一道高三調(diào)研試題的解題思維分析與方法探究

陳 亮

（江蘇省華羅庚中學(xué) 江蘇 常州 213200）

一、試題呈現(xiàn)

二、試題評(píng)價(jià)

本題是填空的壓軸題，以圓為背景，條件以向量形式表示，以最值為目標(biāo)，將圓、向量函數(shù)、方程、不等式、軌跡融為一體，綜合性很強(qiáng)。本題的入口較寬，但不論從解幾方向還是向量等都需要經(jīng)歷一定的轉(zhuǎn)化過(guò)程，這也是本題的難點(diǎn)，最終使得很多學(xué)生“無(wú)功而返”。

三、試題初探

本題條件豐富多樣，所以解題的第一步是將題中的有效條件提取出來(lái)并作一些顯性轉(zhuǎn)化，通過(guò)對(duì)條件的分析本題可以得到如下信息（如圖1）

信息2：由向量加法的平行四邊形法則或常用的三角形中線的向量形式得：（為中點(diǎn)）；

以上信息是審題之后較直接的條件提煉與簡(jiǎn)單的轉(zhuǎn)化，在上述信息的基礎(chǔ)上作進(jìn)一步的聯(lián)想，繼續(xù)得到如下信息（如圖2）

book=257,ebook=263

即

本題如果就到此為止的話未免會(huì)覺得有點(diǎn)意猶未盡，給人感覺問(wèn)題研而不透。

四、試題再探

1.數(shù)形結(jié)合 凸顯本質(zhì)

在解析幾何中我們常遇到一類距離最值問(wèn)題，此類問(wèn)題我們通常可以先考慮圖形，由圖形可以直接判斷最值，那么本題能否用圖形得到呢？

即

2.變換形式 展現(xiàn)新解

本題在表述上是以向量形式，那么能否直接用向量解題呢？（1）條件全面“向量化”

（2）基向量的確定

全面“向量化”之后，帶來(lái)了新的問(wèn)題：向量太多。遇到這一問(wèn)題在向量中我們常選擇基向量進(jìn)行統(tǒng)一，本題中可以表示為：；可以表示為.這樣只需三個(gè)向量即可。

3.變化視角 精彩紛呈

由柯西不等式得到：

五、題后反思

1.解題分析應(yīng)有針對(duì)性的滿足不同學(xué)生的需求

數(shù)學(xué)解題分析應(yīng)充分考慮學(xué)生的主體特性，以生為本，立足于服務(wù)學(xué)生、發(fā)展學(xué)生的思維為目的。教學(xué)目標(biāo)的價(jià)值取向是由知識(shí)本身和學(xué)生的認(rèn)知能力共同決定的，不同知識(shí)層次的學(xué)生對(duì)不同知識(shí)結(jié)構(gòu)的分析和理解能力也各不相同，這需要對(duì)教學(xué)目標(biāo)（包括長(zhǎng)期與短期教學(xué)目標(biāo)）進(jìn)行科學(xué)的價(jià)值定位，因此，對(duì)學(xué)生的思維分析是“堵”還是“疏”，不能僅僅以本節(jié)課的教學(xué)計(jì)劃是否完成來(lái)判斷，以本文為例，文中展現(xiàn)的幾種思維角度各異的解法探究，針對(duì)學(xué)生的思路進(jìn)行有效的思維分析，有針對(duì)性的滿足了不同層次學(xué)生的學(xué)習(xí)需求。

2.解題分析應(yīng)尊重“思維自然化”的原則

自然化的數(shù)學(xué)解題分析，是樸實(shí)的思維，強(qiáng)調(diào)思維過(guò)程的自然銜接，聯(lián)系、轉(zhuǎn)化合乎情理，思維過(guò)程層層推進(jìn)，解題過(guò)程中淡化對(duì)技巧的依賴，實(shí)際上技巧一般也能通過(guò)普通的解法完成，只不過(guò)技巧來(lái)的更快一些，而普通方法學(xué)生更易接受，更能看清題中的來(lái)龍去脈，技巧往往顯得不夠自然。現(xiàn)代數(shù)學(xué)教學(xué)對(duì)通法越來(lái)越重視，對(duì)技巧往往是一帶而過(guò)，這樣的解題教學(xué)才是學(xué)生所需要的解題教學(xué)，才能被學(xué)生自然的理解并內(nèi)化，學(xué)生才能逐漸學(xué)會(huì)如何進(jìn)行有效而有序的思維，這對(duì)學(xué)生思維的培養(yǎng)大有裨益。

3.解題分析應(yīng)有選擇性地運(yùn)用新舊知識(shí)的聯(lián)系

實(shí)踐表明，在解題分析時(shí)，選擇具有良好結(jié)構(gòu)性和邏輯性的認(rèn)知起點(diǎn)，利用已知的知識(shí)體系建構(gòu)數(shù)學(xué)，探究結(jié)構(gòu)的“起源”或“發(fā)生”方法，通過(guò)轉(zhuǎn)換結(jié)構(gòu)達(dá)到可理解性，促使學(xué)生完善、改良和發(fā)展對(duì)結(jié)構(gòu)的認(rèn)知能力，使學(xué)習(xí)者不斷吸收并應(yīng)用新的數(shù)學(xué)知識(shí)，這樣做不僅符合學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律，同時(shí)也提升了教與學(xué)的和諧發(fā)展，讓講評(píng)課不再單調(diào)乏味。