一道課本練習題的解法探究

曾子斌

摘 要：以人教版必修4第147頁第三章《三角恒等變換》復習參考題B組第7題進行研究性學習為例，探究在高中數學教學中，如何啟發學生剖析問題，深入挖掘課本習題蘊含的數學知識、思想和方法，學會學習，培養學生的學科素養和科學精神。

關鍵詞：課本習題；探究；學會學習

數學是思維的體操。教師應抓住高中生思維發展的飛躍時期，利用成熟期前可塑性大的特點，鼓勵學生在數學解題中多動腦思考，找到解題方法和規律。故在教學時要立足課本，不是簡單地查找課本中相關題目，一做了之，而是深入挖掘課本相關內容的數學知識、思想和方法，研究習題背景及其內在聯系，引導學生探究不同解法，學會學習，從而培養學生的學科素養和科學精神。本文以人教版必修4第147頁第三章《三角恒等變換》復習參考題B組第7題為例，深入挖掘，多角度探究，拋磚引玉。

例 如圖1，正方形ABCD的邊長為1，AB、AD上各有一點P、Q，如果△APQ的周長為2，求∠PCQ的度數。

分析：本題考查了正切的定義、兩角和的正切定義、向量的數量積與夾角、三角形及正方形的基本性質、全等三角形的判定及性質、旋轉變換，是必修4中的一個數形結合題型的綜合應用題。可首先考慮到點P、Q為動點，把P、Q放特殊位置B、A處，可以得到∠PCQ=45°。現通過以下解法進行探究，求得∠PCQ=45°即可。

解法1：旋轉法

先介紹一種初中平面解題思路，學生會比較有興趣。如圖2，旋轉△CDQ使得CD與CB重合，易得PE=PB+DQ，而PQ=2-AQ-AP=PB+DQ=PE，根據SSS易證∠PCQ=∠PCE=45°。

解法2：平面向量法

本方法是學習高中數學必須掌握的解題方法借助向量工具解決“邊與角”的問題，但這題用本方法解題的過程中計算量偏大，故具體講解時以拓展解題思路為主。根據圖3設相應的邊和角，借助向量工具得。

解：如圖3，建立平面直角坐標系，設AP=x，AQ=y；

則：=（-1，y-1），=（x-1，-1）

cosθ=

=

∵△APQ的周長為2，∴x+y+=2

可得x=

帶入上式化簡可得cos∠PCQ=

即∠PCQ=45°

解法3：三角函數法

本題用到化歸思想、函數思想，特別是突出“三角函數”是解決“角與邊”問題的工具。首先按圖4所示設對應的邊和角有互余把求∠PCQ轉化為求（α+β）的和角問題，觀察結構，發現tanα和tanβ容易計算.故選擇tan（α+β）展開。

tan（α+β）==，通過三角函數轉化為邊的關系。觀察右式特點，需要把（x+y）與xy整體互換。根據已知條件x+y+=2可得xy=2（x+y）-2帶入化簡可得tan（α+β）=1，返回所求角，問題解決.

解：設AP=x，AQ=y，∠DCQ=α，∠BCP=β

則tanα=1-y，tanβ=1-x，

tan（α+β）==，

∵△APQ的周長為2，

∴x+y+=2，可得xy=2（x+y）-2，

∴tan（α+β）==1.

又∵0<α+β<，

∴α+β=，

即∠PCQ=-（α+β）=

解法4：解三角形法

學習必修5以后，又可用到解三角形方法——余弦定理建立起邊角關系，和向量法一樣，計算量偏大，介紹解題思路為主。

cos∠PCQ==

根據已知條件x+y+=2可得x=，帶入上式化簡可得cos∠PCQ=

解：設AP=x，AQ=y；

則：CQ= CP= PQ=

在△CPQ中，

cos∠PCQ==

∵△APQ的周長為2，∴x+y+=2

可得x=

帶入上式化簡可得cos∠PCQ=

即∠PCQ=45°

教育心理學理論認為：思維是人腦對事物本質和事物之間規律性關系概括的間接反映。只有把掌握知識、技能作為中介來發展學生的思維品質才符合素質教育的基本要求。一題多解可拓寬思路，通過不同數學內容的聯系與啟發，強調類比、推廣、特殊化、化歸等思想方法的運用，自然而然得到題目的另一種解法。教師的教法常常影響到學生的學法，靈活多變的教學方法對學生思維靈活性的培養起著潛移默化的作用，在體驗一題多解的過程中，啟發和引導學生的數學思維，養成主動探究，積極思考的好習慣，有利于培養學生的數學素養和科學精神。深入、大膽質疑、完備知識，對數學知識自然明了。

參考文獻：

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？誗編輯 溫雪蓮