空間任意斜裂紋引起的轉子剛度變化機理研究

焦衛東， 蔣永華， 施繼忠， 王曉燕

(浙江師范大學工學院， 浙江 金華 321004)

引 言

現有的裂紋模型可以分為開裂紋與呼吸裂紋兩大類，開裂紋模型適用于裂紋面受恒定方向拉應力作用的情形，其效應是導致轉軸剛度的局部定值削減[1]；呼吸裂紋模型的裂紋面承受拉、壓應力的交替作用，裂紋周期性開/合(或呼吸)，激起轉軸剛度的周期性變化[2]。Darpe 等推導了包含橫向裂紋(即裂紋面同時垂直于轉軸軸線及其基面)轉子的柔度參數與剛度矩陣，并研究了在裂紋非線性呼吸行為作用下轉子的縱向、彎曲與扭轉耦合振動特性[3]。在已有的研究基礎上，Darpe 應用應變能理論將橫向裂紋推廣至更一般的斜裂紋情形，并與橫向裂紋進行了對比。相比于橫向裂紋，斜裂紋會導致剛度矩陣中不同參數的更多耦合，進而造成轉子彎曲、扭轉甚至是縱向振動的耦合[4]。Bachschmid 等指出，通常情況下轉子裂紋面垂直于轉軸軸線方向(即橫向)，但在大扭矩和強彎矩載荷作用下裂紋會沿著螺旋方向擴展，從而形成螺旋裂紋或斜裂紋。并以精細的三維非線性模型為基礎，建立起更為簡單的裂紋轉子一維有限元模型，據此對橫裂紋與斜裂紋的呼吸機理、彎扭聯合作用下裂紋的擴展行為進行數值仿真與實驗驗證[5]。Han 等認為齒輪嚙合力導致的大扭矩往往引發裂紋的斜向擴展，因此對含有斜裂紋的齒輪-轉子-軸承系統的動力學特性進行了數值仿真研究[6]。Ebrahimi 等建立了橫向開裂紋連續彎曲振動模型，運動方程基于漢密爾頓原理構建，采用改進的伽遼金方法求解，所得的響應結果與有限元法呈現出良好的一致性[7]。國內對裂紋轉子動力學也開展了一定的研究。閆明等采用有限元方法和最大周向應力準則，分析計算了熱疲勞作用下斜裂紋的應力強度因子和開裂角的周期性變化規律[8]。劉長利等對橫裂紋與斜裂紋轉子的變剛度特性進行了對比[9]，并進一步研究了包含雙盤、雙呼吸型裂紋的轉子系統的一些典型的非線性動力學特性[10]。夏恒恒等分析了斜裂紋轉子在裂紋全部張開狀態下剛度的影響因素[11]。

現有的絕大部分研究主要是基于斷裂力學中的應變能理論，并采用 Euler 梁或Timoshenko 梁單元進行建模[3-4, 6, 9-11]。基于梁單元建模與應變能理論的有限元法物理意義明確、理論基礎扎實，因此獲得廣泛應用。但是，這些研究絕大部分針對的是簡單的橫向裂紋或裂紋面傾斜于轉軸軸線而垂直于轉軸基面的斜裂紋，這類裂紋稱為橫-斜或直-斜裂紋更為合適，很少見到對含有空間任意斜裂紋(即裂紋面與轉軸軸線和轉軸基面均不垂直)轉子的動力學特性進行研究。本文著眼于探究空間任意斜裂紋轉子的多自由度耦合振動機理，采用基于梁單元建模與應變能理論的有限元法，對轉子旋轉過程中由于裂紋的非線性呼吸行為導致的剛度變化以及不同方向剛度參數的交叉耦合特性進行研究，并系統分析裂紋方位角以及裂紋深度等參數對轉子剛度特性的影響。裂紋轉子建模采用考慮剪切變形效應的 Timoshenko 梁單元，并考慮縱向、彎曲與扭轉全部六個方向的自由度。

1 空間任意斜裂紋轉子剛度計算

1.1 裂紋轉子建模

轉軸長度為L= 0.7 m，直徑為D= 0.015 m，轉子盤質量為m= 1 kg。裂紋位于轉子盤右端靠近盤位置。轉子-軸承系統采用Timoshenko梁單元進行建模，共劃分為14個單元，包含15個節點，每個節點考慮了縱向、彎曲和扭轉所有6個自由度，如圖1(a)所示。從便于描述裂紋動力學效應的角度，對于裂紋轉子軸段進行單獨建模。

圖1 裂紋轉子的有限元模型及其坐標系統(橫裂紋：xyz；橫-斜裂紋：x′y′z′；空間任意斜裂紋：x″y″z″)Fig.1 Finite element models of cracked rotors and their coordinate systems (transverse: xyz, transverse-slant: x′y′z′ and arbitrary spatial slant: x″y″z″)

為了具體說明空間任意斜裂紋、橫-斜裂紋以及橫裂紋相互之間的空間變換關系，圖1(b)～(d)對比給出了各自的坐標系統，其中圖1(e)中xoy面為轉子的基面。在圖1(e)中，進一步描述了各坐標系統的空間變換關系。可以看到，由最基本的橫裂紋(xyz)出發，其裂紋面繞z坐標軸旋轉一定角度(θ1)，即得橫-斜裂紋(x′y′z′)；橫-斜裂紋面繞其坐標軸y′ 再旋轉一定角度(θ2)，即得空間任意斜裂紋，其坐標系統為x″y″z″。厘清三類裂紋坐標系統的空間變換關系，是裂紋有限元建模及動力學參數計算的必要條件。

1.2 裂紋單元柔度參數及剛度矩陣計算

設轉軸半徑為R，梁元長度為l。裂紋中心距離單元左端為x，裂紋深度為a。 單元承受剪力P2，P3和P8，P9，彎矩P5，P6和P11，P12，軸向力P1和P7以及扭矩P4和P10的作用，如圖1所示。令ui和Pi分別為沿著第i個坐標方向的節點位移與節點力。根據 Castinglianos 定理，裂紋單元的柔度參數表達為

(1)

式中U0為無裂紋轉軸單元的應變能，Uc為裂紋導致的外加應變能。

裂紋單元節點位移ui為

(2)

(3)

式中A= πR2為轉子軸橫截面積，E為楊氏彈性模量，G為剛性模量，I為轉子軸截面面積矩，I0為截面極慣矩，αs為Timoshenko 梁剪切系數。

由裂紋導致的外加應變能計算式為

(4)

式(4)中的各個 SIF 計算式如下：

(1)張開模式(Opening Mode)

(5)

(6)

(7)

(8)

(9)

(10)

(2)滑移模式(Sliding Mode)

(11)

(12)

(13)

(14)

(15)

(16)

(3)剪開模式(Tearing Mode)

(17)

(18)

(19)

(20)

(21)

(22)

圖2 包含裂紋閉合線的 AS 型裂紋截面Fig.2 Cross-section of AS type crack including CCL

聯立以上各式，可得各柔度參數如下：

(23)

(24)

(25)

8Rbβsin2θ1sin2θ1sin2θ2sin2θ2+

(26)

(27)

(28)

(29)

(30)

4βsin4θ1sin2θ2sin2θ2)F1F2+(Rbsin2θ1sin2θ1sin22θ2+

(31)

(32)

(33)

(34)

4βsin3θ1sin22θ2)F1F2+(Rbsinθ1sin2θ1sin4θ2+

(35)

(36)

(37)

4βsin2θ1sin2θ1sin2θ2sin2θ2)F1F+(Rbsin22θ1sin22θ2+

4βsin5θ1sin2θ2sin2θ2)F1F2+(Rbsin3θ1sin2θ1sin22θ2+

(38)

(39)

(40)

4βsin5θ1sin2θ2sin2θ2)F1F2+(2Rbsin3θ1sin2θ1sin22θ2+

(41)

(42)

(43)

如圖1(b)，考慮裂紋單元各節點位移qi，i= 1～12 的靜平衡條件，有 {q1-12}T=T{q1-6}T，變換矩陣T參見文獻 [3-4]。從而，裂紋單元的剛度矩陣為Kc=TG-1TT，其中G= {gij}，i,j=1～6，各柔度參數gij可以根據式(23)～(43)求得。

2 數值仿真結果

隨著轉子軸旋轉，裂紋發生交替性開/合，導致裂紋轉子剛度的周期性變化。為了仿真裂紋轉子的變剛度特性，在一個旋轉周期內(360°)將裂紋邊均分為100個點，每個點確定一個 CCL 位置，由此確定不同的積分限。從而，可將式(29)計算所得的剛度參數變化視為是 CCL 位置的函數。

裂紋轉子的變剛度特性不僅取決于裂紋的類型，而且與裂紋的方位角(θ1與/或θ2)和裂紋深度a有關。接下來，將對此作詳細研究。

2.1 不同類型裂紋變剛度特性的對比

圖3 三類不同裂紋的剛度參數對比(橫裂紋：T；橫-斜裂紋：TS；空間任意斜裂紋：AS)Fig.3 Comparison on stiffness coefficients of three different types of crack (transverse: T； transverse-slant: TS and arbitrary spatial slant: AS)

由圖3(a)可見，在轉子整個旋轉周期中，空間任意斜裂紋(AS)轉子相比于橫裂紋和橫-斜裂紋(T 與 TS)轉子，具有最大的軸向與垂直剪切剛度(k11與k33)。在旋轉初期，AS 型裂紋轉子的扭轉剛度(k44)略小于 TS 型裂紋轉子；在旋轉末期，AS 型裂紋轉子的彎曲剛度(k55與k66)略小于 T 型裂紋轉子。不過，從整體上來看其剛度差不多也是最大的。但是，在轉子旋轉的大部分過程中 AS 型裂紋轉子的水平剪切剛度(k22)明顯小于其他兩類裂紋轉子，雖然在旋轉末期其剛度有明顯提高。此外，AS 型與 TS 型裂紋轉子的扭轉剛度 (k44) 很接近，彎曲剛度(k55與k66)的變化趨勢相近，表明在扭轉和彎曲方向上裂紋面方位角θ1是影響轉子剛度特性的主要因素。而在其他方向上，方位角θ2則發揮了重要的作用，導致AS型裂紋轉子具有與其他兩類裂紋轉子明顯不同的、更加復雜的變剛度特性，尤其在水平剪切方向上(k22)表現得更加明顯，剛度曲線的對稱性被嚴重破壞，剛度值明顯下降，整體小于其他兩類裂紋轉子。

交叉耦合剛度參數kij，i=j，是造成裂紋轉子不同方向振動響應相互耦合的根本原因。對于 AS 型裂紋轉子，剛度參數彼此交叉耦合的現象更加顯著。例如，在水平剪切-垂直剪切(k23)、水平剪切-扭轉(k24)、水平剪切-垂直彎曲(k25)以及垂直剪切-水平彎曲(k36)等方向，均出現了強烈的耦合現象，如圖3(b)所示。

2.2 方位角對AS型裂紋變剛度特性的影響

保持裂紋面方位角θ1= 45° 不變，θ2在 30° 到 90°之間變化。在不同方位角的共同作用下，AS 型裂紋轉子的剛度特性曲線如圖4所示。需要注意的是，當θ2= 90°時AS型裂紋退化為TS型裂紋，具體可以參考圖1(e)加以理解。

圖4 方位角(θ2)對裂紋轉子變剛度特性的影響Fig.4 Influence of oriented angle (θ2) on stiffness variation characteristics of cracked rotor

圖5 裂紋深度比(ā = )對裂紋轉子變剛度特性的影響Fig.5 Influence of crack depth ratio (ā = on stiffness variation characteristics of cracked rotor

由圖4可見，隨著θ2的增大，縱向(k11)、垂直剪切方向(k33)、扭轉方向(k44)以及垂直彎曲方向(k55)的剛度值單調下降。但是，在水平彎曲方向(k66)以及水平剪切方向(k22)，這種趨勢不復存在，剛度變化曲線彼此出現了明顯交叉，表明 AS 型裂紋轉子的裂紋面方位角θ1與θ2之間的交互作用效應。顯然，在轉子整個旋轉周期的不同轉角位置，這種效應對轉子剛度的影響是不同的，因此是動態的，也是非線性的。

2.3 裂紋深度對 AS 型裂紋變剛度特性的影響

進一步地，保持 AS 型裂紋轉子的裂紋面方位角θ1= 45°，θ2= 60°不變，裂紋深度比 ā 從0.1變化到0.5，裂紋轉子的剛度特性如圖5所示。對應于不同裂紋深度的剛度特性曲線，采用與圖4相同的線型按照ā遞增的順序進行描述。

由圖5可見，隨著ā的增大，AS 型裂紋轉子各方向的剛度參數kii，i= 1～6 均單調下降。在轉子整個旋轉周期的不同轉角位置，剛度值是不斷變化的，但是對應于不同裂紋深度的轉子變剛度特性曲線幾乎具有相同的走向和變化趨勢。這表明，裂紋深度參數對轉子剛度的影響雖然也是動態的，但是具有明顯的線性特征。

3 結論與討論

基于材料力學的應力理論以及斷裂力學的應變能理論，采用 Timoshenko 梁單元模型對裂紋單元進行單獨建模，并考慮了縱向、彎曲以及扭轉所有六個方向的自由度，推導了含有空間任意斜(AS)裂紋轉子單元的柔度參數，進而根據節點位移的靜平衡條件導出了裂紋單元剛度矩陣。在此基礎上，對比研究了不同類型裂紋(T：橫向、TS：橫-斜與AS：空間任意斜)轉子的剛度特性，并進一步研究了裂紋面方位角以及裂紋深度參數對AS型裂紋轉子變剛度特性的影響。研究結果表明，AS型裂紋轉子由于受到裂紋面方位角θ1與θ2的交互作用，剛度特性明顯不同于其他兩類裂紋轉子。這種交互作用效應，不僅體現在剛度參數的量值上，還體現在剛度曲線的變化趨勢上，并且具有明顯的非線性特征。由此導致的結果是，不同方向上 AS 型裂紋轉子的剛度具有更廣泛、更強烈且更加復雜的交叉耦合特性。

裂紋轉子剛度矩陣中的交叉耦合參數，可以解釋由裂紋引發的轉子在不同方向上的運動耦合機理。根據Darpe 的研究，對于 TS 型裂紋轉子，其幾乎所有的交叉耦合剛度參數均大于 T 型裂紋轉子，特別是當涉及到扭轉方向時(例如，k14，k24，k34，k45和k46)。因此，Darpe將扭轉與彎曲、縱向振動的耦合即縱-彎-扭耦合振動作為研究重點[4]。對于 AS 型裂紋轉子，鑒于其更廣泛、更復雜的變剛度特性，有必要對轉子的縱-彎-扭耦合振動以及縱-彎、彎-彎(包括水平和垂直方向)耦合振動進行全面研究，以獲取描述 AS 型裂紋轉子振動特性的典型特征，用于轉子裂紋故障的辨識。此外，無論是 T，TS 還是 AS 型裂紋轉子，其剛度參數與裂紋深度參數之間均具有良好的線性關系，這或許可以為裂紋故障的定量診斷提供一定的理論依據。

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