隨機變量及其分布考點突破

2018-07-02 12:14:42山東省棗莊二中羅桂花

中學生數理化(高中版.高二數學) 2018年6期

■山東省棗莊二中羅桂花

一、高考定位

概率模型多考查獨立重復試驗、相互獨立事件、互斥事件及對立事件等知識;而離散型隨機變量的分布列及期望也是考試中的“熱點”,并且多以解答題形式出現,常考查獨立事件的概率,超幾何分布和二項分布的期望等。

二、考點例析

考點1：相互獨立事件的概率

例1 (2 0 1 6年高考北京卷)A、B、C三個班共有1 0 0名學生,為調查他們的體育鍛煉情況,通過分層抽樣獲得了部分學生一周的鍛煉時間,數據如表1:

表1

(1)試估計C班的學生人數。

(2)從A班和C班抽出的學生中,各隨機選取一人,A班選出的學生記為甲,C班選出的學生記為乙,假設所有學生的鍛煉時間相對獨立,求一周中甲的鍛煉時間比乙的鍛煉時間長的概率。

(3)再從A、B、C三個班中各隨機抽取一名學生,他們該周的鍛煉時間分別是7,9,8.2 5(單位:小時),這3個新數據與表格中的數據構成的新樣本的平均數記μ1,表格中數據的平均數記為μ0,試判斷μ0和μ1的大小(結論不要求證明)。

分析：(1)由分層抽樣的抽樣比估算出C班的學生人數。

(2)根據題意列出“該周甲的鍛煉時間比乙的鍛煉時間長”的所有事件,由獨立事件概率公式求值。

(3)根據平均數公式進行判斷即可。

解：(1)由題意知,抽出的2 0名學生中,來自C班的學生有8名,根據分層抽樣方法知,C班的學生人數估計為1 0 0×8=4 0。2 0

(2)設事件Ai為“甲是現有樣本中A班的第i個人”,i=1,2,…,5。

事件Cj為“乙是現有樣本中C班的第j個人”,j=1,2,…,8。

設事件E為“一周中甲的鍛煉時間比乙的鍛煉時間長”,由題意可知:

E=A1C1∪A1C2∪A2C1∪A2C2∪A2C3∪A3C1∪A3C2∪A3C3∪A4C1∪A4C2∪A4C3∪A5C1∪A5C2∪A5C3∪A5C4。

因此P(E)=P(A1C1)+P(A1C2)+P(A2C1)+P(A2C2)+P(A2C3)+P(A3C1)+P(A3C2)+P(A3C3)+P(A4C1)+P(A4C2)+P(A4C3)+P(A5C1)+P(A5C2)+P(A5C3)+P(A5C4)

(3)根據平均數計算公式即可知,μ1＜μ0。

點評:對于復雜事件的概率,要先分析事件的構成,理清各事件之間的關系,并依據互斥事件概率的和,或者相互獨立事件概率的積的公式列出關系式。

考點2：獨立重復試驗的概率

例2 (2 0 1 6年臨沂模擬卷)一家面包房根據以往某種面包的銷售記錄,繪制了日銷售量的頻率分布直方圖,如圖1所示。

圖1

將日銷售量落入各組的頻率視為概率,并假設每天的銷售量相互獨立。

(1)求在未來3天里,有連續2天的日銷售量都不低于1 0 0個且另一天的日銷售量低于5 0個的概率。

(2)用X表示在未來3天里日銷售量不低于1 0 0個的天數,求隨機變量X的分布列,期望E(X)及方差D(X)。

解析：(1)設A1表示事件“日銷售量不低于1 0 0個”,A2表示事件“日銷售量低于5 0個”,B表示事件“在未來連續3天里,有連續2天的日銷售量都不低于1 0 0個且另一天的日銷售量低于5 0個”,因此有:X的分布列為:

X 0 1 2 3 P 0.0 6 4 0.2 8 8 0.4 3 2 0.2 1 6

因為X～B(3,0.6),所以期望E(X)=3×0.6=1.8,方差D(X)=3×0.6×(1-0.6)=0.7 2。

點評:在解題時注意獨立重復試驗的基本特征:(1)在每次試驗中,試驗結果只有發生與不發生兩種情況;(2)在每次試驗中,事件發生的概率相同。

考點3：條件概率

例3 (2 0 1 6年高考新課標Ⅱ卷理科數學)某險種的基本保費為a(單位:元),繼續購買該險種的投保人稱為續保人,續保人的本年度的保費與其上年度的出險次數的關聯如下:

上年度出險次數 0 1 2 3 4 ≥5保費 0.8 5a a 1.2 5a 1.5a 1.7 5a 2a

設該險種一續保人一年內出險次數與相應概率如下:

一年內出險次數 0 1 2 3 4 ≥5概率 0.3 0 0.1 5 0.2 0 0.2 0 0.1 0 0.0 5

(1)求一續保人本年度的保費高于基本保費的概率;

(2)若一續保人本年度的保費高于基本保費,求其保費比基本保費高出6 0%的概率;

(3)求續保人本年度的平均保費與基本保費的比值。

分析：(1)根據互斥事件的概率公式,可求一續保人本年度的保費高于基本保費的概率;(2)當且僅當一年內出險次數大于3,一續保人本年度的保費才高于基本保費6 0%,可由條件概率公式求解;(3)記續保人本年度的保費為X,求X的分布列及期望值。

解：(1)設A表示事件:“一續保人本年度的保費高于基本保費”,只有當一年內出險次數大于1,事件A才會發生,故P(A)=0.2 0+0.2 0+0.1 0+0.0 5=0.5 5。

(2)設B表示事件:“一續保人本年度的保費比基本保費高出6 0%”,則事件B只有當一年內出險次數大于3才會發生,故P(B)=0.1 0+0.0 5=0.1 5。

(3)記續保人本年度的保費為X,則X的分布列為:

X0.8 5a a 1.2 5a1.5a1.7 5a2a P 0.3 0 0.1 50.2 00.2 00.1 0 0.0 5

E(X)=0.8 5a×0.3 0+a×0.1 5+1.2 5a×0.2 0+1.5a×0.2 0+1.7 5a×0.1 0+2a×0.0 5=1.2 3a。

因此續保人本年度的平均保費與基本保費的比值為1.2 3。

點評:條件概率的求法:

(1)定義法,先求P(A)和P(A B),再由

(2)基本事件法,當基本事件滿足有限性和等可能性時,可借助古典概率公式,先求事件A包含的基本事件數n(A),再在事件A發生的條件下求事件B包含的基本事件數

考點4：利用相互獨立事件、互斥事件的概率求分布列

例4 乒乓球臺面被網分隔成甲、乙兩部分,如圖2所示,甲部分有兩個不相交的區域A、B,乙部分被劃分為兩個不相交的區域C、D。某次測試要求隊員接到落點在甲上的球后向乙回球,并規定:回球落點在C上記3分,落點在D上記1分,其他情況記0分。對落點在A上的來球,隊員小明回球的落點在C上的概率為,在D上的概率為;對落點在B上的來球,小明回球的落點在C上的概率為,在D上的概率為。假設共有兩次來球且落在A、B上各一次,小明的兩次回球互不影響。求:

(1)小明兩次回球的落點中恰有一次的落點在乙上的概率;

(2)兩次回球結束后,小明得分之和ξ的分布列與數學期望。

圖2

解析：(1)記Ai為事件“小明對落點在A上回球的得分為i分”,i=0,1,3。

記Bi為事件“小明對落點在B上回球的得分為i分”,i=0,1,3。

記D為事件“小明兩次回球的落點中恰有一次的落點在乙上”。

由題意知,D=A3B0+A1B0+A0B1+A0B3,由事件的獨立性和互斥性可得:

P(D)=P(A3B0+A1B0+A0B1+A0B3)=P(A3B0)+P(A1B0)+P(A0B1)+P(A0B3)=P(A3)P(B0)+P(A1)P(B0)+P(A0)P(B1)+P(A0)P(B3)

所以小明兩次回球的落點中恰有一次的落點在乙上的概率為

(2)由題意,隨機變量ξ可能的取值為0,1,2,3,4,6。

由事件的獨立性和互斥性,得:;

可得隨機變量ξ的分布列為:

ξ 0 1 2 3 4 6 P 1 3 0 2 1 16 1 5 1 5 1 1 3 01 0

點評:解答這類問題要使用簡潔、準確的數學語言,通過引進字母使得事件的描述簡單而準確,或者用表格描述,使得問題描述有條理,從而答案不會有遺漏,也不會重復。

考點5：二項分布

例5 (2 0 1 5年高考湖北卷理科第2 0題)某廠用鮮牛奶在某臺設備上生產A、B兩種奶制品,生產1噸A產品需鮮牛奶2噸,使用設備1小時,獲利10 0 0元;生產1噸B產品需鮮牛奶1.5噸,使用設備1.5小時,獲利12 0 0元。要求每天B產品的產量不超過A產品產量的2倍,設備每天生產A、B兩種產品時間之和不超過1 2小時。假定每天可獲取的鮮牛奶數量W(單位:噸)是一個隨機變量,其分布列為: