再談初高中數學的銜接教學，發(fā)展學生的數學核心素養(yǎng)
——以高一《函數的單調性》教學為例

王征國

（福建省福清市宏路中學 福建 福清 350301）

初高中數學的銜接教學搞得好不好，對學生后續(xù)在高二、高三數學課程的學習有很大的影響。數學核心素養(yǎng)的發(fā)展和學生高中數學成績的好壞，是每位高中數學教師都必須直面的問題。筆者依托高一《函數的單調性》的教學設計與實施，對上述問題進行探討，取得了較好的效果。現將教學設計與同行進行交流。

一、教學設計意圖

結合具體函數實例，根據已學過的函數圖像的特征，經歷從具體的直觀描述到形式的符號表達的抽象過程，加深對函數性質之一“函數的單調性”理解，體會用符號形式化表達數學定義的必要性，知道這樣的定義在討論函數單調性問題中的作用。

1.教材分析

函數單調性是函數的重要性質之一，對函數單調性的理解應通過觀察已學過的函數（特別是二次函數）圖像的特征，形成增（減）函數直觀認識，再通過具體函數值的大小比較，認識函數值隨自變量的變化而變化的規(guī)律。這樣為其它函數性質的學習也提供了可借鑒的方法依據。

2.學情分析

在初中階段，學生已經初步了解一次函數、反比例函數、二次函數的圖象具有單調性的特征。在高中階段引入函數單調性概念時，可以從直觀認識出發(fā)，提出合適的課堂討論問題，形成增（減）函數直觀認識，再通過具體函數值的大小比較，認識函數值隨自變量的變化而變化的規(guī)律。

3.教學任務

本節(jié)課的核心教學任務是在問題情境中引入函數單調性概念，在函數單調性概念的形成中，經歷由具體到抽象、由圖形語言和自然語言到符號語言表達的過程，發(fā)展學生的數學抽象素養(yǎng)。在把握函數單調性定義時，體會全稱量詞、存在量詞等邏輯用語的作用，發(fā)展學生的邏輯推理素養(yǎng)。在函數單調性證明的過程中，發(fā)展學生的數學運算素養(yǎng)。

4.教學過程設計

（1）創(chuàng)設情景，揭示課題

①觀察圖中的各個函數圖像，你能說說它們分別反映了相應函數的哪些變化嗎？

師：隨x的增大，y的值有什么變化？

②畫出下列函數的圖像，觀察其變化規(guī)律：

book=150,ebook=156（1）f(x) = x

（2）f(x) = x2

師：通過對圖像的觀察分析能得出什么結論？

生：不同的函數，其圖像的變化不同，同一函數在不同區(qū)間上變化趨勢也不同。

師：函數圖像的這種變化規(guī)律就是函數性質的反映，這就是我們今天所要研究的函數的一個重要性質——函數的單調性（引出課題）。

（2）講授新課

①問題：y = x2的圖像在y軸右側是上升的，如何用數學符號語言來描述這種“上升”呢？

設計意圖：讓學生通過觀察、思考、討論，歸納得出：

函數y = x2在（0，+∞）上圖像是上升的，用函數解析式來描述就是：對于（0，+∞）上的任意的x1，xx當x1＜xx時，都有.即函數值隨著自變量的增大而增大，具有這種性質的函數叫增函數。

②增函數

一般地，設函數y=f(x)的定義域為I，如果對于定義域I內的某個區(qū)間D內的任意兩個自變量x1，x2，當x1＜x2時，都有f(x1)＜f(x2)，那么就說f(x)在區(qū)間D上是增函數.

③從函數圖像上可以看到，y= x2的圖像在y軸左側是下降的，類比增函數的定義，你能概括出減函數的定義嗎？

注意：

（1）函數的單調性是在定義域內的某個區(qū)間上的性質，是函數的局部性質

（2）必須是對于區(qū)間D內的任意兩個自變量x1，x2；當x1＜x2時，總有 f(x1)＜f(x2) .

④函數的單調性定義

如果函數y=f(x)在某個區(qū)間上是增 函數或是減函數，那么就說函數y=f(x)在這一區(qū)間具有（嚴格的）單調性，區(qū)間D叫做y=f(x)的單調區(qū)間。

（3）例題分析，發(fā)展思維

根據函數圖像說明函數的單調性.

例1 如圖是定義在區(qū)間[-5，5]上的函數y=f(x)，根據圖像說出函數的單調區(qū)間，以及在每一單調區(qū)間上，它是增函數還是減函數？

證明：略

由學生歸納總結

判斷函數單調性的方法步驟

利用定義證明函數f(x)在給定的區(qū)間D上的單調性的一般步驟：

① 任取 x1，x2∈ D，且 x1＜x2；

② 作差 f(x2)－ f(x1)；

③變形（通常是因式分解和配方）；

④定號（即判斷差f(x2)－f(x1)的正負）；

⑤下結論（即指出函數f(x)在給定的區(qū)間D上的單調性）。

師：函數的單調性一般是先根據圖像判斷，再利用定義證明。畫函數圖像通常借助計算機，求函數的單調區(qū)間時必須要注意函數的定義域，單調性的證明一般分五步：取值 → 作差 → 變形→ 定號 → 下結論。

二、教學反思

1.教材內容的銜接

新課改后初中教材在內容深度、廣度上面均大為削弱,包括如立方差公式、二次函數圖像與方程根分布及根與系數關系等知識點均改為在高一階段補充學習。這就要求高中數學教師應就初中數學教材內容的調整在高中數學教學作出適當的補充,如初中階段的多項式乘法運算中,學生已接觸到平方差、完全平方公式,在高中階段的數學學習中,教師就可以聯系該部分內容,在此基礎上補充學習三個數和的完全平方、立方和、差公式。

2.教學方法、學習方法的銜接

通過與學生座談，我了解到目前初中數學教學方法主要靠做題目，初中階段的教學內容較淺，知識點少,學生對數學的學習基本上都是以“教師講，學生聽，教師布置題目，學生進行練習”為主的模式。久而久之，教師的教學方法也固化，學生逐步養(yǎng)成了依賴于教師的學習習慣，缺少自覺去鉆研的精神。高中數學邏輯思維性強、概念抽象、定理嚴謹,明顯地表現為“起點高、難度大、容量大”等特征。在教學活動中，應結合教學任務及其蘊合的數學學科核心素養(yǎng)設計合適的情境和問題，引導學生用數學的眼光觀察現象、發(fā)現問題，使用恰當的數學語言描述問題，用數學的思想、方法解決問題。在問題解決的過程中，理解數學內容的本質。為了使學生更好發(fā)展數學學科的核心素養(yǎng)，可以通過典型教學案例加以開展。如：案例1 借助二次函數、求解一元二次不等式。立體幾何教學也可聯系至平面幾何知識,進行概念的類比等等。案例2 函數的概念

初中學習的函數概念表述為：如果在一個變化過程中有兩個變量x和y，對于變量x的每一個值，變量y都有唯一的值與它對應，那么稱y是x的函數。它強調的是用函數描述一個變化過程。到了高中，函數的概念表述為：給定兩個非空實數集合A和B，以及對應關系f，若對于集合A中的每一個實數x，集合B中有唯一實數y=f(x)與x對應，則稱y=f(x)為集合A上的函數，這個概念更強調實數集與實數集間的對應關系，通常把這樣的表述成為函數的“對應關系說”。這樣，不同的函數可以進行加、減、乘、除等運算，函數研究的內涵和應用的范圍得以擴展。

對應關系強調的是對應的結果，而不是對應的過程。例如，借助高中函數的表達式，可以認定函數y=cos2x+sin2x，x∈(-∞,+∞)與函數y=1 ，x∈(-∞,+∞)， 表示同一個函數。更一般地，可以判斷兩個函數是否相同：如果兩個函數的定義域相同，且相同的變量值對應的函數值也相同，那么，這兩個函數就是同一個函數。

使用對應關系刻畫函教還有更為深刻的含義，這是因為有些函數很難用解析式表示。側如，狄利克雷函數

因此，對函數概念的進一步抽象是必要的。

三、建議

針對目前高一學生數學學習的現狀，為了進一步提高學生的學習成績，在搞好教學內容、教學方法、學習方法銜接同時，必需幫助學生完善學習過程（1）教師要指導學生進行預習。通過課前預習，學生會遇到問題，進而對所學知識產生疑問，產生好奇心。利用他們的這份好奇，使他們養(yǎng)成每節(jié)新課前都要進行預習的習慣，從而了解下節(jié)課教師上課的內容，提高聽課效率。（2）教師要指導學生采用科學的學習方法，提高學習效率。養(yǎng)成課后先看書并回顧當天教師上課的內容，再運用掌握的知識去完成作業(yè)加以鞏固。（3）教師要采用適當的方法提高學生學習的積極性，主動性，使學生做到對老師批改作業(yè)及時了解，對做錯的題目認真對待，及時糾正。同時要培養(yǎng)學生養(yǎng)成嚴謹的學習態(tài)度，對于學習中出現的問題認真思考，決不輕易放過。（4）教師要指導學生養(yǎng)成系統(tǒng)復習的學習習慣，學會用自己的觀點來分析數學知識的框架，經過對所學知識的梳理，給出自己對知識體系的一個理解，這樣會加深對所學知識的理解和記憶。

借用習近平總書記的一句話“幸福是靠奮斗出來的”，只要我們教師的教學理念也適合新時代的教育教學要求，在教學中，不斷根據所教內容的定位和教育價值，時刻關注細節(jié)，扎實做好必備的教學常規(guī)要求及對學生的學習要求，這樣數學學科核心素養(yǎng)的培養(yǎng)就能做到水到渠成。