三次函數考什么？

■福建省龍巖市永定區城關中學 童其林(特級教師)

三次函數是一類重要函數,三次函數的導數為二次函數,而二次函數是高中數學中的重要內容,并且三次函數可交匯函數、不等式、方程等眾多知識點,所以三次函數已經成為高考命題一個新的熱點和亮點。下面歸納整理三次函數的主要考點,并剖析三次函數有關問題的基本思路,以饗讀者。

一、考查三次函數的單調性

如何定義三次函數?形如y=a x3+b x2+c x+d(a≠0)的函數,稱為三次函數(從函數解析式的結構上命名)。三次函數的導數y'=3a x2+2b x+c(a≠0),把Δ=4b2-1 2a c叫作三次函數的導函數的判別式。

一般地,當b2-3a c≤0時,三次函數y=數;當時,三次函數y=a x3+在R上有三個單調區間,根據a＞0,a＜0兩種情況進行分類討論。

例1內單調遞減,則a的取值范圍是 。

解析：問題轉化為上恒成立,求a的取值范圍。即g'(x)＜0在(-∞,0)上恒成立,所以a=0適合題意。

(2)當a＞0時,二次函數g'(x)開口向上,不可能有上恒成立,所以a＞0不合題意。

(3)當a＜0時,二次函數g'(x)開口向下,其對稱軸x=2(a-1)＞0,畫出草圖知,3a只需滿足

點評:題目沒有說是三次函數,所以要討論a=0的情形。

二、考查三次函數的極值

當Δ＞0時,三次函數y=f(x)在(-∞,+∞)上的極值點有兩個。

當Δ≤0時,三次函數y=f(x)在(-∞,+∞)上不存在極值點。

可以用表1說明三次函數單調性與極值點的關系。在R上是單調函

表1

其中是方程f'(x)=0的根,且。

例2 已知函數既有極大值又有極小值,則實數a的取值范圍是 。

又因為f(x)既有極大值又有極小值,所以f'(x)=0必有兩個不等的解,Δ=4a2-4a-8＞0。

解得a＜-1或a＞2,所以a的取值范圍是(-∞,-1)∪(2,+∞)。

點評:通過求函數的導數,將函數問題轉化為一元二次方程來探究,充分體現了函數與方程相互轉化的解題思想與解題策略。

三、考查三次函數的最值問題

例3 函數f(x)=x3-3x+1在閉區間[-3,0]上的最大值、最小值分別是( )

A.1、-1 B.1、-1 7

C.3、-1 7 D.9、-1 9

解析：令f'(x)=0,則3x2-3=0,兩根為1和-1,但1?[-3,0],不計算。

計算端點和極大、極小點的值,得f(-3)

四、考查三次函數恒成立問題

例4 (2 0 0 8年江蘇高考數學試卷第1 4題)設函數若對于任意x∈[-1,1]都有f(x)≥0成立,則實數a的值為 。

分析：將f(x)≥0中的a,x分離,然后求函數的最值。

解：若函數f(x)=a x3-3x+1(x∈R)對于任意x∈[-1,1]都有f(x)≥0成立,則函數f(x)=a x3-3x+1對于任意x∈[-1,t≤2)單調遞增ymax=h(2)=4;當t單調遞減,ymax=h(2)=4。由題意知①②③應同時成立,故a=4。

五、考查三次方程根的問題

時,不等式恒成立,故函數是單調遞增的,方程f(x)=0僅有一個實根。f(x)極大值點和極小值點在x軸同側,圖像均與x軸只有一個交點,所以方程f(x)=0有且只有一個實根。②若,即函數y=f(x)極大值點與極小值點在x軸異側,圖像與x軸必有三個交點,所以方程f(x)=0有三個不等實根。

③若f(x1)·f(x2)=0,即f(x1)與f(x2)中有且只有一個值為0,所以方程f(x)=0有三個實根,其中兩個相等。

同理,也可討論三次函數當a＜0時的情形。

例5(2 0 1 2年全國大綱卷理科第1 0題)已知函數y=x3-3x+c的圖像與x軸恰有兩個公共點,則c=( )。

A.-2或2 B.-9或3

C.-1或1 D.-3或1

當y'＞0時,x＜-1或x＞1;

當y'＜0時,-1＜x＜1。

所以函數的遞增區間為(-∞,-1)和(1,+∞),遞減區間為(-1,1)。

因此,x=-1時,取得極大值;x=1時,取得極小值。

要使函數圖像與x軸恰有兩個公共點,只需:f(-1)=0或f(1)=0,即(-1)+c=0或1-3+c=0,所以c=-2或c=2。

故答案為A。-3×

(責任編輯 徐利杰)

(上接第3 2頁)

表2

(2)將上述調查所得到的頻率視為概率。現在從該地區電視觀眾中,采用隨機抽樣方法每次抽取1名觀眾,抽取3次,記被抽取的3名觀眾中的“體育迷”人數為X。若每次抽取的結果是相互獨立的,求X的分布列,期望和方差。附:

解析：(1)由頻率分布直方圖可知,在抽取的1 0 0人中,“體育迷”有2 5人,從而2×2列聯表如下(表3):由2×2列聯表中數據代入公式計算,得:

表3

因為3.0 3 0＜3.8 4 1,所以沒有理由認為“體育迷”與性別有關。

(2)由頻率分布直方圖知抽到“體育迷”的頻率為0.2 5,將頻率視為概率1,即從觀眾4

中抽取一名“體育迷”的概率為,由題意,x～,從而X的分布列為:

X 0 1 2 3 P 2 7 6 4 2 7 6 4 91 6 46 4

點評:二項分布是一種常見的離散型隨機變量的概率分布,利用二項分布可以快速地寫出隨機變量的分布列,從而簡化了求隨機變量某一個具體概率值的過程。利用二項分布來解決實際問題的關鍵在于在實際問題中建立二項分布的模型,也就是看它是否是n次獨立重復試驗,隨機變量是不這n次獨立重復試驗中某事件發生的次數,滿足這兩點的隨機變量才服從二項分布,否則就不服從二項分布。