用好特殊點，巧解雙曲線

☉江蘇省鎮江市實驗高級中學 張 強

縱觀近年高考數學試卷中的選擇題和填空題，圓錐曲線中雙曲線的題目出現的頻率非常高，亮點也頗多.處理好此類問題，除了熟練掌握雙曲線的定義、方程與幾何性質外，還要結合題目中的已知條件，準確用好題中對應的特殊點，從而避免走彎路，以達到快速、有效、準確解題的目的.

一、參數值的求解

分析：常規方法是設出點P的坐標，確定直線APB的方程，結合雙曲線C的兩條漸近線方程得到點A、B的坐標，根據平面向量的線性關系以及三角形的面積公式確定參數的關系式，再與雙曲線方程相結合來確定參數a的值.參數眾多，計算量大，繁雜無序.而通過特殊點的選取，直接利用平面向量的線性關系確定A點、B點對應坐標的關系，結合三角形的面積公式進而得以求解，再利用線性關系所對應的坐標關系來求解相應的參數a的值，處理簡單，目標明確.

解析：由于點P是雙曲線C右支上的任意一點，取其特殊點P位于雙曲線C的右頂點處，

點評：對于變化不定的坐標關系問題，通過特殊點的選取，使得對應坐標關系更為清晰，從而方便構造之間的數量關系，簡化運算，從而使得求解過程更為明確，處理方式更為簡單巧妙，同時又簡化運算，提高效率.

二、線段長度的求值

例2 已知O為坐標原點，設F1、F2分別是雙曲線E：的左、右焦點，點P為雙曲線E的左支上任意一點，自點F1作∠F1PF2的平分線的垂線，垂足為H，則|OH|=（ ）.

（A）a （B）b （C）2a （D）2b

分析：常規方法是確定點P的位置，連接PF1、PF2，延長F1H交PF2于點Q，結合角平行線的性質以及雙曲線的定義得到|QF2|=2a，再結合中位線定理即可得到|OH|的值，利用雙曲線的定義來處理，要求必須數形結合，并借助平面幾何的相關知識來處理，技巧性要求高.而通過特殊點的選取，淡化雙曲線的相關定義與幾何性質，簡化運算，可以更為有效快捷的處理與解決問題.

解析：由于點P是雙曲線E的左支上任意一點，取其特殊點P位于雙曲線E的左頂點處，此時F1、P、F2三點都在x軸上，那么∠F1PF2為平角，則自點F1作∠F1PF2的平分線的垂線，垂足為H，此時垂線為x=-a，P、H重合，可得|OH|=a.故選A.

點評：對于變化不定的點的位置問題，通過特殊點的選取，使得圓錐曲線問題平面幾何化，處理起來更為直觀快捷，從而降低對雙曲線定義、平面幾何綜合知識的熟練掌握與應用的要求，使一般問題特殊化，運算起來更為快捷方便，而且不失一般性.

三、數量積的轉化

（A）a2（B）b2（C）2ab （D）a2+b2

分析：常規方法是設出點P的坐標，結合雙曲線C的兩條漸近線方程得到點R、Q的坐標，結合平面向量的坐標運算與數量積來化簡、判斷.而通過特殊點的選取，巧妙化簡，進而更加快捷的確定相應的答案.

解析：由于點P是雙曲線C上的任意一點，取其特殊點P位于雙曲線的頂點處，此時直線PQ與x軸重合（R、Q與坐標原點O重合），

點評：對于變化不定的平面向量問題，通過特殊點的選取，使一般問題特殊化，使得直線與圓錐曲線的位置關系、平面向量的數量積的運算問題更為簡單，運算起來更為快捷方便，而且不失一般性.特殊點處理，巧妙化解決.

四、幾何圖形的處理

分析：常規方法是設出點P的坐標，進而確定直線PR的方程，聯立直線方程求得點R的坐標，再結合點到直線的距離公式求得點P到直線OR的距離，代入四邊形面積公式來求解.而通過特殊點的選取，巧妙轉化平行四邊形PQOR為菱形，利用漸近線的斜率確定底邊OP所對應的高，進而結合三角形的面積公式來求解，更為快捷簡單.

解析：由于點P是雙曲線C右支上的任意一點，取其特殊點P位于雙曲線C的右頂點處，

此時|OP|=a，根據雙曲線C的漸近線方程的性質可知此時平行四邊形PQOR為菱形，

點評：對于變化不定平行四邊形問題，通過特殊點的選取，使得平面圖形簡單化，從而求解起來更為直觀簡單，處理方式更為巧妙，簡化運算，提升效益.涉及平面幾何圖形的求解問題，經常采取此特殊法處理，尋找特殊的線段、三角形、四邊形等特殊圖形來分析與處理，從而使得問題解決起來更直觀有效.

五、取值范圍的確定

分析：先根據雙曲線的定義得到關系式|PF1|=|PF2|+2，通過分類討論，結合極限思維確定點P的特殊位置，確定當PF1⊥PF2時與當F1F2⊥PF2時關系式的最值，數形結合即可得△F1PF2為銳角三角形時關系式|PF1|+|PF2|的取值范圍.

當點P滿足PF1⊥PF2時，此時有|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2，把|PF1|=|PF2|+2代入，整理有|PF2|2+2|PF2|-6=0，解得|PF2|=-1（負值舍去），此時有|PF1|+|PF2|=2；

當點P滿足F1F2⊥PF2時，此時有|PF1|2=|PF2|2+|F1F2|2，把|PF1|=|PF2|+2代入，整理有|PF2|=3，此時有|PF1|+|PF2|=8；

由于△F1PF2為銳角三角形，數形結合可得|PF1|+|PF2|∈（2，8）.

點評：對于變化不定的點的位置問題，通過特殊點的選取，結合直角三角形的性質并結合勾股定理建立相應的關系式，再結合已知定義所得的關系式加以聯立求解，通過極端策略，利用“兩邊夾”來確定對應的取值范圍.這里巧妙應用在極端策略時對應的特殊點的位置處理，可以有效地避開抽象、復雜的運算，獨辟蹊徑，降低解題難度、化簡相關運算、優化解題過程，起到事半功倍的效果.

其實，解析幾何中的基本概念、基本方程、基本公式等都是高考中常考的重要知識點之一，對于考查的選擇題和填空題，有時題目比較容易，有時題目比較難，但都不要輕視，要通過動手、動腦，融會貫通，化一般為特殊來巧妙處理，真正達到“動后熟悉，熟后思考，思后悟理，悟后掌握”的解題效果.H