一道函數(shù)試題的多解剖析

☉江蘇省宜興第一中學(xué) 邵麗霞

例 （2018屆江蘇省南通、揚州、泰州、淮安、徐州、宿遷二模·14）已知a為常數(shù)，函數(shù)，則a的所有值為______.

分析：本題的問題背景是給出函數(shù)f（x）的最小值，進而確定相應(yīng)參數(shù)的所有取值，當(dāng)中隱含著函數(shù)的基本性質(zhì)（奇偶性、最值等），而如何根據(jù)條件切入、采用哪種方法與知識點來確定函數(shù)的最值點是解決問題的關(guān)鍵，也是不同種解法的主要依據(jù).

思路分析1：由題意可得函數(shù)（fx）為奇函數(shù)，通過對函數(shù)（fx）求導(dǎo)，結(jié)合導(dǎo)函數(shù)為零得到，根據(jù)題目條件確定a＞0，進而由f（′x）＞0可得（a-1）［a-（a+1）x2］＞0，通過對參數(shù)a分0＜a＜1與a＞1進行分類討論，根據(jù)函數(shù)對應(yīng)定義域下的單調(diào)性與單調(diào)區(qū)來確定最值，進而求解參數(shù)的取值.

解法1（導(dǎo)數(shù)法1）：由題意知，函數(shù)（fx）為奇函數(shù)，對其求導(dǎo)得

那么由f′（x）＞0可得（a-1）［a-（a+1）x2］＞0.

（2）當(dāng)a＞1時，函數(shù)f（x）的定義域為［-1，1］，

思路分析2：通過對函數(shù)f（x）求導(dǎo)，結(jié)合導(dǎo)函數(shù)為零確定函數(shù)的極值，亦即最值，從而建立相應(yīng)的方程，進而結(jié)合方程的求解來確定參數(shù)的所有值問題.只是求導(dǎo)較為煩瑣，運算要細(xì)心.

解法2（導(dǎo)數(shù)法2）：對函數(shù)f（x）求導(dǎo)可得

思路分析3：通過對函數(shù)f（x）奇偶性的判定，結(jié)合奇函數(shù)的性質(zhì)確定最值范圍，通過對函數(shù)f（x）求導(dǎo)，結(jié)合導(dǎo)函數(shù)為零確定函數(shù)的極值，亦即最值，從而建立相應(yīng)的方程，進而結(jié)合方程的求解來確定參數(shù)的所有值問題.

解法3（導(dǎo)數(shù)法3）：由于f（x）為奇函數(shù)，

思路分析4：通過對函數(shù)f（x）奇偶性的判定，結(jié)合奇函數(shù)的性質(zhì)確定最值范圍，利用平面向量的構(gòu)造，結(jié)合數(shù)量積的性質(zhì)建立相應(yīng)的不等式，利用不等式的性質(zhì)確定函數(shù)取最值時等號成立的條件，結(jié)合方程的求解來確定參數(shù)的所有值問題.

解法4（平面向量數(shù)量積法）：由于f（x）為奇函數(shù)，

思路分析5：通過對函數(shù)f（x）奇偶性的判定，結(jié)合奇函數(shù)的性質(zhì)確定最值范圍，利用柯西不等式及不等式的性質(zhì)確定函數(shù)取最值時等號成立的條件，結(jié)合方程的求解來確定參數(shù)的所有值問題.

解法5（柯西不等式法）：由于f（x）為奇函數(shù)，

思路分析6：通過對函數(shù)f（x）奇偶性的判定，結(jié)合奇函數(shù)的性質(zhì)確定最值范圍，利用三角形的構(gòu)造，通過三角形面積公式的轉(zhuǎn)化，結(jié)合三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)來確定函數(shù)取最值時等號成立的條件，結(jié)合方程的求解來確定參數(shù)的所有值問題.

解法6（三角形面積法）：由于f（x）為奇函數(shù)，

圖1

分析：解法1、2、3利用導(dǎo)數(shù)法來處理，是解決函數(shù)最值問題中最常見的思維方式，只是解法1結(jié)合參數(shù)加以分類討論，過程煩瑣，操作起來比較繁雜；而解法2直接求解；解法3先探討函數(shù)的性質(zhì)后再求導(dǎo)，總的來說，求導(dǎo)過程比較復(fù)雜，運算量比較大；解法4中根據(jù)函數(shù)解析式的特點，通過平面向量的構(gòu)造并結(jié)合數(shù)量積的性質(zhì)，使問題得以轉(zhuǎn)化和解決；解法5中也是根據(jù)函數(shù)解析式的特點，從柯西不等式的角度入手，同樣可以達到解決問題的目的；解法6構(gòu)造巧妙，利用三角形面積公式并結(jié)合三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)來確定最值，構(gòu)造直觀，只是不容易想到.

通過深入觀察，多向思維，巧妙拓展，看似平常的一道函數(shù)的最值問題，卻獨具匠心，可以從不同角度、不同方式加以切入，多知識點交匯與融合，充分體現(xiàn)命題者“以能力為主”、“在知識網(wǎng)絡(luò)的交匯點處設(shè)計試題”的命題本色，以平常心考查能力與數(shù)學(xué)素養(yǎng).H