課堂教學(xué)中培養(yǎng)學(xué)生邏輯推理素養(yǎng)的途徑*

☉陜西省麟游縣中學(xué) 韓紅軍 閆秀娟 張教訓(xùn)

2017年頒布的《高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》中明確提出：邏輯推理是指從一些事實(shí)和命題出發(fā)，依據(jù)規(guī)則推出其他命題的思維過(guò)程.其主要包括兩類：一類是從特殊到一般的推理，推理形式主要有歸納、類比；另一類是從一般到特殊的推理，推理形式主要有演繹.邏輯推理主要表現(xiàn)在以下幾方面：掌握推理的基本形式和規(guī)則；發(fā)現(xiàn)問(wèn)題和提出命題；探索和表述論證過(guò)程；理解命題體系；有邏輯地表達(dá)與交流.從上述敘述中，我們可以看出：在解決邏輯推理題時(shí)，首先要將題中有用的信息進(jìn)行提取、篩選、加工與識(shí)別，通過(guò)再認(rèn)，明確屬于所學(xué)的哪一部分知識(shí)，然后利用信息中的邏輯關(guān)系進(jìn)行嚴(yán)密的推理，最后作出正確判斷.因此我們可以提煉出破解邏輯推理題的思維過(guò)程，如圖1所示.

圖1

一、各章知識(shí)所涉及的邏輯推理及其思維過(guò)程

對(duì)學(xué)生邏輯推理素養(yǎng)的培養(yǎng)在高中所學(xué)的各個(gè)章節(jié)均有體現(xiàn)，其中《立體幾何》尤為明顯，而其他章節(jié)有些晦澀，不太明顯，我們主要以其它章節(jié)研究為主.

1.借助《簡(jiǎn)易邏輯》中構(gòu)建真值表的方法，將邏輯推理過(guò)程中隱性思維顯性化

例1 有A、B、C、D四個(gè)朋友住在同一個(gè)城鎮(zhèn)上，其中一個(gè)是民警，一個(gè)是木匠，一個(gè)是農(nóng)民，一個(gè)是醫(yī)生.一天A的兒子摔壞了腿，A帶兒子去找醫(yī)生，醫(yī)生的妹妹是C的妻子，農(nóng)民沒(méi)有結(jié)婚，他家養(yǎng)了很多母雞，B經(jīng)常到農(nóng)民家里買雞蛋，民警每天都與C見(jiàn)面，因?yàn)樗麄z住隔壁.根據(jù)上面的信息，判斷A、B、C、D的身份.

解：構(gòu)建如下真值表，用1表示真，0表示假.因?yàn)锳帶兒子去找醫(yī)生，說(shuō)明A不是醫(yī)生、農(nóng)民.醫(yī)生的妹妹是C的妻子，說(shuō)明C不是醫(yī)生、農(nóng)民、民警.則C是木匠，D是農(nóng)民，據(jù)此逐步分析可知，A是民警，B是醫(yī)生.

A B C D民警 1 0 0 0木匠 0 0 1 0農(nóng)民 0 0 0 1醫(yī)生 0 1 0 0

點(diǎn)評(píng)：本題通過(guò)構(gòu)建真值表，將趣味推理中隱性思維顯性化，通過(guò)真值表，A、B、C、D的身份一目了然.

2.借助《推理證明》中的演繹推理，將邏輯推理過(guò)程中隱性思維條理化

例2 甲乙兩人約好一同去看《戰(zhàn)狼2》，兩人買完了電影票后，偶遇丙也來(lái)看這場(chǎng)電影，此時(shí)還剩9張?jiān)搱?chǎng)電影的電影票，電影票的座位信息如下表：

1排4號(hào) 1排5號(hào) 1排8號(hào)2排4號(hào)3排1號(hào) 3排5號(hào)4排1號(hào) 4排2號(hào) 4排8號(hào)

丙從這9張電影票中挑選了一張，甲、乙詢問(wèn)丙所選的電影票的座位信息，丙只將排數(shù)告訴了甲，只將號(hào)數(shù)告訴了乙.下面是甲、乙關(guān)于丙所選電影票的具體座位信息的一段對(duì)話：

甲對(duì)乙說(shuō)：“我不能確定丙的座位信息，你肯定也不能確定.”

乙對(duì)甲說(shuō)：“本來(lái)我不能確定，但是現(xiàn)在我能確定了.”

甲對(duì)乙說(shuō)：“哦，那我也能確定了！”

根據(jù)上面甲、乙的對(duì)話，判斷丙選擇的電影票是（ ）.

A.4排8號(hào) B.3排1號(hào) C.2排4號(hào) D.1排5號(hào)

解：根據(jù)甲不能確定丙的座位信息，排除2排4號(hào)；甲肯定乙一定不能確定，所以拿到的排數(shù)必然不是乙能直接確定的4排2號(hào)所在的排數(shù)，故排除4排；然后乙說(shuō)那么他能確定了，由于5號(hào)對(duì)應(yīng)兩個(gè)位置，而4號(hào)，1號(hào)，8號(hào)對(duì)應(yīng)的位置唯一確定，所以必是三個(gè)中的一個(gè)；甲思考乙既然能確定，必然是上述三個(gè)，根據(jù)最后甲也確定，1排有兩個(gè)可以，而3排唯一，所以是3排1號(hào).故選B.

點(diǎn)評(píng)：本題將趣味推理問(wèn)題中隱性思維條理化，先逐句話進(jìn)行分析，排除不符合條件的座位號(hào)，然后將可能正確符合條件的座位號(hào)再次進(jìn)行組合、篩選.

3.借助《不等式》中的相關(guān)知識(shí)，將邏輯推理過(guò)程中隱性思維代數(shù)化

例3 某學(xué)習(xí)小組由學(xué)生和教師組成，人員構(gòu)成同時(shí)滿足以下三個(gè)條件：

①男學(xué)生人數(shù)多于女學(xué)生人數(shù)；

②女學(xué)生人數(shù)多于教師人數(shù)；

③教師人數(shù)的兩倍多于男學(xué)生人數(shù).

（1）若教師人數(shù)為4，則女學(xué)生人數(shù)的最大值為_(kāi)_____.

（2）該小組人數(shù)的最小值為_(kāi)_____.

解：設(shè)男學(xué)生和女學(xué)生分別為x，y人.

點(diǎn)評(píng)：本題將趣味推理轉(zhuǎn)化為解不等式問(wèn)題，將繁雜的文字語(yǔ)言轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)語(yǔ)言，進(jìn)而轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)問(wèn)題，使邏輯推理中隱性思維代數(shù)化.

4.借助《數(shù)列》中的歸納推理，將邏輯推理過(guò)程中隱性思維規(guī)律化

例4將正△ABC分割成n2（n≥2，n∈N）個(gè)全等的小正三角形（圖2，圖3分別給出了n=2，3的情形），在每個(gè)三角形的頂點(diǎn)各放置一個(gè)數(shù)，使位于△ABC的三邊及平行于某邊的任一直線上的數(shù)（當(dāng)數(shù)的個(gè)數(shù)不少于3時(shí)）都分別依次成等差數(shù)列，若頂點(diǎn)A，B，C處的三個(gè)數(shù)互不相同且和為1，記所有頂點(diǎn)上的數(shù)之和為f（n），則有f（2）=2，f（3）=______，…，f（n）=______.

圖2

圖3

解：當(dāng)n=3時(shí)，如圖4所示分別設(shè)各頂點(diǎn)的數(shù)用小寫字母表示，即由條件知a+b+c=1，x1+x2=a+b，y1+y2=b+c，z1+z2=c+a，所以x1+x2+y1+y2+z1+z2=2（a+b+c）=2，2g=x1+y2=x2+z1=y1+z2，6g=x1+x2+y1+y2+z1+z2=2（a+b+c）=2，即

從而f（3）=a+b+c+x1+x2+

進(jìn)一步可求得f（4）=5.

圖4

由上知f（1）中有3個(gè)數(shù)相加，f（2）中有6個(gè)數(shù)相加，f（3）中共有10個(gè)數(shù)相加，f（4）中有15個(gè)數(shù)相加，以此類推，若f（n-1）中有an-1（n＞1）個(gè)數(shù)相加，可得f（n）中有（an-1+n+1）個(gè)數(shù)相加.

點(diǎn)評(píng)：本題屬于圖表類問(wèn)題，要正確理解圖表中各量的意義，利用歸納推理從特殊情況入手，從圖形中梳理和獲取有用信息，通過(guò)題目中的敘述，正確地把握題目所包含的數(shù)學(xué)知識(shí)，然后化歸為數(shù)列求和問(wèn)題，同時(shí)通過(guò)圖表掌握信息是解決圖表類問(wèn)題的關(guān)鍵.

例5 四面體數(shù)為：1，4，10，20，35，56，84，120，….它們是恰能壘成正四面體堆垛的大小相同的小球的個(gè)數(shù)，猜想通項(xiàng)公式為_(kāi)_____.

解：我們知道壘成正四面體堆垛的小球的大小相同，因此各層的小球一定構(gòu)成等邊三角形，把這樣的各層小球堆垛起來(lái)，就構(gòu)成了一個(gè)個(gè)的正四面體.而組成各層等邊三角形的小球數(shù)分別為1，3，6，10，15，21，….這是一個(gè)二階等差數(shù)列（數(shù)列中相鄰兩項(xiàng)之差為等差數(shù)列），可以猜想其通項(xiàng)公式為所以堆垛的各層為三角形數(shù)，即

點(diǎn)評(píng)：先推理得到壘成正四面體堆垛的小球的大小相同，因此各層的小球一定構(gòu)成等邊三角形，把這樣的各層小球堆垛起來(lái)，就構(gòu)成了一個(gè)個(gè)的正四面體.利用分解或組合的方法把一些看似無(wú)規(guī)律無(wú)目標(biāo)的問(wèn)題變得有規(guī)律可循，把陌生的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為熟悉的數(shù)學(xué)模型，化不可解、難解問(wèn)題為可解、易解的問(wèn)題.

5.借助《概率統(tǒng)計(jì)》中的相關(guān)知識(shí)，將邏輯推理過(guò)程中隱性思維實(shí)際化

例6 將1，2，3，…，9這9個(gè)數(shù)字填在如圖5的9個(gè)空格中，要求每一行從左到右，每一列從上到下分別依次增大.當(dāng)3，4固定在圖中的位置時(shí)，填寫空格的方法為（ ）.

圖5

A.6種 B.12種 C.18種 D.24種

解：因?yàn)槊恳恍袕淖蟮接遥恳涣袕纳系较路謩e依次增大，1、2、9只有一種填法，5只能填在右上角或左下角，5填好后與之相鄰的空格可填6、7、8任一個(gè)，余下兩個(gè)數(shù)字按從小到大只有一種方法.共有2×3=6種結(jié)果.故選A.

點(diǎn)評(píng)：根據(jù)題意，首先推理得出1、2、9是唯一的，然后推理出5只能填在右上角或左下角，再對(duì)其進(jìn)行分類討論，繼續(xù)推理出6、7、8的填法.

例7 某老師抄錄了一個(gè)隨機(jī)變量ξ的概率分布列如下：

ξ 1 3 5 P？！？

請(qǐng)甲同學(xué)計(jì)算ξ的數(shù)學(xué)期望，盡管“！”處無(wú)法看清，且兩個(gè)“？”處字跡模糊，但能斷定這兩個(gè)“？”處的數(shù)值相同，據(jù)此，該同學(xué)給出了正確答案Eξ=______.

解：假設(shè)“？”處的數(shù)值為x，“！”處的數(shù)值為y，則2x+y=1，Eξ=x+3y+5x=3（2x+y）=3.

6.借助《函數(shù)與導(dǎo)數(shù)》中的演繹推理，將邏輯推理過(guò)程中隱性思維直觀化

解：作出函數(shù)y=f（x）的圖像，由y=f（x）的圖像知，如圖6，要 使 f2（x）-（2m+1）f（x）+m2-2m-3=0有6個(gè)不同的解，設(shè)t=f（x），則上述方程可化為t2-（2m+1）t+m2-2m-3=0， ①

圖6

即該方程有兩個(gè)不同的根t1，t2，不妨設(shè)t1＜t2，且

設(shè)g（t）=t2-（2m+1）t+m2-2m-3，

當(dāng)m=1時(shí)，方程①為t2-3t-4=0，解得兩根為-1或4，不合題意，舍去；

當(dāng)m=9時(shí)，方程①為t2-19t+60=0，解得兩根為15或4，不合題意，舍去.

無(wú)解.

當(dāng)m=-1時(shí)，方程①為t2+t=0，解得兩根為-1或0，不合題意，舍去；

當(dāng)m=3時(shí)，方程①為t2-7t=0，解得兩根為0或7，不合題意，舍去.

點(diǎn)評(píng)：本題屬于復(fù)合函數(shù)的零點(diǎn)問(wèn)題，首先將問(wèn)題轉(zhuǎn)化成含參數(shù)一元二次方程的根的個(gè)數(shù)問(wèn)題，再將問(wèn)題t

1＜4＜t2，這些問(wèn)題的轉(zhuǎn)化過(guò)程都涉及了邏輯推理.

二、培養(yǎng)學(xué)生邏輯推理素養(yǎng)的途徑

數(shù)學(xué)具有嚴(yán)密的邏輯性，邏輯推理素養(yǎng)是學(xué)生必須具備的六大核心素養(yǎng)之一，也是新一輪課程改革要求的，那么在教學(xué)中如何培養(yǎng)學(xué)生的邏輯推理素養(yǎng)呢？

1.重視數(shù)學(xué)基本概念、基本方法和基本原理的教學(xué)

數(shù)學(xué)知識(shí)中的基本概念、基本方法和基本原理是數(shù)學(xué)教學(xué)的核心內(nèi)容，掌握基本概念、基本方法和基本原理是進(jìn)一步認(rèn)識(shí)新事物，解決新問(wèn)題的重要條件.要認(rèn)識(shí)新事物，解決新問(wèn)題，只能從已有的知識(shí)出發(fā)，一步步進(jìn)行分析、判斷、推理、重組等一系列思維活動(dòng)，找出規(guī)律.同時(shí)，我們必須掌握邏輯的同一律、矛盾律、排中律等基本規(guī)律，明確不能偷換概念和論題，明白論斷不能自相矛盾，在同一關(guān)系下對(duì)同一對(duì)象互相矛盾的判斷至少有一個(gè)是錯(cuò)誤的；論斷不能含糊其詞，模棱兩可，在同一關(guān)系下，對(duì)同一對(duì)象的判斷或者肯定或者否定，不能有第三種情況成立.

2.養(yǎng)成多角度認(rèn)識(shí)問(wèn)題和事物，做到言必有據(jù)的習(xí)慣

邏輯推理是在把握了事物與事物之間的內(nèi)在的必然聯(lián)系的基礎(chǔ)上展開(kāi)的.所以，養(yǎng)成從多角度認(rèn)識(shí)問(wèn)題和事物的習(xí)慣，全面地認(rèn)識(shí)事物的內(nèi)部與外部之間、某事物同他事物之間的多種多樣的聯(lián)系，對(duì)邏輯推理素養(yǎng)的提高是十分必要的.首先，要學(xué)會(huì)將相同的事物進(jìn)行比較，找出其中在某個(gè)方面的不同之處，將相同的事物區(qū)別開(kāi)來(lái)，即“同中求異”；其次，要學(xué)會(huì)對(duì)不同的事物進(jìn)行比較，找出其中在某個(gè)方面的相同之處，將不同的事物歸納起來(lái)，即“異中求同”；最后，還要做到言必有據(jù)，步步有據(jù)，不憑空臆測(cè)，不妄加推測(cè).

3.豐富的想象力是邏輯推理成功的關(guān)鍵

沒(méi)有想象，就沒(méi)有新事物的誕生，想象對(duì)提高邏輯推理素養(yǎng)有極大的促進(jìn)作用.首先，必須豐富自己的想象素材，擴(kuò)大自己的知識(shí)面.知識(shí)基礎(chǔ)越扎實(shí)，知識(shí)面越寬，想象力就越豐富.其次，要經(jīng)常對(duì)知識(shí)進(jìn)行形象加工，形成正確表象.知識(shí)是構(gòu)成想象的基礎(chǔ)，如果不能養(yǎng)成對(duì)知識(shí)進(jìn)行形象加工，形成正確表象的習(xí)慣，知識(shí)再多，也只是簡(jiǎn)單的堆積.最后，應(yīng)該豐富語(yǔ)言.想象依賴于語(yǔ)言，依賴于對(duì)形成新的表象的描述，因此，語(yǔ)言能力的好壞直接影響想象力的發(fā)展.