例談突破導函數零點的若干解題策略

李永革

(安徽省巢湖市第一中學　 238000)

一、分離函數法

例4(2016年合肥市二模理科第21題)已知函數g(x)=ax3+x2+x(a(a為實數).

(1)試討論函數的單調性；

當a>-1時，g(1)=a+2>1=f(1)，顯然，對任意x∈(0,+∞)，不恒有f(x)≥g(x);

綜上，實數a∈(-∞,-1].

二、放縮法

例5(2010全國新課標)設函數f(x)=ex-1-x-ax2,

(1)若a=0,求f(x)的單調區間；

(2)若當x≥0時，f(x)≥0,求a的取值范圍.

解(1)a=0時，f(x)=ex-1-x,f′(x)=ex-1.

當x∈(-∞,0)時，f′(x)<0;當x∈(0,+∞),f′(x)>0,故f(x)在(-∞,0)單調遞減，在x∈(0,+∞)單調遞增.

(2)f′(x)=ex-1-2ax,由(1)知ex≥1+x,當且僅當x=0時等號成立，故f′(x)≥x-2ax=(1-2a)x.

于是當x≥0時，f(x)≥0.

由ex>1+x(x≠0)，

故當x∈(0,ln2a)時，f′(x)<0，而f(0)=0,于是當x∈(0,ln2a)時，f(x)<0.

評注本題多次利用切線不等式ex≥1+x進行函數放縮.優化了函數結構.

三、等價變形法

例7(2016年北京一模)設函數f(x)=xlnx,

(1)求證：f(x)≥x-1.

∴-e3≤a<0,得到a的最小值為-e3.

評注通過等價轉化，將lnx從函數中獨立出來，是本題順利求解的關鍵.

四、主元變更法

例(2013年全國Ⅱ卷)已知函數f(x)=ex-ln(x+a)，當a≤2時，證明f(x)>0.

分析要證明f(x)>0,只要研究f(x)=ex-ln(x+a),x∈(-a,+∞)的最值即可，對f(x)求導后，導數符號不容易判斷.但是若把a看成主元，則g(a)=ex-ln(x+a),a∈(-∞,2]，很容易判斷g(a)為減函數，進而求其最小值.

又h′(-1)<0,h′(0)>0,所以x0∈(-1,0).

從而當x∈(-2,x0)時，h′(x)<0;

當x∈(x0,+∞)時，h′(x)>0.

所以函數h(x)在(-2,x0)上單調遞減；在(x0,+∞)上單調遞增.

因此函數h(x)在x=x0取小值.

綜上所述，當a≤2時，f(x)>0恒成立.