用數學建模法搞定隨機變量的分布列

■陜西省洋縣中學 李 勇

數學建模法是一種極其重要的思想方法,它是把實際問題抽象成數學語言符號,構建數學模型,從而解決實際問題。其一般步驟是:分析實際問題→構建數學模型→建立數學關系式→解數學關系式→回歸實際問題。

建模法在隨機變量的分布列考點的應用中,主要體現在古典概型、超幾何分布概型、二項分布概型(特殊的二項分布(兩點分布)和普通的二項分布)的解題中。下面結合近幾年的高考動態,進行探究。

模型1：運用古典概型求解分布列

離散型隨機變量的分布列不僅能清楚地反映其所取的一切可能的值,而且也能清楚地看到取每一個值的概率大小。概率的求解離不開古典概型,因此古典概型是完善分布列求解的有力工具。

例1 (2 0 1 5年福建省理科卷)某銀行規定:一張銀行卡若在一天內出現3次密碼嘗試錯誤,該銀行卡將被鎖定。小王到銀行取錢時,發現自己忘記了銀行卡的密碼,但是可以確定該銀行卡的正確密碼是他常用的6個密碼之一,小王決定從中不重復地隨機選擇1個進行嘗試。若密碼正確,則結束嘗試;否則繼續嘗試,直至該銀行卡被鎖定。

(1)求當天小王的該銀行卡被鎖定的概率;

(2)設當天小王用該銀行卡嘗試密碼次數為X,求X的分布列。

解析：(1)設“當天小王的該銀行卡被鎖定”的事件為A,則P(A)==

(2)依題意得,X所有可能的取值是1,2,3。

所以X的分布列為:

X 1 2 3 P 112 663

點評:求離散型隨機變量的概率分布首先要清楚離散型隨機變量的可能取值,以及當隨機變量取這些值時所對應的事件的概率是多少,通常化歸到古典概型的概率模型上計算出概率值后,再列出離散型隨機變量概率分布列即可。

模型2：運用超幾何分布模型求解分布列

分布列的求解在形式上常由較明顯的兩部分組成,如“男生、女生”,“正品、次品”,“優、劣”等字眼構成,符合這幾種形式就是超幾何分布模型。

例2 (2 0 1 7年山東省理科第1 8題)在心理學研究中,常采用對比試驗的方法評價不同心理暗示對人的影響,具體方法如下:將參加試驗的志愿者隨機分成兩組,一組接受甲種心理暗示,另一組接受乙種心理暗示,通過對比這兩組志愿者接受心理暗示后的結果來評價兩種心理暗示的作用。現有6名男志愿者和4名女志愿者,從中隨機抽取5人接受甲種心理暗示,另5人接受乙種心理暗示。

(1)求接受甲種心理暗示的志愿者中包含A1但不包含B1的頻率;

(2)用X表示接受乙種心理暗示的女志愿者人數,求X的分布列與數學期望E(X)。

解析：(1)記接受甲種心理暗示的志愿者包含A1但不包含B1的事件為M,則P(M)=

(2)由題意可知X可取的值為:0,1,2,3,4。因此,X的分布列為:

X 0 1 2 3 4 P 151 051 4 22 12 12 14 2

X的數學期望是:1=2。4 2

點評:解答此類題目的關鍵在于先分析隨機變量是否滿足超幾何分布,如果滿足超幾何分布的條件,則直接利用超幾何分布的概率公式求解。當然,本題也可通過古典概型解決,但利用超幾何分布概率公式簡化了對每一種情況的分析,因此要簡單一些。

模型3：運用二項分布模型求分布列

1.特殊的二項分布(兩點分布)模型

兩點分布是一次試驗中只會出現兩種結果,在二項分布中,當n=1時即為兩點分布,故兩點分布是特殊的二項分布。

例3 某商店試銷某種商品2 0天,獲得如下數據:

表1

試銷結束后(假設該商品的日銷售量的分布規律不變),設某天開始營業時有該商品3件,當天營業結束后檢查存貨,若發現存貨少于2件,則當天進貨補充至3件,否則不進貨。將頻率視為概率。

(1)求當天商店不進貨的概率;

(2)記X為第二天開始營業時該商品的件數,求X的分布列和數學期望。

解析：(1)P(“當天商店不進貨”)=P(“當天商品銷售量為0件”)+P(“當天商品銷售量為1件”)=1+5=3。2 02 01 0

(2)由題意知,X的可能取值為2,3。

P(X=2)=P(“當天商品銷售量為1件”)=;

P(X=3)=P(“當天商品銷售量為0件”)+P(“當天商品銷售量為2件”)+P(“當天商品銷售量為3件”)=故X的分布列為:

?

點評:兩點分布的題型特征是隨機變量的可能取值只有2個,計算其中一個隨機變量取值相應的概率后,另一個隨機變量相應的概率就可以直接計算,也可以利用對立事件的概率之和為1計算,它屬于特殊的二項分布問題。

2.普通的二項分布模型

二項分布是有放回地抽樣檢驗問題,在實際操作中,從大批產品中抽取少量樣品的不放回檢驗,可以近似看作此類模型。它在一次試驗中,事件發生與否二者必居其一;試驗是獨立重復進行的。傳解眾目隨名查媒某對 。機的 觀例下公地某抽收眾面司區類4取視 進是 為電體了情行根電了視育1況0視了觀節 調據 0,

圖1

調查結果繪制的觀眾日均收看該體育節目時間的頻率分布直方圖,如圖1所示。

將日均收看該體育節目時間不低于4 0分鐘的觀眾稱為“體育迷”。

(1)根據已知條件完成下面的列聯表(表2),并據此資料說說你是否認為“體育迷”與性別有關。

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