“單位1”與“分數單位”學習中的錯題研究與分析

何玉婷

摘 要：數學要走向生活，新一輪數學課程改革的一個重要特征正是強調與現實生活的聯系。就初等數學而言，我們很容易看到數學的抽象特征，例如分數。此類抽象的數學內容正是學生費解難懂的地方。而怎樣處理分數這類抽象的問題，讓數學由抽象轉為直觀，便于學生理解掌握，提高學習的正確率正是我們要研究的問題。

關鍵詞：單位1；分數單位；錯題

分數的學習并不難，難在于分子、分母、單位基數等的變化和應用。這個階段是學生對數學計算和數量表達的一個新的認知階段。在起初的學習中對概念的混淆，以及后續應用中基準單位的不統一，都會對學生的應用造成極大的困擾。那么本文主要針對易錯點進行分析，研究學生在學習的過程中容易犯錯的點以及原因，并尋找出有效的引導教學方式。

一、找不到“單位1”

學生剛剛學習“單位1”時，能夠很快地理解“單位1”表示數1，或者幾個數，或者一個整體。讓學生動手將一個數或者一個整體平均分成幾份，或者給一個直觀圖讓學生涂色表示幾分之幾，往往不會出現問題。但是變成純文字的題目學生就不知道B就是“單位1”。在所調查的《補充習題》第四單元中，共11道這樣的題型。平均每題有8.5%的學生找“單位1”找錯，最高有18.3%的錯誤率。

例1：找出下列各題的“單位1”。

嬰兒每天的睡眠時間占全天的 ，這類找“單位1”的題型其實比較簡單，只要學生理清，A占B的幾分之幾，“占”字后B就是“單位1”，我們可以記憶口訣，A占B的 。

包扎一盒禮品，用了一根彩帶的 ，像這種格式，用了B的幾分之幾，“是”“消耗”“用了”等等詞就相當于“占”，這是一種語法知識不必細講，但可以舉例讓學生發現規律。

五年級學生中，女生占 ，題目不是A占B的幾分之幾這樣的格式，而是A占幾分之幾。這時可以提問A占誰的幾分之幾？提醒學生將格式補充完整。這類題型在新課之后就有，可以讓學生自己先練，再講解。

例2：求一個數是另一個數的幾分之幾。

雞有29只，鴨有17只，鵝有42只。雞的只數是鴨的（ ），鵝的只數是雞的（ ）。

這類數形結合，求一個數是另一個數的幾分之幾的題錯誤率很高，因為學生習慣了分數的分母比分子大，反過來當求一個大的數是一個小的數的幾分之幾時，學生往往會懷疑自己的判斷，完全把分子分母的關系弄反。在所調查的習題中，這類題型共有9題，平均每題有1.3%人判斷錯誤，錯誤率最高的達到6.5%。

我們依然要幫助學生找準這類題中的“單位1”，A是B的幾分之幾，把B看作“單位1”，口訣就是A是B的 。

例3：在數軸上填分數。

在數軸上填分數似乎是小學生的一項弱項，若是在數軸上填寫分母相同的分數似乎沒有難度，若是分母不同，且有真分數、假分數的情況下，就極其容易產生錯誤。一方面需要填的空多了給學生一種復雜的感覺，一方面學生對“單位1”的固執理解，使得他們面對數軸上的2、3、4之類的數字產生困惑，“單位1”沒有單位，數軸上的數字也沒有單位，該把哪一段平均分？假分數往哪兒填？在所調查的題目中，數軸的題型共有6題，平均每題的錯誤人數為10.8%，其中錯誤率最高的為真、假分數，小數混合填寫的題型，有36.6%的學生做錯。

在數軸上如何找準“單位1”？首先在教學真分數、假分數這一課時，教師應該明確講清楚，數軸就是把數字從小到大排列在一條線上，沒有具體情境的時候，數字1就是“單位1”，我們所學習的所有真分數都是比1小的數，在數軸上應該排列在0～1之間。比1大的都是假分數，有的假分數還會比2大、比3大、比100大……這時候我們就要把假分數改寫成帶分數或整數，甚至小數。先確定它在哪兩個相鄰的數之間，再把這相鄰的兩個數之間的那段平均分成分母是幾就是幾份的分數。

數軸的題型要求學生的基本功扎實，還要求學生細心、耐心地去讀題寫題。這是比較有挑戰性的題型。我們應該在此之前先給學生練習一些小數和分數互化、假分數化帶分數、化小數的練習，再給學生填寫數軸。

二、對分數單位理解錯誤

分數單位就是幾分之一，分母越大，這個分數就越小，分數單位幾分之一也就越小。考查分數單位的題型有多種，容易產生錯誤的包括如下幾種：當分母發生變化時，有些學生會認為這個分數單位沒有變化，也有學生認為分母變大，分數單位是變大的。前者是錯把分數的分子當作分數單位，后者是對分數大小的比較方法沒有掌握。

例1：將一堆物品平均分成幾份，每份是多少，每份占幾分之幾。

學生做題時這類答案有很多，但在學生還沒有學習分數的基本性質時，我們要求學生根據分數的意義來填空，將A平均分成B份，分數單位是 ，每份是總數的 ，因為此類題目數據一旦增多，學生就會容易弄混數量關系，用這種方法簡單不易出錯。這里又用到了小口訣，需要學生記憶。在所調查的習題中，這類題型共11題，平均每題有11.4%的學生發生錯誤，錯誤率最高的有46.2%。

一個分數的分數單位和分子的大小是無關的，分母越大，分數單位就是分母分之一，也就越小。做判斷題時，先寫出一個分數 ，它的分數單位是 ，再進行判斷。B的值越大，平均分的份數越多，每份就越少，分數單位 就越小。在三年級的時候學生就有學習關于分數單位大小的比較方法。“把同一個東西平均分，分的份數越多，每份就越小”，我們應該要求學生會背誦這樣的口訣，熟記之后運用就會更簡單。

例2：“單位1”有具體數值時，找出其分數單位。

把3米長的鋼管平均截成4段，每段占全長的（ ），每段的長是（ ）米。

如果“單位1”是一個有具體數值的量，那么學生對分數單位的理解就會出現困難，最常見的錯誤是忽略了分數表示的是兩個數量之間的關系，是沒有單位的。這里學生受到了單位的影響，產生混亂，把“每段占全長的幾分之幾”誤解為“每段長多少”。這樣的錯誤例子很多。在所調查的116題中，這類題型共有6題，平均每題有14.9%人判斷錯誤，錯誤率最高的達到23.7%。

我們平時應該鍛煉學生說題意的能力，求“每段占全長的幾分之幾”，仍然是求分數單位，平均成幾份，分數單位就是幾分之一，每份是總數的幾分之一。

5筒羽毛球，每筒12只，平均分成6份，每個年級分得多少只，多少筒？這題數據較多，不單求分數單位，還要求數量，而且數量的單位還不同。這就屬于比較復雜的求分數單位的題型。這對前面學習分數單位的掌握程度要求很高。

把兩根1米長的彩帶平均分成5份，每份有2個 米，是 米。這種題型比較少，學生無論看圖還是看文字都容易出錯，容易理解成把2米平均分成10份。這題直接讓學生求每份多長，學生這個時候理解困難，思想混亂就會出錯。這仍然是求分數單位的問題，要先找“單位1”，平均分成幾份，分母就是幾，分數單位就是幾分之一。

三、教學實踐措施

1.總結發現

學生學習分數時最容易出錯的就是解決一個數是另一個數的幾分之幾的實際問題。原因就是對分數意義概念的不清晰，包括找“單位1”和分數單位。

解決這類問題，需要把概念教學聯系直觀，在教學過程中及時反饋、學生質疑和小組糾錯。教學以來發現，書上有的概念性的知識往往學生不記得，更不用說一些規律性知識。以往我認為學習數學完全是靠理解力，無需記憶。現在發現這是一個非常錯誤的觀點。不管學習什么，都需要大腦去記憶，才更方便今后運用。學生的學習是懵懂的，必須要教師給出明確的要求，學生才知道要會運用什么、掌握什么、理解什么、了解什么，才知道自己要怎么做。當然我們也要給學生時間，不要總是指望學生能自覺做什么事，小學生不像成人一樣能合理規劃好各段時間的使用，何況某些成年人也不能做到。作為教師要充分利用早讀、課前2分鐘的準備時間、課上40分鐘、中自習等時間，督促學生完成各類學習任務。

這類概念和運算結合的教學內容是比較困難的。相信攻克這個難關，對學生學習會有極大助益。

2.易錯題正確思路

通過上文能夠發現，關于分數單位的易錯點其實就是對單位的不理解。上文主要闡述了關于易錯點的成因和誤區，那么正確的易錯題解題思路是必須的。為了能夠從易錯題中總結學習經驗，教師在例題講解時應該由淺入深，逐步增強學生的理解能力和應用能力。

簡單例題1：

五年級一班總共有20個同學，其中女生有8個，請問男同學有多少，占班級總數的多少？

解題思路：

教師在引導學生的時候，首先是理解題干中的具體要求，求解的是男同學數量以及占比。那么首先就應該解決男同學數量問題，這個簡單，不多做介紹。重點是占比問題。首先教師要幫助學生理清楚求解的是男生占據班級總數的多少，那么就是男生的總數 ∶ 班級的總數。男生的總數為20-8=12人。占比正確計算為12比20，簡化為 。解題的時候要幫助學生理清的是哪部分是分子，哪部分是分母。其實可以總結為，某1占據某2的多少就是以最后的某2為分母。當然，這樣的小技巧需要教師以更加容易記或者趣味的方式傳達。

困難例題2：

小明家離學校總共1000米，在這個路程中每隔300米種植一棵樹。請問能夠種植的樹是多少？種植第二課樹的時候，距離占據總數長的多少？

解題思路：

在解決這道題的時候，還是首先分析題干，題干需要求出的能夠種植多少棵樹？那么按照分數概念來，就需要了解分數單位是多少？1000米中能夠存在多少個分數單位。就像上文講的，當有具體的數值的時候，學生在抓取“單位1”和分數單位時會出現混亂。這個時候需要使用到上面總結的小口訣，需要求證的占比最后位為分母。也就是300分之1000，最多能夠種植3棵。種植第二棵的時候距離為2×300米=600米。占據比同理得1000分之600，簡化得 。

在劃分單位的時候和計算占比的時候，需要明白分數單位是多少，那么分數單位是占比的，可以根據框架A占B的 來進行記憶。需要求證的為分子，總數為分母。當然在進行易錯題的計算時，還要根據具體的數值來進行簡單的計算。通過易錯題的分析，總結容易出錯的環節，進行重點分析，重在幫助學生理解分數單位、分子和分母的關系。

編輯 謝尾合