離散型隨機變量的分布列、期望和方差高考鏈接

■山東棗莊二中 楊文金

一、高考考情

離散型隨機變量的均值與方差是高考的熱點,主要考查同學們對取有限個值的離散型隨機變量的均值、方差的理解,要求同學們能計算簡單離散型隨機變量的均值、方差,并能解決一些實際問題。若單獨考查,一般以客觀題形式出現,主要考查利用公式進行計算,難度不大。若以解答題形式出現,一般不單獨考查,常見命題方式有兩種:一是與概率、分布列計算結合在一起進行考查,二是與統計結合在一起進行考查,難度中等。

二、要點整合

1.高考對離散型隨機變量的均值與方差的考查主要有以下三個命題角度:

(1)已知離散型隨機變量符合條件,求其均值與方差;

(2)已知離散型隨機變量的均值與方差,求參數值;

(3)已知離散型隨機變量滿足兩種方案,試作出判斷。

2.求離散型隨機變量均值、方差的基本方法:

(1)已知隨機變量的分布列求它的均值、方差和標準差,可直接按定義(公式)求解;

(2)已知隨機變量ξ的均值、方差,求ξ的線性函數η=aξ+b的均值、方差和標準差,可直接用ξ的均值、方差的性質求解;

(3)如能分析所給隨機變量服從常用的分布(如兩點分布、二項分布等),可直接利用它們的均值、方差公式求解。

3.解答題中對期望與方差的考查常與分布列結合在一起進行考查,求解此類問題要先根據隨機變量的定義,確定隨機變量可以取哪些值,然后根據隨機變量取這些值的意義求出取這些值的概率,列出分布列,根據均值與方差的公式計算,若隨機變量服從二項分布,可直接利用公式E(X)=n p,D(X)=n p(1-p)求解。

4.均值與方差的實際應用。

對于均值與方差的實際應用,命題模式通常是已知離散型隨機變量滿足兩種方案,試作出判斷。求解這類問題要用到均值與方差。

(1)D(X)表示隨機變量X對E(X)的平均偏離程度,D(X)越大表明平均偏離程度越大,說明X的取值越分散;反之,D(X)越小,X的取值越集中在E(X)附近,統計中常用來描述X的分散程度。

(2)隨機變量的均值反映了隨機變量取值的平均水平,方差反映了隨機變量取值偏離于均值的程度,它們從整體和全局上刻畫了隨機變量,是生產實際中用于方案取舍的重要的理論依據,一般先比較均值,若均值相同,再用方差來決定。

三、考題選析

例1 (2 0 1 7年新課標Ⅲ卷理)某超市計劃按月訂購一種酸奶,每天進貨量相同,進貨成本每瓶4元,售價每瓶6元,未售出的酸奶降價處理,以每瓶2元的價格當天全部處理完。根據往年銷售經驗,每天需求量與當天最高氣溫(單位:℃)有關。如果最高氣溫不低于2 5,需求量為5 0 0瓶;如果最高氣溫位于區間[2 0,2 5),需求量為3 0 0瓶;如果最高氣溫低于2 0,需求量為2 0 0瓶。為了確定六月份的訂購計劃,統計了前三年六月份各天的最高氣溫數據,得下面的頻數分布表(見表1):

表1

以最高氣溫位于各區間的頻率代替最高氣溫位于該區間的概率。

(1)求六月份這種酸奶一天的需求量X(單位:瓶)的分布列;

(2)設六月份一天銷售這種酸奶的利潤為Y(單位:元),當六月份這種酸奶一天的進貨量n(單位:瓶)為多少時,Y的數學期望達到最大值?

解：(1)由題意得,X可取2 0 0,3 0 0,5 0 0。

故X的分布列為:

表2

表3

所以Y的分布列為:6 4 0=5 2 0(元)。

表4

綜上,當n為3 0 0瓶時,Y的數學期望達到最大值。

點評:本題把隨機變量的分布列與統計及函數結合在一起進行考查,有一定的綜合性,但難度不是太大,求解關鍵是讀懂題意,所以同學們學習時要重視數學中的閱讀理解問題。

例2(2 0 1 7年新課標Ⅰ卷理)為了監控某種零件的一條生產線的生產過程,檢驗員每天從該生產線上隨機抽取1 6個零件,并測量其尺寸(單位:c m)。根據長期生產經驗,可以認為這條生產線正常狀態下生產的零件的尺寸服從正態分布N(μ,σ2)。

(1)假設生產狀態正常,記X表示一天內抽取的1 6個零件中其尺寸在(μ-3σ,μ+3σ)之外的零件數,求P(X≥1)及X的數學期望。

(2)一天內抽檢零件中,如果出現了尺寸在(μ-3σ,μ+3σ)之外的零件,就認為這條生產線在這一天的生產過程可能出現了異常情況,需對當天的生產過程進行檢查。

(ⅰ)試說明上述監控生產過程方法的合理性;

(ⅱ)下面是檢驗員在一天內抽取的1 6個零件的尺寸:0.2 1 2,其中為抽取的第i個零件的尺寸,i=1,2,…,1 6。

表5

用樣本平均數x 作為μ的估計值^μ,用樣本標準差s作為σ的估計值^σ,利用估計值判斷是否需對當天的生產過程進行檢查。剔除)之外的數據,用剩下的數據估計μ和σ(精確到0.0 1)。

附:若隨機變量Z服從正態分布N(μ,σ2),則P(μ-3σ＜Z＜μ+3σ)=0.9 9 74,0.9 9 7416≈0.9 5 92,0.0 0 8≈0.0 9。

分析：(1)根據題設條件知一個零件的尺寸在(μ-3σ,μ+3σ)之內的概率為0.9 9 74,則零件的尺寸在(μ-3σ,μ+3σ)之外的概率為0.0 0 26,而X～B(1 6,0.0 0 26),進而可以求出X的數學期望。(2)(i)判斷監控生產過程的方法的合理性,重點是考慮一天內抽取的1 6個零件中,出現尺寸在(μ-3σ,μ+3σ)之外的零件的概率大還是小,若小即合理;(i i)根據題設條件算出μ的估計值和σ的估計值,剔除之外的 數據9.2 2,算出剩下數據的平均數,即為μ的估計值,剔除之 外的數 據 9.2 2,剩下數據的樣本方差,即為σ的估計值。

解：(1)抽樣的一個零件的尺寸在(μ-3σ,μ+3σ)之內的概率為0.9 9 74,從而零件的尺寸在 (μ-3σ,μ+3σ)之外的概率為0.0 0 26,故X～B(1 6,0.0 0 26),因此:

P(X≥1)=1-P(X=0)=1-0.9 9 7416=0.0 4 08。

X的數學期望為E X=1 6×0.0 0 26=0.0 4 16。

(2)(i)如果生產狀態正常,一個零件尺寸 在 (μ-3σ,μ+3σ)之 外 的 概 率 只 有0.0 0 26,一天內抽取的1 6個零件中,出現尺寸在(μ-3σ,μ+3σ)之外的零件的概率只有0.0 4 08,發生的概率很小。因此一旦發生這種情況,就有理由認為這條生產線在這一天的生產過程可能出現了異常情況,需對當天的生產過程進行檢查,可見上述監控生產過程的方法是合理的。

(i i)由ˉx=9.9 7,s≈0.2 1 2,得μ的估計值為^μ=9.9 7,σ的估計值為^σ=0.2 1 2,由樣本數據可以看出有一個零件的尺寸在(^μ-3^σ,^μ+3^σ)之外,因此需對當天的生產過程進行檢查。

剔除(^σ-3^σ,^μ+3^σ)之外的 數據9.2 2,剩下數據的平均數為1 0.0 2,因此μ的估計值為1 0.0 2。15 9 1.1 3 4,剔 除)之 外 的 數 據9.2 2,剩下數據的樣本方差為

因此σ的估計值為 0.0 0 8≈0.0 9。

點評:數學期望是離散型隨機變量中重要的數學概念,反映隨機變量取值的平均水平。求解離散型隨機變量的分布列、數學期望時,首先要分清事件的構成與性質,確定離散型隨機變量的所有取值,然后根據概率類型選擇公式,計算每個變量取每個值的概率,列出對應的分布列,最后求出數學期望。正態分布是一種重要的分布,之前考過一次,尤其是正態分布的3σ原則。