí)際應(yīng)用牽手

例1 2 (2 0 1 5年高考北京卷文科)某超市隨機(jī)選取10 0 0位顧客,記錄了他們購(gòu)買(mǎi)甲、乙、丙、丁四種商品的情況,整理成如下統(tǒng)計(jì)表,如表2,其中“√”表示購(gòu)買(mǎi),“×”表示未購(gòu)買(mǎi)。

表2

(1)估計(jì)顧客同時(shí)購(gòu)買(mǎi)乙和丙的概率;

(2)估計(jì)顧客在甲、乙、丙、丁中同時(shí)購(gòu)買(mǎi)3中商品的概率;

(3)如果顧客購(gòu)買(mǎi)了甲,則該顧客同時(shí)購(gòu)買(mǎi)乙、丙、丁中哪種商品的可能性最大?

解析：(1)從統(tǒng)計(jì)表可以看出,在這10 0 0位顧客中,有2 0 0位顧客同時(shí)購(gòu)買(mǎi)了乙和丙,所以顧客同時(shí)購(gòu)買(mǎi)乙和丙的概率可以估計(jì)為

(2)從統(tǒng)計(jì)表可以看出,在這10 0 0位顧客中,有1 0 0位顧客同時(shí)購(gòu)買(mǎi)了甲、丙、丁,另有2 0 0位顧客同時(shí)購(gòu)買(mǎi)了甲、乙、丙,其他顧客最多購(gòu)買(mǎi)了2種商品。所以顧客在甲、乙、丙、丁中同時(shí)購(gòu)買(mǎi)3種商品的概率可以估計(jì)

(3)與(1)同理,可得:

顧客同時(shí)購(gòu)買(mǎi)甲和乙的概率可以估計(jì)為

顧客同時(shí)購(gòu)買(mǎi)甲和丙的概率可以估計(jì)為

顧客同時(shí)購(gòu)買(mǎi)甲和丁的概率可以估計(jì)為

所以,如果顧客購(gòu)買(mǎi)了甲,則該顧客同時(shí)購(gòu)買(mǎi)丙的可能性最大。

點(diǎn)評(píng):本題主要考查統(tǒng)計(jì)表、概率等基礎(chǔ)知識(shí),考查同學(xué)們的分析問(wèn)題解決問(wèn)題的能力、轉(zhuǎn)化能力、計(jì)算能力。第一問(wèn),由統(tǒng)計(jì)表讀出顧客同時(shí)購(gòu)買(mǎi)乙和丙的人數(shù)2 0 0,計(jì)算出概率;第二問(wèn),先由統(tǒng)計(jì)表讀出顧客在甲、乙、丙、丁中同時(shí)購(gòu)買(mǎi)3種商品的人數(shù)1 0 0+2 0 0,再計(jì)算概率;第三問(wèn),由統(tǒng)計(jì)表讀出顧客同時(shí)購(gòu)買(mǎi)甲和乙的人數(shù)為2 0 0,顧客同時(shí)購(gòu)買(mǎi)甲和丙的人數(shù)為1 0 0+2 0 0+3 0 0,顧客同時(shí)購(gòu)買(mǎi)甲和丁的人數(shù)為1 0 0,分別計(jì)算出概率,再通過(guò)比較大小得出結(jié)論。