電磁調諧質量阻尼器的H2參數優化及對結構減震分析

羅一帆, 孫洪鑫, 王修勇

(湖南科技大學結構抗風與振動控制湖南省重點實驗室， 湖南 湘潭 411201)

引 言

隨著經濟的發展，施工技術及設計理論的不斷更新，建筑物的高度已經越來越高，剛度愈來愈小，自振周期在變長，在地震荷載或風荷載的作用下，容易引起建筑物的震/振動，影響建筑物的安全使用。大幅型振動可能破壞結構或二級組件，從而不適于人類居住。

為了抑制動力荷載下結構產生的響應，世界各國的學者們研究并開發了眾多結構振動控制技術[1-4]，根據所采取的控制措施是否需要外部能源可分為被動控制、主動控制、半主動控制和混合控制等。其中，被動控制是一種不需要外部能源的結構控制技術，從控制機理上可分為基礎隔振和耗能吸能減振兩大類。其中，耗能吸振減振主要包括耗能阻尼器和調諧阻尼器。在后者中，最簡單實用的當屬于調諧質量阻尼器(Tuned Mass Damper，TMD)。TMD的最早原型是動力吸振器[5]，由一個質量塊和一個彈簧構成，并未增加阻尼單元，當時主要用于控制不同類型的機械振動。近年來，隨著TMD技術的應用越來越廣泛，為了提高其性能，國內外的學者們分別對TMD減振理論的發展做出了卓越的貢獻。

為了優化動力吸振器在外激勵下的振動控制性能，Ormondroyd和 Den Hartog[6]在吸振器的原型上添加了黏彈性阻尼，提出了調諧吸振器的概念。同時Den Hartog[7]還在理論上通過固定點法推導了調諧吸振器在無主結構阻尼情況下的受簡諧荷載作用的最優參數解析式。之后，Warburton[8]推導了主結構無阻尼時受簡諧激勵和白噪聲激勵作用下的TMD最優參數解析式。針對有主結構阻尼下的TMD的參數優化，也提出了眾多優化理論和準則[9-12]。

另一方面，近年來國內外學者基于壓電材料、電磁材料等材料，開展了能量收集與振動控制方面的設計、理論分析、仿真等工作。Nerves 和Scruggs 等[13]首次提出將土木結構振動能量收集，并用于結構振動控制的想法。國內學者孫作玉等[14- 15]利用“換能器”將結構的一部分振動能量以液壓能的形式轉換，并利用它作為主動控制的能源，提出了一種無能源主動控制方案。

基于TMD調諧耗能的特點，近年來利用TMD進行能量收集的理論也得以發展。Beherens等[16]最先提出了電磁換能器在隔震領域可用于實現振動控制與能量回收的想法。Inoue等[17]將電磁換能器與單自由度結構結合，并通過固定點法對系統的參數進行優化，得出理論解。Zuo等[18]通過實驗驗證了電磁換能器替代經典TMD中的黏性阻尼單元的可行性；Wen[19]對集能式調諧質量阻尼器與單自由度耦合結構在風振作用下的參數進行了優化。同時，李曉華[20]也提出了磁耦合調諧質量阻尼器的概念，并通過數值方法對系統進行參數優化。

本文基于經典TMD結構，將電磁換能器能量收集單元替代經典TMD系統中的阻尼器中的黏性阻尼單元，引入了電磁調諧質量阻尼器(Electromagnetic TMD，EMTMD)的概念，在對主結構進行減振的同時，對主結構的振動能量進行收集。同時本文還提出了EMTMD 關于H2的理論解析解。EMTMD的基本構造包括一個質量彈簧單元和基于電磁換能器的能量收集單元。與此同時，EMTMD阻尼值還可以通過電機的內阻與終端電阻值的大小來調節。通過電磁能量收集單元的能量收集，旨在為結構監測或振動控制的傳感器提供一定的電能輸入，從能量輸出功率與作用力分析[21-23]，收集的能量基本滿足小型無線傳感器(能耗幾十mW)的供電問題，也為實現對于結構半主動振動控制系統供能提供了可能性。

本文基于EMTMD的原理，建立了能量收集單元、EMTMD和EMTMD對單自由度結構受地震作用時的動力學模型。然后基于H2優化理論，即主結構位移均方根值最優參數優化理論，進行參數優化，得到EMTMD的結構頻率比、電磁阻尼比和機電耦合系數的最優解析解。通過頻域和時域兩種數值仿真方法，分析了EMTMD的減震及能量收集雙重性能。

1 電磁調諧質量阻尼器(EMTMD)力學模型

1.1 EMTMD 工作原理

EMTMD的基本結構主要包括彈簧-質量單元，以及基于直線電機的能量收集單元，具體如圖1所示。根據直線電機原理可以等效為一個電感L和一個內阻Ri；與此同時，直線電機與一交流直流轉換器(AC/DC)、直流轉換器(DC/DC)、能量儲存單元相連，后三者的電阻可等效為外接電阻Re。直線電機與電路串聯后，整個系統可以等效為一RL電路。

EMTMD的工作原理為：電磁換能器替換傳統黏性阻尼器后，形成了電磁調諧質量阻尼器。當整個能量收集單元置于被控結構時，TMD質量塊做直線運動，從而引起電磁發電機的動子相對于定子產生移動，隨著動子的移動，線圈中的磁通量將發生改變，從而在線圈中產生感生電動勢。在產生電動勢時，等效為電磁力，形成振動能到電能的能量轉化，從而進行對被控結構的振動控制。若在整個能量轉化過程中，把能量收集儲存，同時達到收集電能的效果。

圖1 EMTMD構造圖Fig.1 The structural diagram of the EMTMD

1.2 能量收集單元力學模型

設在外部激勵振幅作用下，根據基爾霍夫定律，不計電容，線圈回路電壓平衡方程有

(1)

式中R表示線圈回路電阻且R=Ri+Re，Re是外接電阻，Ri是內阻；L是線圈回路電感；e是線圈移動時產生的感應電動勢。

感應電動勢的大小與磁場強度及相對移動速度成正比即

(2)

然后，回路中的電流會產生一反電動勢力，反電動勢力與回路中的電流成正比，力的方向總是與回路中的電流方向相反。則反電動勢力為

(3)

式中kf是力常數。

在理想模型中

kf=ke

(4)

2 電磁調諧質量阻尼器(EMTMD)與單自由度結構耦合系統力學模型

圖2 EMTMD耦合減震模型Fig.2 The coupling models of EMTMD

基于EMTMD的力學模型，依據達朗伯原理，耦合結構的力學模型建立如下

(5)

為了便于進行系統的參數優化，暫不考慮主結構的阻尼，通過拉普拉斯變換可得

(6)

(8)

令相對位移xr=xT-xs，上式可進一步化簡

(9)

3 耦合系統減震模型的H2參數優化

3.1 耦合系統減震模型的傳遞函數

(10)

(11)

(12)

3.2 基于H2的參數優化

(13)

式中E[·]代表RMS值，〈·〉代表瞬時平均值，S0代表外激勵的能量強度，單位是(m2·s)/rad。

則主結構位移xs的RMS值可以定義為

(14)

將式(14)帶入式(13)中，評價指數PIv可以表示為

(15)

式(15)中的積分可以通過殘數定理[25]求得，5階積分簡化后的公式見附錄A。結合式(10)，評價指標PIv可以表示為3個調諧參數結構頻率比fT、機電耦合系數μk，電磁阻尼比ζe的函數形式

(16)

便于實現減震評價指標PIv最小化，即PIv對每個調諧參數的偏導數為零，則有

(17)

因此，通過式(16)和式(17)，可有：

(18a)

(18b)

(18c)

通過求解方程(18)，可得到

(19)

因此，相應的物理參數L，R，kT可以表示為

(20)

在地震荷載下的經典TMD的H2理論優化參數[26]表示為

(21)

4 頻域數值分析

4.1 減震性能分析

4．1．1 最優狀態下的H2調諧參數描述

由式(19)繪出3個調諧參數與質量比的關系圖，如圖3所示。從圖中可以看出，隨著EMTMD的質量比的增大，EMTMD的最優結構頻率比會減小，且基本與質量比呈類似于線性關系，最優電磁阻尼比和機電耦合系數則會增大，不同的是最優電磁阻尼比的增速隨著質量比的增大而變緩，機電耦合系數則基本上與質量比呈線性關系。

4．1．2 不同系統的減振性能對比

在質量比為0.02的情況下，主結構在無控狀態、經典TMD控制狀態和EMTMD控制狀態下的主結構位移和相對位移頻響對比如圖4所示。從圖中可以看出，在相同的質量比下，EMTMD的H2主結構位移減振性能要略優于經典TMD的性能。具體而言，EMTMD的主結構位移的傳遞函數Xn的峰值相對于經典TMD降低了4%。除此之外，當α的范圍在0.7到1.3之間時，EMTMD的主結構位移的傳遞函數Xn的積分面積相對于經典TMD降低了0.9%。

4．1．3 不同質量比下EMTMD的減振性能對比

由圖5可知，質量比越大，EMTMD的減振性能越好。

圖3 最優H2調諧參數描述Fig.3 Graphical representations of the H2 tuning laws

圖4 質量比μ=0.02不同的TMD下的主結構位移頻響
Fig.4 The frequencyresponses of the displacement of primary structure at the mass ratioμ of 0.02

圖5 在不同質量比下EMTMD的主結構位移頻響
Fig.5 The frequency responses of the displacement of primary structure of EMTMD under different mass ratios

4．1．4 調諧參數的魯棒性分析

在實際過程中，EMTMD很難調諧到最優狀態，受到環境和時間的影響，一些參數可能會發生改變。減振性能隨著相關參數的變化趨勢如圖6所示。從圖中可以歸納出，EMTMD的主結構位移頻響對結構頻率比的變化比較敏感，而對電磁阻尼比和機電耦合系數則不是那么敏感。

圖6 EMTMD的調諧參數魯棒性
Fig.6 The vibration performance change to the changes of the tuning parameters of EMTMD

4.2 能量收集分析

為了使EMTMD的能量回收效率最高，希望通過放大外接電阻Re的能量，作用在外接電阻Re的瞬時功率為

P(t)=ReI2

(22)

類似的，當系統在地震波加速度激勵下，能量回收評價指標可以定義為

(23)

將式(12)帶入式(23)中可得

(24)

5 時域數值分析

在本節中，通過4種地震波來時程分析EMTMD的減震和能量收集效果，相關分析如下：

5.1 理論模型

式(5)可以表述成另一種形式：

(25)

引入相對位移xr，上式可進一步化簡

(26)

式(26)可以用矩陣形式表示為

(27)

其中

(28)

5.2 結構位移減震指標

(1)峰值減震評價指標

(29)

(30)

(2)均方差減震評價指標

(31)

(32)

5.3 仿真參數

為了進一步對本文提出的EMTMD兩重功能進行仿真分析，仿真結果將會與最優狀態下的經典TMD進行對比。此次仿真主結構參數選擇的是10層框架結構，取其首階模態參數，相關阻尼器參數根據H2最優解析解確定，具體如表1所示。

表1 仿真參數

5.4 減震仿真

本仿真過程中，選擇典型的4種地震波進行仿真。為了便于對峰值減震進行分析，對地震加速度振幅調到200 cm/s2，4種地震波分別為：(1)ChiChi，(2)El Centro，(3)Kobe，(4)Northridge。地震波功率譜如圖7所示，從圖中可以知道每種地震波在不同周期的振幅強度。EMTMD的位移減震時程圖如8所示，加速度減震時程圖如9所示。相關位移和加速度峰值和均方值減震率如表2所示。

圖7 地震波功率譜Fig.7 Response spectra for observed earthquake records

圖8 位移減震時程圖Fig.8 Time-history responses of displacements

地震波減震系統JxpJx¨pJxrmsJx¨rmsChiChiEMTMD21.18%35.54%45.11%47.01%經典TMD20.75%35.71%44.21%46.35%El CentroEMTMD23.93%21.00%30.83%33.19%經典TMD23.56%20.70%30.12%32.71%KobeEMTMD15.33%21.76%36.76%39.68%經典TMD14.25%21.11%36.05%39.20%NorthridgeEMTMD43.43%44.56%49.74%56.17%經典TMD43.04%43.93%49.36%55.75%

圖9 加速度減震時程圖Fig.9 Time-history responses of accelerations

由表2可知，總體而言，相對于經典TMD，EMTMD對于主結構的位移和加速度的峰值和均方值減震性能均有了提高。

5.5 能量收集仿真

EMTMD的能量收集時程如圖10所示，相關能量收集指標如表3所示。

圖10 能量收集功率時程圖
Fig.10 Time histories of energy harvesting power

表3 能量指標

Tab.3 The indicators of the power

地震波峰值功率/W平均功率/W回收能量/J峰值電壓/VChiChi1.19×1064.33×1042.29×1064.09×102El Centro1.66×1074.05×1051.60×1071.53×103Kobe1.26×1073.77×1051.54×1061.33×103Northridge9.25×1062.32×1059.27×1061.14×103

由圖10和表3可知，EMTMD與經典TMD相比，其減振性能相當的情況，能夠獲得一定的能量收集效果。4種地震荷載仿真下，El Centro的收集能量最多，平均功率達4.05×105W，對應的峰值電壓為1.53×103V。

6 結 論

本文基于經典TMD，引入電磁換能器代替黏性阻尼單元，形成具有結構減震與能量收集雙重功能的新型電磁耦合調諧質量阻尼器。并且建立了能量收集單元、EMTMD、EMTMD與單自由度結構耦合減震模型的動力學模型。然后基于H2理論，即主結構位移均方根值最小優化理論，對耦合模型進行了參數優化，得到最優參數的理論解。利用所得參數數值仿真分析了耦合減震模型的減震和能量收集性能。具體結論如下：

(1)基于H2優化理論與殘值定理，建立了主結構位移均方根最優的表達式，并獲得了主結構的最優狀況下的結構頻率比、電磁阻尼比和機電耦合系數的解析表達式。

(2)頻域分析可知，隨著TMD質量比的增大，最優結構頻率比會減小，而最優電磁阻尼比和機電耦合系數則會增大，EMTMD的減振性能則會越來越好。在相同的質量比下，EMTMD對于主結構位移頻響減振效果略優于經典TMD的性能。

(3)時域數值分析的結果基本與頻域分析基本相當，但是增加能量轉化裝置的EMTMD能夠進行能量收集，如在EI Centro地震荷載時，收集的平均功率達4.05×105W，對應的峰值電壓為1.53×103V。

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