立體幾何教學的最佳突破口

周玉蓮

初中生升上高中時學習立體幾何時普遍感覺難度比較大，而構造正方體、充分利用正方體的性質解決立體幾何的題目，是使學生更容易的理解立體幾何的基本概念和掌握立體幾何的基本方法。所以本文從利用正方體解決立體幾何各種題型方面來分析正方體對解決立體幾何問題的作用，強調它是立體幾何教學的最佳突破口。

一、立體幾何教學現狀

初中的數學課文基本上以平面幾何內容為主，只有初三有一點三視圖的內容，而又不是考試重點，所以學生與老師在這個內容上所花的時間不多。雖人教版新教材的立體幾何整體難度有所下降，但高中學生普遍仍覺得立體幾何難學，普通中學的學生就更加如此。正因為如此，教師也覺得立體幾何難教。

1. 為什么立體幾何難學——學科特點

依據筆者多年的教學經驗和學生訪談，立體幾何難學的原因，歸納起來有二點：一是立體幾何涉及的關系比較多（表現為概念多、定理多），這些關系之間的轉化又很靈活，都對學生提出了較高的要求；二是立體幾何的直觀圖形不能（像平面幾何那樣）給學生提供全真的視覺信息（如兩條看似相交成銳角的直線其實是互相垂直的異面直線等），這種情況對學生的空間想象能力和邏輯推理能力都提出了較高要求。基于這兩點原因，一道在老師看來絕對難度中等的題目，學生也覺得難做。那么，面對立體幾何多而雜的頭緒，靈活而嚴謹的推理，我們從哪里去尋找立體幾何教學的突破口，從而提高立體幾何的教學效率呢？

2. 怎樣提高立體幾何的教學效率——關鍵是抓“正方體”

（1）正方體是學生最早接觸和最熟悉的空間圖形，同時它也是一個空間感很強的幾何圖形。借用它來教學立體幾何，學生心理上容易接受，從而畏難情緒也大為降低，同時也有助于學生思考和觀察空間問題，降低思維難度。

（2）正方體能完美體現立體幾何核心知識。在正方體中能反映空間基本的線線關系、線面關系、面面關系，而通過對正方體的截割，可以得到多樣的柱、臺、錐體。

（3）正方體是高考立體幾何命題的重要源泉之一。這點從歷年的高考試題可以得到驗證，同時借助正方體可以產生新型的立體幾何題。

（4）正方體是探索解題思路的重要突破口。很多立體幾何問題由于線面關系復雜或圖形不容易畫。借助正方體，把我們所要研究的問題放置于更大的背景之中，可以從整體上更好地看清各部分之間的關系。

二、挖掘正方體教學潛能的具體做法

1. 引導學生用“研究”的視覺重新“認識”正方體，從而讓學生感悟立體幾何的核心知識。

（1）正方體有6個面、8個頂點、12條棱，且滿足面數+頂點數–棱數=2。

（2）正方體的12條棱可以組成24對異面直線。

（3）正方體有13條對稱軸、9個對稱面。

（4）由正方體的頂點組成的三角形中，銳角三角形8個，直角三角形48個。

（5）正方體繞其對角線旋轉120°后，與原正方體位置重合。

（6）正方體的內切球半徑為，外接球半徑為。

（7）一個平面截正方體，其截面可以是：三角形（銳角三角形的面積在0～a2之間）、正方形（面積a2）、菱形（面積在a2～a2之間）、矩形（面積在0～之間）、梯形、平行四邊形、五邊形、六邊形。

（8）棱、面對角線、體對角線（簡稱正方體的三類線）分別組成什么角度？

（9）三類線與三類面（底面、對角面、平面）間線面所成的角分別為多少度？（注：底面是指正方體的底面或側面、由首尾相連的三條面對角線所確定的正方體的截面記為平面。）

（10）三類面（底面、對角面、平面）間分別組成什么角度？

（11）正方體的三類線間，異面直線的距離各是多少？其中最典型的是兩相鄰側面對角線間的距離（），其求法又可以成為求異面直線的基本圖形和基本方法。

（12）有趣的是正方體包含正四面體和正八面體，借助正方體這個“模型”容易發現正四面體和正八面體的性質（如正四面體的對棱互相垂直等）。

2. 正方體上的點、線、面具有特殊的位置關系及線段的長度關系。在很多立體幾何問題中，如能構造正方體，發揮正方體的模型作用，那么能使很多問題簡捷明快輕松獲解；很多立體幾何問題由于線面關系復雜或圖形不易畫，盡管這些問題與正方體無關，但是我們借用正方體作為“道具”，并利用它的特殊性質來處理問題，仍會使問題變得簡明清晰。

3. 研究空間線面關系是立體幾何學習的核心，正方體含有豐富的線面關系，借助它可以編制許多“好”的立體幾何題。

責任編輯徐國堅