彈性梁結(jié)構(gòu)PVDF模態(tài)傳感邊界約束影響分析

陳 琪， 杜敬濤， 楊武龍

(哈爾濱工程大學(xué)動(dòng)力與能源工程學(xué)院， 黑龍江 哈爾濱 150001)

引 言

彈性梁結(jié)構(gòu)作為一種基本的工程單元廣泛應(yīng)用于船舶結(jié)構(gòu)、航空航天和建筑工程等領(lǐng)域。在外部載荷作用下，梁結(jié)構(gòu)將產(chǎn)生一定振動(dòng)，尤其是在共振狀態(tài)下，將會(huì)導(dǎo)致結(jié)構(gòu)疲勞甚至破壞失效。在多數(shù)情況下，外界激勵(lì)變化具有寬帶變頻特征，傳統(tǒng)的被動(dòng)控制難以取得令人滿意的振動(dòng)抑制效果。振動(dòng)主動(dòng)控制技術(shù)能夠有效控制低頻振動(dòng)，同時(shí)通過算法調(diào)節(jié)可以實(shí)現(xiàn)對(duì)外部激勵(lì)頻率的跟蹤，受到各國(guó)學(xué)者廣泛關(guān)注。

根據(jù)控制策略的不同，彈性結(jié)構(gòu)振動(dòng)控制可分為振動(dòng)主動(dòng)控制(AVC)和結(jié)構(gòu)聲有源控制(ASAC)[1-2]，其中誤差信息傳感是主動(dòng)控制中目標(biāo)函數(shù)有效降低的重要環(huán)節(jié)。對(duì)于彈性梁等輕薄結(jié)構(gòu)，離散式振動(dòng)傳感器如傳統(tǒng)的加速度傳感器的大量布設(shè)會(huì)增加結(jié)構(gòu)的附加質(zhì)量，進(jìn)而影響結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)特性，同時(shí)布設(shè)成本加大，也給信號(hào)處理帶來一定困難。隨著材料科學(xué)與工程的快速發(fā)展，PVDF壓電薄膜以其優(yōu)異的傳感性能和積分濾波特性，在振動(dòng)噪聲控制領(lǐng)域引起學(xué)者的眾多研究興趣[3-9]。分布式PVDF傳感器，具有模態(tài)過濾特性，實(shí)現(xiàn)信號(hào)積分，可以有效避免觀察溢出和控制溢出。

邊界約束剛度對(duì)PVDF 模態(tài)傳感器的設(shè)計(jì)有重要影響。現(xiàn)有文獻(xiàn)多為經(jīng)典邊界條件(簡(jiǎn)支，固支、自由等)，對(duì)彈性邊界下模態(tài)傳感器的設(shè)計(jì)較少。Tanaka等將經(jīng)典邊界條件PVDF模態(tài)傳感器應(yīng)用在模態(tài)濾波和主動(dòng)模態(tài)控制[10-11]；Friswell[12]利用有限元方法設(shè)計(jì)任意邊界條件下模態(tài)傳感器；Donoso和Bellido[13]使用拓?fù)鋬?yōu)化PVDF壓電薄膜電極，復(fù)雜電極圖形增加了后期信號(hào)處理難度。本文提出一種新的設(shè)計(jì)方法，設(shè)計(jì)連續(xù)分布式PVDF 模態(tài)傳感器。采用Li[14]和Du[15]提出的改進(jìn)傅里葉級(jí)數(shù)法，將彈性梁橫向位移展開為傅里葉余弦級(jí)數(shù)和四項(xiàng)補(bǔ)充項(xiàng)以克服位移函數(shù)導(dǎo)數(shù)可能出現(xiàn)的不連續(xù)問題，結(jié)合Rayleigh-Ritz法和模態(tài)正交性求解PVDF模態(tài)傳感器壓電方程的模態(tài)傳感器形狀函數(shù)以及二次導(dǎo)數(shù)。通過調(diào)節(jié)邊界剛度值可以實(shí)現(xiàn)經(jīng)典邊界和任意彈性邊界約束條件模態(tài)傳感器設(shè)計(jì)，數(shù)值算例驗(yàn)證本文方法的準(zhǔn)確性和有效性。

1 理論模型

考慮任意彈性約束邊界條件下Euler-Bernoulli梁結(jié)構(gòu)振動(dòng)模型，如圖1所示。采用橫向線位移彈簧和旋轉(zhuǎn)彈簧來模擬梁結(jié)構(gòu)兩端彈性邊界條件，其中K0(K1)和k0(k1)分別表示左(右)端旋轉(zhuǎn)彈簧和線位移彈簧剛度系數(shù)值。通過設(shè)置兩端彈簧剛度系數(shù)可以實(shí)現(xiàn)各種邊界及其組合，例如經(jīng)典邊界條件簡(jiǎn)支、固支、自由，可以將相應(yīng)的邊界剛度設(shè)置為零或無窮大。此外，通過改變邊界彈簧剛度系數(shù)來研究PVDF模態(tài)傳感器形狀變化對(duì)邊界約束的敏感區(qū)，進(jìn)而為PVDF壓電薄膜模態(tài)傳感器的設(shè)計(jì)與剪裁提供理論依據(jù)。

圖1 彈性邊界支撐條件下梁結(jié)構(gòu)振動(dòng)模型Fig.1 A beam structural vibration model with elastic boundary supports

粘貼在梁結(jié)構(gòu)表面上PVDF壓電薄膜輸出電荷Q(t)[16]為

(1)

式中h和hp分別為彈性梁厚度和PVDF壓電薄膜厚度；e31為x方向壓電常數(shù)；w(x,t)為彈性梁橫向位移；F(x)為PVDF模態(tài)傳感器形狀函數(shù)。

利用模態(tài)疊加理論，簡(jiǎn)諧激勵(lì)力作用下彈性梁橫向位移可寫為

(2)

式中am和φm(x)分別為第m階復(fù)模態(tài)幅值和振型函數(shù)；M為模態(tài)截?cái)鄶?shù)；ejωt為簡(jiǎn)諧振動(dòng)時(shí)間因子。

為了克服任意彈性邊界條件下傳統(tǒng)傅里葉級(jí)數(shù)在邊界處的微分跳躍問題，將梁結(jié)構(gòu)彎曲振動(dòng)位移函數(shù)采用改進(jìn)傅里葉級(jí)數(shù)進(jìn)行構(gòu)建，即[15]

B3ξ3(x)+B4ξ4(x)

(3)

式中A0,A1，…，An,B1,B2,B3,B4為未知傅里葉級(jí)數(shù)系數(shù)和相應(yīng)補(bǔ)充項(xiàng)函數(shù)系數(shù);ξ1(x), ξ2(x),ξ3(x),ξ4(x)為克服邊界不連續(xù)的四項(xiàng)邊界光滑輔助函數(shù)，詳細(xì)求解可見參考文獻(xiàn)[14-15]。

彈性梁結(jié)構(gòu)振動(dòng)Lagrangian函數(shù)為

L=V-T

(4)

式中V表示系統(tǒng)總勢(shì)能，包含彈性梁應(yīng)變勢(shì)能Vbeam和邊界彈簧勢(shì)能Vspring；T表示梁結(jié)構(gòu)總動(dòng)能。

(5)

(6)

將所構(gòu)建的改進(jìn)傅里葉級(jí)數(shù)位移展開帶入至彈性邊界約束梁結(jié)構(gòu)Lagrangian函數(shù)，結(jié)合Rayleigh-Ritz方法，對(duì)所有未知系數(shù)求駐值，可以得到系統(tǒng)矩陣方程如下

(K-ω2ρSM)E=0

(7)

式中K為剛度矩陣，M為質(zhì)量矩陣，E為改進(jìn)傅里葉級(jí)數(shù)未知系數(shù)向量

(8)

求解式(7)可得彈性梁結(jié)構(gòu)振型函數(shù)以及固有頻率。

將式(2)代入式(1)得

(9)

將上式改寫成矩陣形式

Q(t)=γejωtaP

(10)

PVDF模態(tài)傳感器形狀函數(shù)

(11)

式中b是未知系數(shù)向量，φ是振型函數(shù)的二次導(dǎo)數(shù)矩陣。

將式(11)代入式(9)，同時(shí)結(jié)合式(10),可得

Q(t)=γejωtaP=γejωtaRbT

(12)

式中R為積分矩陣，

(13)

在傳感器設(shè)計(jì)過程中，模態(tài)靈敏度向量P為預(yù)先設(shè)定，目標(biāo)階模態(tài)元素取值為1，其他元素設(shè)為0，即

(14)

由此，可以求解得到PVDF模態(tài)傳感器未知系數(shù)

b=(R-1P)T

(15)

將式(15)代入至PVDF模態(tài)傳感器形狀函數(shù)表達(dá)式(11)，同時(shí)結(jié)合振型函數(shù)二次導(dǎo)數(shù)，即可得到所需要的模態(tài)傳感器。

2 數(shù)值計(jì)算與分析

2.1 經(jīng)典邊界

本節(jié)數(shù)值計(jì)算采用MATLAB語(yǔ)言編程仿真。算例中模型材料為鋼，楊氏模量E=200 GPa，密度ρ=7800 kg/m3，梁長(zhǎng)0.64 m，寬0.056 m，厚度為0.008 m。經(jīng)典邊界以固支邊界為例。固支梁彈性邊界剛度K0=K1=k0=k1=1×1012, 模態(tài)截?cái)鄶?shù)M=45。計(jì)算結(jié)果與微分方程數(shù)值求解對(duì)比，以驗(yàn)證模型的準(zhǔn)確性。固支梁前6階固有頻率如表1所示，采用本文模型和數(shù)值計(jì)算結(jié)果吻合良好，說明本文提出的模型具有很高的準(zhǔn)確性。通過圖2和3固支邊界條件下前4階振型函數(shù)和PVDF模態(tài)傳感器的對(duì)比發(fā)現(xiàn)，采用本文提出的模型設(shè)計(jì)PVDF模態(tài)傳感器是可行的，并且相比復(fù)雜方程求解方法，本文方法不需要重新求解方程和程序編寫，極大的簡(jiǎn)化傳感器設(shè)計(jì)流程，降低設(shè)計(jì)難度。

表1 固支梁前6階固有頻率結(jié)果對(duì)比

Tab.1 Comparison of the first six natural frequencies for beam with clamped-clamped boundary condition

階數(shù)數(shù)值計(jì)算本文方法偏差/%1101.3373101.337302279.3403279.34081.7899×10-43547.6786547.62022.9217×10-44905.2414905.24574.7501×10-451352.27541352.28447.3210×10-461888.71391888.73259.8480×10-4

2.2 彈性邊界

現(xiàn)有的研究大多針對(duì)經(jīng)典邊界條件，然而在實(shí)際工程應(yīng)用領(lǐng)域，完全滿足經(jīng)典邊界約束情況并不常見，實(shí)際工程結(jié)構(gòu)的邊界條件往往是彈性邊界條件約束。無量綱線性位移彈簧剛度取k0L3=k1L3=1，取3組不同旋轉(zhuǎn)彈簧剛度，彈性梁前5階無量綱固有頻率與文獻(xiàn)[17]對(duì)比結(jié)果如表2所示。由表2可知，采用本文模型計(jì)算結(jié)果與文獻(xiàn)結(jié)果基本吻合，說明設(shè)計(jì)任意彈性邊界條件下PVDF模態(tài)傳感器是可行的，并且具有很高的準(zhǔn)確性。

表2 不同旋轉(zhuǎn)彈簧剛度下無量綱固有頻率

圖2 固支梁前4階模態(tài)振型Fig.2 The first four mode shapes for the clamped beam

圖3 固支梁前4階PVDF模態(tài)傳感器Fig.3 The first four PVDF modal sensor shapes for the clamped beam

圖4所示為彈性梁一端固支，另一端邊界約束彈簧剛度同時(shí)變化下前4階PVDF模態(tài)傳感器形狀變化曲線圖。即邊界剛度由固支-固支狀態(tài)連續(xù)變化至固支-自由邊界約束。從圖中可以明顯看出，邊界約束剛度的變化對(duì)PVDF模態(tài)傳感器的形狀設(shè)計(jì)產(chǎn)生很大影響。隨著邊界彈簧剛度的變化，模態(tài)傳感器形狀存在敏感區(qū)，在該區(qū)域模態(tài)形狀變化明顯。因此，在設(shè)計(jì)傳感器時(shí)需要仔細(xì)剪裁，以免形狀偏差造成模態(tài)信息傳感誤差的增大。實(shí)際應(yīng)用中邊界條件較為復(fù)雜，很難做到絕對(duì)的簡(jiǎn)支或固支，可以通過模態(tài)測(cè)試、參數(shù)識(shí)別等方法獲得邊界剛度值，設(shè)計(jì)符合實(shí)際情況的模態(tài)傳感器，進(jìn)而提高主動(dòng)控制中誤差傳感精度。

圖4 一端固支，另一端旋轉(zhuǎn)彈簧和位移彈簧剛度同時(shí)變化下前4階模態(tài)傳感器形狀變化Fig.4 Variation of the first four modal sensor shapes for a clamped beam with the change of the rotation and translation spring stiffness k1=K1

3 結(jié) 論

本文通過將位移函數(shù)展開為傅里葉余弦級(jí)數(shù)和四項(xiàng)補(bǔ)充項(xiàng)，并采用Rayleigh-Ritz方法求解PVDF模態(tài)傳感器形狀函數(shù)中的二次導(dǎo)數(shù)，首次提出并建立了統(tǒng)一的彈性梁結(jié)構(gòu)PVDF模態(tài)傳感器設(shè)計(jì)模型，解決了任意邊界條件下模態(tài)傳感器設(shè)計(jì)問題。與其他方法不同的是，邊界約束剛度發(fā)生變化時(shí)，本文構(gòu)建的模型不需要重新求解方程和編寫程序。計(jì)算結(jié)果表明，以固支邊界條件為例的經(jīng)典邊界約束，PVDF模態(tài)傳感器設(shè)計(jì)吻合良好；邊界約束剛度影響分析表明，隨著剛度值的變化，存在模態(tài)傳感器形狀變化敏感區(qū)，在該區(qū)域微小的數(shù)值變化將會(huì)造成模態(tài)信息傳感過程中誤差的增大。

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