轉化思想在探究面積過程中的運用

筆者執教班級的學生特別善于獨立思考，樂于合作交流，語言表達能力較強，十分愿意發表獨立見解，有較好的學習數學的能力，他們已經掌握了梯形的特征和長方形、三角形以及平行四邊形面積的計算方法，也學習了圖形的旋轉平移的方法。這些都為本節課的學習奠定了堅實的基礎。本節課的重點在以下三個方面：

第一，把數學學習過程變成數學活動過程，讓學生去主動探索發現數學知識的形成過程，改變傳統的以傳授法為主的教學方法，提高學生的數學素養。

第二，體現以教師為主導，學生為主體。讓學生在解決問題的需求下親自擺一擺、剪一剪、比一比、想一想，通過動手、動口、動耳，調動學生學習數學的積極性，在整個教學過程中注重學生數學心理素質的培養，加深數學知識的印象，提高學習效率。

第三，運用遷移、轉化的數學思想方法和思考策略，對數學知識進行抽象概括、分析綜合、比較推理，提高學生的初步邏輯思維能力和空間觀念。

平行四邊形和三角形的面積公式知識是學習本課的知識基礎，教學中充分利用這兩個基礎知識以及學習三角形面積公式的推導方法，培養學生進一步運用轉化的思想解決實際問題的能力，有效地實現知識的正遷移。

一、鋪墊孕伏，以舊引新

師：前面我們研究了平行四邊形、三角形的面積計算公式，今天我們把前面的公式復習一下。那么平行四邊形、三角形面積的公式是怎樣推導的？

生：把平行四邊形、三角形轉化成我們會求面積的圖形。

師：“轉化”是一種很好的數學思想方法。

提出問題（課件出示教材第95頁的主題圖）

師：車窗玻璃的形狀是梯形。怎樣求出它的面積呢？這節課我們研究——

出示課題：梯形的面積

【通過這一設計來激發學生探索新知的欲望，并使學生明確了探究的目標與方向】

二、提供材料，自主探究

1.探究前的猜想

師：你準備怎樣推導出梯形的面積計算公式？

生1：把梯形的面積轉化成求兩個三角形的面積。

生2：用兩個完全相同的梯形拼成平行四邊形。

師：這兩名同學很能干，都是把梯形 “轉化”成學過了的圖形。下面就把你們的猜測驗證一下，拿出你的梯形學具，根據大屏幕的提示試著推導出梯形的面積計算方法。

2.學生進行探究活動，教師指導，發現方法。

3.學生活動結束后從下面三個方面（大屏幕出示）先在小組內交流：

（1）把梯形轉化成了什么圖形？

（2）轉化后的圖形面積怎么算？

（3）原來的梯形的面積又該怎么算？

【“轉化”思想滲透到學生對梯形面積探究的始終，這個環節是讓學生明確 “轉化”的要求，為后續有效地研究面積公式做儲備】

三、匯報展示，歸納公式

1.推導得出公式

（1）請學生展臺展示匯報梯形面積公式的推導，感受轉化思想對面積公式推導的重要作用。

交流一：“倍拼”（兩個完全相同的梯形）成平行四邊形的方法

生1：把兩個完全相同的梯形拼成一個平行四邊形，平行四邊形的底是梯形上底加下底，高與梯形的高相等，平行四邊形的面積是底乘高，梯形面積是平行四邊形面積的一半，因此梯形面積公式是（上底+下底）×高÷2

師：誰和她的想法一樣？

請點生2演示公式的推導過程，教師相機貼出板書的大圖形。

教師再點生3說公式的推導過程，教師板書文字公式。

全班認同梯形面積公式

師：（師生對照黑板上的圖形）大家都會這種方法嗎？想到用兩個完全相同的梯形拼成一個平行四邊形，梯形的面積是拼成的平行四邊形面積的一半。平行四邊形的面積是底乘高，梯形面積公式是（上底+下底）×高÷2

【這種方法可以 “轉化”直接得到面積計算公式的方法，相對來說比較容易，要求重點掌握，因此不吝時間來研究、認同】

交流二：兩個完全相同的直角梯形拼成特殊的平行四邊形（長方形）的方法

再次確認面積公式，學生說推導過程

師：兩個完全相同的直角梯形可以拼成一個特殊的平行四邊形，也可以像剛才那樣拼成一般的平行四邊形嗎？

生：能。

師：你能想象得到嗎？（學生對照著黑板上的直角梯形稍作比劃）都可以得到梯形的面積公式也是（上底＋下底）×高÷2

師：如果梯形的高與上下底的和相等時呢？

生：會 “轉化”成求一個特殊的平行四邊形（正方形）來研究。

【以上是 “轉化”成特殊平行四邊形的例子，學生體會不僅可以如前一樣用 “倍拼”成一般的平行四邊形的方法，也可以轉化成特殊的 “平行四邊形”來研究。“轉化”的數學思想方法靈動地在課堂上得以展現】

交流三：分成兩個三角形的方法

生：我把梯形分成兩個三角形來研究，不過只得到梯形面積是：上底×高÷2+下底×高÷2。

師：我們一起來看看這個梯形面積的計算：上底×高÷2+下底×高÷2，與大家剛才研究出的梯形面積公式不一樣？你們有什么想法？

生：其實這個式子經過整理也可以得到（上底＋下底）×高÷2

全班思考認同。

師：這樣的轉化還需要對式子做整理，得到梯形的面積公式是：（上底＋下底）×高÷2

【這種方法需要對式子進行整理，教師在此處適當點撥，讓學生感受到數學公式整理后的簡潔美，感受到 “轉化”思想方法的優勢】

交流四：長方形減去一個三角形求直角梯形的方法

生：我是在準備學具的過程中發現這種方法的，我準備剪一個直角梯形來研究梯形面積，是從一張長方形紙上剪一個直角三角形，因此發現可以用長方形面積減去一個直角三角形的方法。我的梯形面積就可以這樣算：下底×高-（下底-上底）×高÷2

師：你真是一個善于動腦筋的孩子，還能從學具準備中發現求梯形面積的方法。對這個公式你有什么想法？

生：應該也可以整理統一的面積計算公式。

師生共同整理成統一的計算公式（上底＋下底）×高÷2

師：你的這個梯形也能用剛才其他的研究方法得到相同的面積公式嗎？

生：可以。

師：都使用了轉化方法，有時可以直接得到公式，有時候要經過整理能得到這個公式。

【這種是不同于前幾種的減法 “轉化”的方法展示，教師給予充分肯定，學生再次體會到 “轉化”思想方法的魅力】

（2）數學文化：轉化研究面積公式的欣賞。

師：古人也對此有研究，課后同學們可以繼續研究整理。

（3）教師小結：同學們很厲害，用 “轉化”的方法可以直接或者整理后都能得出梯形的面積公式。

我們以這種（指板書的 “倍拼”的方法）轉化為例再來回顧一遍面積的推導過程。

（3）師生共同回顧：兩個完全一樣的梯形可以拼成一個平行四邊形。（多媒體輔助演示）

一個梯形的面積=所拼成的平行四邊形面積÷2

平行四邊形的面積=底×高

平行四邊形的底=梯形的（上底＋下底）

梯形的面積＝（上底＋下底）底×高÷2

（4）師：如果用a、b、h分別表示梯形的上底、下底和高，s表示體形的面積，那么梯形面積的字母公式是怎樣的？

師生書寫一遍（師生共同完成黑板板書：（a＋b）×h÷2）

（5）師：把我們推導出的公式讀一遍。（黑板上出示文字公式）

為什么公式里有 “÷2”？

生：梯形面積是轉化成的平行四邊形面積的一半，因此還要 “÷2”。

學生說理由，再次回顧公式的推導

師：知道梯形的上底、下底和高能求什么？

生：梯形的面積。

師：要求梯形的面積要知道什么？（梯形的上底、下底和高）

2.例題3教學出示教材第96頁例3

師：這是舉世聞明的長江三峽大壩（欣賞圖片），通過圖片你感受到了什么？

生：大壩雄壯，雄偉。

師：它具有防洪；發電；蓄水北調；促進航運的好處。

我國三峽水電站大壩的橫截面的一部分是梯形（如下圖），求它的面積。

師：什么是橫截面？

師：面包輔助理解 “橫截面”，學生比劃面包的橫截面。

請學生獨立解決，一生板演，全班核對答案。

師：10530平方米！這個橫截面積真大，我們從這個梯形面積的數據再次感受到了大壩的雄偉。大壩了不起！你們不覺得敢想、敢做、能做成大壩的人更了不起嗎？（生：是的）給他們掌聲吧！老師覺得同學們也很了不起，在今天的學習中就具有這種敢想、敢做的精神。自己猜測、探究，發現了梯形的面積公式，給自己一點掌聲。

四、延伸拓展

1.“做一做”計算車窗玻璃

師：現在你能幫忙算出梯形車窗玻璃的面積了嗎？你需要知道什么條件？只要知道這個梯形車窗玻璃的上底、下底和高就可以了。

一輛汽車側面的兩塊玻璃的形狀是梯形（如下圖），它們的面積分別是多少？

師：（課件出示數據）給你這些數據，出示練習題的圖，讓學生讀題。

學生認真讀題。

師：你還有什么要提醒大家注意的？

生1：“分別”這個詞要注意，問的是 “它們的面積分別是多少”，所以問的是 “左邊梯形的面積是多少”和 “右邊梯形的面積是多少”，千萬不要把“分別”看成 “共”，變成求整個大梯形的面積。

生2：高是兩個梯形公共的，既是腰也是高。

學生分別計算兩塊玻璃的面積。（一二組計算左邊梯形面積，三四組算右邊梯形面積）

師：在交流結果之前，我們不知道彼此算的玻璃面積有多大，現在老師讓你猜猜，你覺得哪一塊玻璃面積大呢？

學生猜測，說理由。

【學生猜測體會到：高相等時，比較上下底之和，上下底之和較大的梯形面積也較大】

生：乘40除以2，可以直接乘20（40除以2的商）計算起來更簡單。

師：2220平方厘米和2200平方厘米的結果也證明了我們的猜測。

【匯報呈現過程，力求體現簡算方法】

2.全課小結

師：說說你這節課的收獲？

學生分別總結。

師：這節課看出同學們能大膽猜測、小心求證，也看出你們追求更好的一股子勁兒，這正是武漢精神“敢為人先，追求卓越”的體現啊，小小市民了不起！

【分析研究】

第一，相信學生，充分展示其才能。新課程理念強調要讓學生通過自主探究，主動獲取知識。本節課筆者讓學生從生活實際問題出發，一開始就讓學生感受到生活中很多時候要計算梯形的面積，從而引發學生探究梯形面積的學習欲望。在這種內驅動力之下，學生調動自己已有的知識經驗，探究出了很多轉化的方法并試著推導梯形面積的公式，培養了創新思維能力和自主學習的能力。如果低估學生的思維能力和創造力，那么公式的推導對他們而言可能是很難或是只有教科書上的那一種情形。這節課的設計正是本著相信學生的原則，教師提供了豐富的探究材料。因此在寬松的探究氛圍中，學生的思維十分活躍，轉化方法多樣，探究的效果明顯。在多次的試教中學生的思維也呈現出多樣性，就如這節課課堂上學生的表現各不一樣。如果充分地相信學生，學生就會給你意想不到的驚喜。

第二，“轉化”思想對創新能力的培養。這節課學生的表現讓我深感學生的創新能力絕不是一節課就能培養起來的，學生能夠想出那么多種方法要以前幾節課的探究平行四邊形和三角形的面積為充分的基礎。給學生的探究活動提供充足的時間和空間，以及必要的指導。學生的自主探究能力要經過一定量的積累，不可能一蹴而就。作為教師，我們要在自己的每一節課上扎扎實實給學生打好知識的基礎，更要到好能力培養的基礎，長期進行思維訓練，學生探究的效率會越來越高，創新能力也會越來越強。

第三，創設情境，激發探究欲望。創設了幫助計算車窗玻璃的面積的問題情境，學生確實被這一情景吸引，對探究新知充滿了熱情和期待，也為后續的猜測將梯形轉化成什么圖形求面積以及自主探究活動推導梯形的面積公式起到了重要的作用。使學生在計算的過程中體會了上下底及高的大小對梯形面積大小的影響。

不僅如此，教師做了一個首尾呼應，在公式推導出來以后，現在你能幫忙算出梯形車窗玻璃的面積了吧？條件也不是直接出示，而是問學生：你需要什么條件求面積？學生根據剛才對梯形面積公式的推導研究回答：知道這個梯形車窗玻璃的上底、下底和高我就會求梯形的面積了。