高考數(shù)學(xué)文化類試題的幾種類型

☉四川內(nèi)江師范學(xué)院數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院 潘 超

☉新疆阿克蘇地區(qū)新和縣塔什艾日克鄉(xiāng)中學(xué) 毛鐘燕

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版）》的課程性質(zhì)、基本理念、課程目標(biāo)、課程結(jié)構(gòu)、實施建議等模塊中對“數(shù)學(xué)文化”都有明確的要求，強(qiáng)調(diào)要將數(shù)學(xué)文化融入課程內(nèi)容和數(shù)學(xué)教學(xué)活動.通過在數(shù)學(xué)教育中滲透數(shù)學(xué)文化，讓學(xué)生了解數(shù)學(xué)的發(fā)展歷程，認(rèn)識數(shù)學(xué)在科學(xué)技術(shù)、社會發(fā)展中的作用，引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)識和感悟文化價值，樹立文化自信、提升人文素養(yǎng)以及數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).為了更好的展現(xiàn)數(shù)學(xué)的科學(xué)價值和人文價值，數(shù)學(xué)文化類試題將作為一類重要的題型出現(xiàn)在考生面前.高中數(shù)學(xué)教師在平常教學(xué)中應(yīng)該重視數(shù)學(xué)文化的滲透教育，同時，高中生對數(shù)學(xué)文化類試題要有足夠認(rèn)識，才能掌握正確的應(yīng)對策略.為此，有必要對滲透數(shù)學(xué)文化的高考試題進(jìn)行研究、整理.

一、數(shù)學(xué)文化類試題的基本認(rèn)識

數(shù)學(xué)文化是指數(shù)學(xué)的思想、精神、方法、觀點，以及它們的形成和發(fā)展；廣泛地說，除了上述內(nèi)涵外，還包含數(shù)學(xué)家、數(shù)學(xué)史、數(shù)學(xué)美、數(shù)學(xué)教育，數(shù)學(xué)發(fā)展中的人文成分，數(shù)學(xué)與社會的聯(lián)系和數(shù)學(xué)與各種文化的關(guān)系，等等.基于上述數(shù)學(xué)文化的內(nèi)涵，我們認(rèn)為數(shù)學(xué)文化類試題即指包含數(shù)學(xué)的思想、精神、方法、觀點的數(shù)學(xué)史料或有關(guān)數(shù)學(xué)知識的發(fā)生發(fā)展過程的數(shù)學(xué)試題，簡稱為文化類試題.根據(jù)數(shù)學(xué)文化類試題的描述，可以知道它與其他數(shù)學(xué)試題有所不同，具有如下特點：

（1）人文性：試題中包含一些數(shù)學(xué)史事件、數(shù)學(xué)名著、數(shù)學(xué)猜想或數(shù)學(xué)家的故事等富有文化韻味的史料，增強(qiáng)試題的文化內(nèi)涵，在一定程度上傳播了數(shù)學(xué)文化.

（2）趣味性：試題中蘊含的豐富的文化背景，可以提高學(xué)生的好奇心，在一定程度上激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識和研究數(shù)學(xué)文化的興趣.

（3）思想性：試題中包含的數(shù)學(xué)史料和融入部分?jǐn)?shù)學(xué)知識的發(fā)展過程，充分展示了解決問題的思想方法，啟發(fā)學(xué)生思維，較好的傳播數(shù)學(xué)的思想和方法.

（4）創(chuàng)新性：試題中利用古代實際問題和著名算法與高中數(shù)學(xué)知識內(nèi)容相互結(jié)合，實現(xiàn)舊法新用，增強(qiáng)數(shù)學(xué)文化的應(yīng)用性，為問題的呈現(xiàn)、問題的解決提供新的視角.

（5）綜合性：試題中利用充滿文化韻味的背景材料將數(shù)學(xué)知識、方法和思想相融合，幫助學(xué)生了解多方面的數(shù)學(xué)內(nèi)容，促進(jìn)學(xué)生閱讀理解、創(chuàng)新思維、問題探究、推廣應(yīng)用等綜合能力的發(fā)展，實現(xiàn)更有效的教與學(xué).

二、高考數(shù)學(xué)中的數(shù)學(xué)文化類試題的類型

1.“點綴式”試題

在某些試題的前面有一些具有明顯數(shù)學(xué)史料特征的閱讀材料，比如：數(shù)學(xué)家，數(shù)學(xué)名著和數(shù)學(xué)事件等背景，起到為試題本身創(chuàng)設(shè)獨特的情景的作用.我們把這類數(shù)學(xué)文化類試題歸類于點綴式.

例1 （2015年高考湖北理科第19題第1問）在《九章算術(shù)》中，將底面為長方形且有一條側(cè)棱與底面垂直的四棱錐稱之為陽馬，將四個面都為直角三角形的四面體稱之為鱉臑.如圖1，在陽馬PABCD中，側(cè)棱PD⊥底面ABCD，且PD=CD.過棱PC的中點E作EF⊥PB交PB于點F，連接DE，DF，BD，BE.證明：PB⊥平面DEF.試判斷四面體DBEF是否為鱉臑，若是，寫出其每個面的直角；若不是，說明理由.

解析：因為PD⊥底面ABCD，所以PD⊥BC.因為底面ABCD為長方形，有BC⊥CD，而PD與CD相交于點D，所以BC⊥面PCD.而DE?面PCD，所以BC⊥DE.因為PD=CD，點E是PC的中點，所以在等腰直角三角形PDC中有DE⊥PC.而PC與BC相交于點C，所以DE⊥面PBC.因為PB?面PBC，所以PB⊥DE.又因為PB⊥EF，DE與EF相交于點E，所以PB⊥面DEF.由DE⊥面PBC，PB⊥面DEF可知，四面體DBEF的四個面都是直角三角形，即四面體DBEF是一個鱉臑，其四個面的直角分別為∠DEB，∠DEF，∠EFB，∠DFB.

本題采用一般幾何方法求解，此外，還可以建立直角坐標(biāo)系，以向量為工具用解析法證明（略）.

圖1 陽馬

評注：在例1中提到的陽馬和鱉臑取自于 《九章算術(shù)》商功卷.命題者將《九章算術(shù)》與立體幾何結(jié)合，利用陽馬和鱉臑兩錐體的定義，考查線線垂直與線面垂直的轉(zhuǎn)化.對于這道試題我們可以拋去一些修飾成分的內(nèi)容，抓住兩錐體的定義的本質(zhì)，即判斷四面體BDEF的四個面是否是直角三角形.所以在解決“點綴式”試題的時候，我們可以借鑒處理新定義題的經(jīng)驗，對于審題和解答沒有任何影響的“新名詞”可以不用深究，抓住問題本質(zhì)，學(xué)會對信息進(jìn)行學(xué)習(xí)和遷移.

2.“復(fù)制式”試題

在高考題中，有一些為直接選取數(shù)學(xué)名題和數(shù)學(xué)名著中關(guān)于數(shù)學(xué)經(jīng)典的問題、解法、證法等的原文，比如：《九章算術(shù)》便成為高考題中的常選項.我們將這類數(shù)學(xué)文化試題稱為復(fù)制式試題.

例2（2013年高考湖北文科卷第16題）我國古代數(shù)學(xué)名著《數(shù)書九章》中有“天池盆測雨”題：在下雨時，用一個圓臺形的天池盆接雨水，天池盆盆口直徑為二尺八寸，盆底直徑為一尺二寸，盆深一尺八寸.若盆中積水深九寸，則平地降雨量是______寸.（注：①平地降雨量等于盆中積水體積除以盆口面積；②一尺等于十寸）

解析：天池盆的幾何形狀是一圓臺，該圓臺過軸線的截面如圖2所示.

圖2 圓臺過軸線的截面

由圖2可知，水深九寸，正好是盆深的一半，即盆中水面直徑正好是上圖梯形的中位線，因此，故盆中水面直徑為20寸.設(shè)該圓臺體積為：V=πh（R2+r2+Rr），其中R表示下底半徑，r表示上底半徑，h表示梯形的高，計算得V=588π，故平地降雨量為

評注：本題以中國數(shù)學(xué)史料為素材，對于題中數(shù)據(jù)進(jìn)行說明，讓試題回到考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化思想和對圓臺體積公式的掌握上，在一定程度上凸顯數(shù)學(xué)的實際應(yīng)用價值.通過對《數(shù)書九章》中的“天池盆測雨”描述的理解提煉出圖形，讓試題的解答側(cè)重在對圓臺體積的計算方面.

圖3 米堆

例3（2015年高考全國卷1第6題）《九章算術(shù)》是我國古代內(nèi)容極為豐富的數(shù)學(xué)名著，書中有如下問題：“今有委米依垣內(nèi)角，下周八尺，高五尺.問：積及為米幾何？”其意思為：“在屋內(nèi)墻角處堆放米（如圖3所示，米堆為一個圓錐的四分之一），米堆底部的弧長為8尺，米堆的高為5尺，問米堆的體積和堆放的米各為多少？”已知1斛米的體積約為1.62立方尺，圓周率約為3，估算出堆放的米約有（ ）.

（A）14斛 （B）22斛 （C）36斛 （D）66斛

故選B.

評注：該題采用《九章算術(shù)》第五章“商功”中關(guān)于生活生產(chǎn)中谷物儲存的問題為背景，通過對文獻(xiàn)原文進(jìn)行簡單的翻譯，保留一些舊制度量單位，降低學(xué)生對題目理解的難度.這樣的設(shè)計不僅考查學(xué)生對圓錐體積公式的掌握和單位的轉(zhuǎn)換，而且讓學(xué)生體會到數(shù)學(xué)要關(guān)注生產(chǎn)、生活等社會問題.這些都體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的文化內(nèi)涵.

例4（2011年高考湖北理科卷第13題）《九章算術(shù)》“竹九節(jié)”問題：現(xiàn)有一根9節(jié)的竹子，自上而下各節(jié)的容積成等差數(shù)列，上面4節(jié)的容積共3升，下面3節(jié)的容積共4升，則第5節(jié)的容積______升.

評注：本題借用《九章算術(shù)》中的“竹九節(jié)"問題，考查了學(xué)生對等差數(shù)列的通項公式和數(shù)列前n項和公式的掌握程度.因此，我們在解題時可拋去題目中的背景，抓住具體的數(shù)列，靈活運用公式，解決問題.

通過上述三個例題的分析，發(fā)現(xiàn)“復(fù)制式”類試題的題目中會有一些古文或者是一些不常見的度量詞，但通過命題者對試題的處理，這些并不會影響學(xué)生對題意的把握.因此在解答這類試題時可以先看清楚問題，將問題作為突破口抓住解題線索，解決問題.

3.“內(nèi)隱式”試題

在數(shù)學(xué)文化類試題中隱含著某個數(shù)學(xué)名題、數(shù)學(xué)猜想、數(shù)學(xué)結(jié)論、數(shù)學(xué)事件等內(nèi)容，這只能在解題過程中不斷的挖掘出來.因此我們把這類數(shù)學(xué)文化試題稱為內(nèi)隱式試題.

例5 （2015年高考湖北理科卷第14題）如圖4所示，圓C與x軸相切于點T（1，0），與y軸正半軸交于兩點A，B（B在A的上方），且|AB|=2.

（Ⅰ）圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為______.

圖4

（Ⅱ）過點A任作一條直線與圓O：x2+y2=1相交于M，N兩點，下列三個結(jié)論：①

其中正確結(jié)論的序號是______（寫出所有正確結(jié)論的序號）.

解析：（Ⅰ）圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為：（x-1）2+（y-）2=2.

（Ⅱ）正確結(jié)論的序號是①②③.

評注：本題在考查命題的真假判斷與應(yīng)用和圓與圓的位置關(guān)系及其判定等知識的同時，隱含著著名的阿波羅尼斯圓：平面內(nèi)到兩個定點的距離之比為常數(shù)（大于零且不為1）的點的軌跡為圓.讓學(xué)生在解題中感受阿波羅尼斯圓的魅力.

通過對上述例題的分析，體會“內(nèi)隱式”類試題中所包含的數(shù)學(xué)文化并非直接展示在題面上，往往隱藏在題意中，不會額外增加試題的難度，只是讓學(xué)生在一步一步分析題意中，領(lǐng)略數(shù)學(xué)文化的魅力，傳播數(shù)學(xué)文化.

4.“改編式”試題

在數(shù)學(xué)文化類試題中，利用一些有趣的數(shù)學(xué)史料、數(shù)學(xué)名題等與高考所涉及的相關(guān)數(shù)學(xué)知識相互融合，進(jìn)行合理的改編.將數(shù)學(xué)經(jīng)典的問題添加上當(dāng)代數(shù)學(xué)的記號，為試題創(chuàng)設(shè)適當(dāng)?shù)那榫埃蛊涓玫剡_(dá)到考查目的.我們把這類數(shù)學(xué)文化試題歸類于改編式試題.

例6（2016年高考四川文科卷第8題）秦九韶是我國南宋時期的數(shù)學(xué)家，普州（現(xiàn)四川省安岳縣）人，他在所著的《數(shù)書九章》中提出的多項式求值的秦九韶算法，至今仍是比較先進(jìn)的算法.如圖5所示的程序框圖給出了利用秦九韶算法求多項式值的一個實例，若輸入n，x的值分別為3，2，則輸出v的值為（ ）.

（A）35 （B）20

（C）18 （D）9

圖5 秦久韶算法框圖

解析：通過將初始值n=3，x=2的代入程序框圖中，判斷“i≥0”是否成立來運行程序，最后當(dāng)i=-1輸出結(jié)果v=18.故選C.

評注：本題將著名的秦久韶算法融入程序框圖中，在傳播秦久韶算法的同時，考查學(xué)生對程序框圖的把握，彰顯了《數(shù)書九章》中提出的多項式求值算法的先進(jìn)性.而且在2016年的全國卷2文理科和四川理科卷也將著名秦九韶算法融入到程序框圖中考查，可以看出大家對這種考查方式的喜愛.

例7 （2009年高考湖北理科卷第15題）已知數(shù)列{an}滿足：a1=m（m為正整數(shù)），

若a6=1，則m所有可能的取值為______.

解析：m所有可能的取值有：32，5，4.

評注：該題以“角谷猜想”與數(shù)列推導(dǎo)公式相融合考查學(xué)生的推導(dǎo)能力，同時讓學(xué)生感受到“角谷猜想”中無論初始值有多大的誤差，最后都能自行恢復(fù)的奇妙，體現(xiàn)數(shù)學(xué)的美妙之處.

例8 （2011年高考湖北理科卷第15題）n個自上而下相連的正方形著黑色或白色.當(dāng)n≤4時，在所有不同的著色方案中，黑色正方形互不相鄰的著色方案如圖6所示：

圖6 黑色正方形互不相鄰的著色方案

由此推斷，當(dāng)n=6時，黑色正方形互不相鄰的著色方案共有______種，至少有兩個黑色正方形相鄰的著色方案共有______種.（結(jié)果用數(shù)值表示）

解析：設(shè)n個黑色正方形互不相鄰的著色方案數(shù)為an，由圖6可知a1=2，a2=3，a3=5，a4=8.則有a3=a1+a2，a4=a2+a3.由此推斷a5=a3+a4=5+8=13，a6=a4+a5=8+13=21.故黑色正方形互不相鄰的著色方案共有21種；因為每個正方形著黑色或白色有2種方法，所以6個正方形一共有26=64種方法，至少有兩個黑色正方形相鄰的著色方案共有64-21=43（種）著色方案，故分別填21，43.

評注：本題在斐波那契數(shù)列的基礎(chǔ)上，以圖形為依托與排列組合相融合，學(xué)生通過對圖形的把握，總結(jié)規(guī)律解決問題.這種設(shè)計既考查排列組合知識，又考查學(xué)生的歸納猜想能力和合情推理意識.

通過對上述例題的分析，從命題的角度看，這些試題是基于數(shù)學(xué)文化，將經(jīng)典數(shù)學(xué)問題或解法與高考數(shù)學(xué)考點相結(jié)合改編，使試題在考查數(shù)學(xué)知識的同時被添加了一層歷史的色彩.因此在解決這類試題時要學(xué)會分析整合試題中出現(xiàn)的數(shù)學(xué)文化知識，做到知識的遷移運用，透過表面現(xiàn)象去洞察問題的實質(zhì).

5.“復(fù)合式”試題

數(shù)學(xué)文化類試題的類型除了以上“點綴式”“復(fù)制式”“內(nèi)隱式”“改編式”外，還有“附加式”“順應(yīng)式”等方式，這些方式在表現(xiàn)形式上是較為單一的.事實上，當(dāng)數(shù)學(xué)文化不再是以單一的方式而是通過多種方式融入到試題中時，我們可以將這類數(shù)學(xué)文化類試題歸類于“復(fù)合式”.

例9（2009年高考湖北理科卷第10題）古希臘人常用小石子在沙灘上擺成各種形狀來研究數(shù).比如他們研究過圖7中的1，3，6，10，…由于這些數(shù)能夠表示成三角形，將其稱為三角形數(shù)；類似的，稱圖8中的1，4，9，16，…這樣的數(shù)為正方形數(shù).下列數(shù)中既是三角形數(shù)又是正方形數(shù)的是（ ）.

（A）289 （B）1024 （C）1225 （D）1378

圖7 三角形數(shù)圖

圖8 正方形數(shù)圖

評注：本題以古希臘畢達(dá)哥拉斯學(xué)派研究的多邊形數(shù)為試題的文化背景，通過與數(shù)列的結(jié)合進(jìn)行改編，考查了學(xué)生對多邊形數(shù)的了解和歸納推理的能力，而且題目中也暗含了古希臘的阿基米德的群牛問題.此外，由本題的三角形數(shù)還可以延伸到對四角形數(shù)、五角形數(shù)和六角形數(shù)等的研究.因此本題在多方面的考查學(xué)生的知識和能力的同時還蘊藏著深厚的數(shù)學(xué)文化.

三、基于“數(shù)學(xué)文化類”試題的教學(xué)要求和應(yīng)對策略

1.教師教學(xué)要求

作為數(shù)學(xué)教師我們要努力提升自身的數(shù)學(xué)文化素養(yǎng)，重視數(shù)學(xué)文化類試題的研究.因此，教師要多學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)文化的研究論著和數(shù)學(xué)經(jīng)典名著，挖掘其中可以運用到課堂教學(xué)中的相關(guān)數(shù)學(xué)文化知識，數(shù)學(xué)文化精神等，能夠體會到數(shù)學(xué)的美，明白數(shù)學(xué)并不只是計算的工具，它除了理性精神、科學(xué)精神外，還含有豐富的人文精神.教師要了解材料背后的教學(xué)價值，全面提升自己的文化素養(yǎng)，這樣才能更好地引導(dǎo)學(xué)生挖掘試題中的數(shù)學(xué)文化，有效地解決數(shù)學(xué)文化類試題，傳播數(shù)學(xué)文化.

將數(shù)學(xué)文化類試題融入教學(xué)，不僅可以消除學(xué)生對該類試題的陌生感，而且可以幫助學(xué)生更好地了解數(shù)學(xué)文化，同時領(lǐng)略數(shù)學(xué)方法、思想和精神的魅力.此外，為了使數(shù)學(xué)文化更深入課堂，教師也可以有意開發(fā)教材資源，探究歷史名題，創(chuàng)設(shè)經(jīng)典游戲情境，開拓學(xué)生視野，加深對數(shù)學(xué)學(xué)科歷史和本質(zhì)的認(rèn)識，從而實現(xiàn)數(shù)學(xué)文化浸潤.或者在講解定義、定理和公式時可以借助數(shù)學(xué)文化幫助學(xué)生理解，提高學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，突破教學(xué)難點.也可以結(jié)合學(xué)生的實際情況，選取難度適中的內(nèi)容圍繞數(shù)學(xué)文化展開微型探究.比如，教師可以選取一些數(shù)學(xué)名題引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)所呈現(xiàn)出來的美，使學(xué)生在邏輯算術(shù)的熏陶中獲得一種深層的理性文化素養(yǎng).

2.考生應(yīng)對策略

通過對高考中的數(shù)學(xué)文化類試題的分析，可以發(fā)現(xiàn)文化類試題在高考中越來越被重視，而且不同分類下的數(shù)學(xué)文化類試題的處理方法有所不同.對于“點綴式”試題，我們可以將對解答沒有任何影響的“新名詞”舍去，不用刻意糾結(jié)題中出現(xiàn)的數(shù)學(xué)文化背景，抓住本質(zhì)解決問題；對于“復(fù)制式”試題，我們可以先看問題，將問題作為突破口來理解題意，這樣會更容易抓住線索解決問題；對于“內(nèi)隱式”試題，我們可以在解題中體會其中暗含的文化底蘊，明確解題思路，有效地解決問題；對于“改編式”試題，我們要了解其中的文化背景，學(xué)會知識的遷移運用，冷靜地透過表面現(xiàn)象去洞察問題的實質(zhì)；對于“復(fù)合式”試題，我們要挖掘出題中暗含的文化背景，根據(jù)問題得出隱含的條件，從而幫助解決問題，這需要將數(shù)學(xué)文化與多方面能力進(jìn)行結(jié)合.