淺淡超幾何分布和二項分布的區別與聯系

■重慶市鐵路中學校 何成寶

一、混淆超幾何分布和二項分布的定義而導致錯誤

我們知道二項分布的定義:一般地,在n次獨立重復試驗中,設事件A發生的次數為X,在每次試驗中事件A發生的概率為p,那么在n次獨立重復試驗中,事件A恰好發生k次的概率P(X=k)=Cknpkqn-k,其中0＜p＜1,p+q=1,k=0,1,2,…,n,則稱X服從參數為n,p的二項分布,記為X～B(n,p)。

超幾何分布的定義是:一般地,在含有M件次品的N件產品中,任取n件,其中恰有X件次品數,則事件{X=k}發生的概率

N中m=m i n{M,n},且n≤N,M≤N,n,M,N∈N*,則稱X服從超幾何分布,記為X～H(n,M,N)。

由以上定義可知,二項分布模型和超幾何分布模型最主要的區別在于是有放回抽樣還是無放回抽樣。一般說來,有放回抽樣與無放回抽樣計算的概率是不同的,特別在抽取對象數目不大時更是如此。所以,同學們在解有關二項分布和超幾何分布問題時,仔細閱讀、辨析題目條件非常重要。同學們對這兩個模型的定義不能很好地理解,下面就要對含“取”或“摸”的題型加以分析。

例1 口袋中有8個白球,2個黑球,從中隨機地連續取3次球,每次取1個,求:

(1)不放回抽樣時,取到黑球的個數ξ的分布列;

(2)放回抽樣時,取到黑球個數η的分布列。

分析：不放回抽樣時,若取出1個,則總體就少1個,因此ξ的最大值為2,屬于超幾何分布模型。放回抽樣時,每次抽取時的總體沒有改變且每次取到黑球的概率相同,因此η的最大值為3,屬于二項分布模型。

解：(1)不放回抽樣時,取到的黑球個數ξ可能的取值為0,1,2,則:

所以η的分布列為:

ξ 0 1 2 P 7 1 5 71 1 51 5

(2)放回抽樣時,取到的黑球個數η可能的取值為0,1,2,3。又由于每次抽到黑球的概率均為,3次取球可以看成3次獨

所以η的分布列為:

ξ 0 1 2 3 P 6 4 1 2 5 1 4 8 1 2 5 1 2 1 2 51 2 5

點評:兩種分布的差別就在于“有”與

涉及超幾何分布和二項分布的分布列和期望問題已成為常考題型,不少同學不明白超幾何分布和二項分布之間的區別,從而解題錯誤。因此,有必要闡述一下兩者之間的區別和聯系。下面舉例說明,以供同學們參考。“無”的差別,“放回”和“不放回”就是兩種分布轉換的關鍵。

練習：在高二年級的聯歡會上設計了一個摸獎游戲,在一個口袋中有大小相同的1 0個紅球和2 0個白球。從中隨機地連續取5次球,每次取1個,求:

(1)若從中任意摸出5個球,求摸到4個紅球的概率;

(2)摸出1個球記下顏色,放回后再摸1個球,反復5次,摸到4個紅球1個白球就是一等獎,求獲一等獎的概率。

解析：(1)從3 0個球中摸出5個球,共有C530種方法,摸到4個紅球有C410C120種方法,摸到4個紅球的概率為

(2)有放回摸球,由于每次抽到紅球的概率均為,5次取球可以看成5次獨立重復試驗,設取到紅球個數為ξ,則ξ～

故摸到4個紅球1個白球的概率為:

點評:通過此例可以看出,有放回抽樣時,每次抽取時的總體沒有改變,每次抽到某物的概率是相同的,可以看成是獨立重復試驗,此種抽樣是二項分布模型。而無放回抽樣時,取出一個則總體中就少一個,因此每次取到某物的概率是不同的,此種抽樣為超幾何分布模型。

二、超幾何分布和二項分布的聯系與區別而導致錯誤

超幾何分布和二項分布確實有著密切的聯系,但也有明顯的區別。樣本個數越大,超幾何分布和二項分布的對應概率相差越小,當樣本個數為無窮大時,超幾何分布和二項分布對應的概率幾乎相等。還有超幾何分布所涉及的樣本數目是具體的。所以只有掌握“有、無放回”及樣本個數“有限、無限”時所對應的分布類型,才不會出現選擇方法上的錯誤。

例2 根據我國相關法律規定,食品的含汞量不得超過1.0 0p p m,沿海某市對一種貝類海鮮產品進行抽樣檢查,抽出樣本2 0個,測得含汞量(單位:p p m)數據如表1所示:

表1

(1)若從這2 0個產品中隨機抽取3個,求恰有1個含汞量超標的概率;

(2)以此2 0個產品的樣本數據來估計這批貝類海鮮產品的總體,若從這批數量很大的貝類海鮮產品中任選3個,記ξ表示抽到的產品含汞量超標的個數,求ξ的分布列及數學期望E(ξ)。

解析：(1)記“從這2 0個產品中隨機抽取3個,恰有一個含汞量超標”為事件A,則所求事件概率為:

(2)根據題意,這批貝類海鮮產品中含汞量超標的概率為P=5=1,抽到的產品含2 04汞量超標的個數ξ的所有可能取值為0,1,2,3。

故ξ的分布列為:

ξ 0 1 2 3 P 2 7 6 4 91 2 7 6 46 46 4

點評:本題第(2)問是二項分布問題,求解時,容易看成超幾何分布來處理,造成錯解。由二項分布和超幾何分布的定義可知,二項分布和超幾何分布的區別是“有放回抽樣”還是“無放回抽樣”。