不斷反思 深度挖掘 觸類旁通
——對一道質檢題的多解剖析

☉江蘇省丹陽高級中學 朱煒俊

著名數學家、教育學家G·波利亞在《怎樣解題》一書中指出：“好題目和某種蘑菇有點相似之處：它們都是成串成長，找到一個以后，我們應該看看，很有可能在很近的地方又能找到更多的.”因而當我們解完一道題以后，要不斷領悟反思，多角度切入進行深度挖掘，從而達到觸類旁通、一題多解的效果.

一、試題展示

（2018年福建省高三畢業班質量檢查測試·16）在平面四邊形ABCD中，AB=1，AC=，BD⊥BC，BD=2BC，則AD的最小值為______.

二、解法研究

分析：本題看似簡單，條件也比較少，但對應的平面四邊形ABCD是不確定的，要確定AD的最小值問題，如何切入才是解決問題的關鍵.

思路方向1：解三角形思維是此類問題中最常見的解題方法，也是考慮問題中首先想到的基本方法.通過對不同三角形中邊角關系的建立，利用三角函數的平方關系加以轉化，通過相應的方程有正數解，結合判別式的求解即可確定對應的最值問題.本解法的運算量以及運算的次冪比較大，運算時要有耐心，認真細致.

解法1（解三角形+函數與方程法）：如圖1，設BC=t，則BD=2BC=2t，設∠ABD=θ，AD=m，

即4-t2=2tsinθ. ①

在△ABD中，由余弦定理可得m2=1+4t2-4tcosθ，

圖1

思路方向2：當涉及到的平面幾何比較難處理時，經常可以考查建系，通過平面直角坐標系的建立，將其轉化為解析幾何問題，這也是解決此類問題中比較常見的一種方法.巧妙建立平面直角坐標系時，把點A放在單位圓上，引入三角參數，結合勾股定理的轉化來求解AD2的關系式，而碰到高次函數的最值問題，自然而然想到利用導數法來確定對應的最值問題.本解法的運算量也比較大，求導時容易出錯，運算要專心細致.

圖2

解法2（建系+導數法）：如圖2，以B為坐標原點，BD、BC所在直線分別為x軸、y軸建立平面直角坐標系xBy，設C（0，a），D（2a，0），A（cosθ，sinθ），其中

結合勾股定理可得5=cos2θ+（a-sinθ）2，

思路方向3：考慮到題目中涉及各種邊長與角度的關系，我們還可以巧妙地引入平面直角坐標系與對應的極坐標系，利用極坐標表示來確定相應的點的坐標，進而確定點C所在的圓A的方程與點D所在的圓F的方程，利用兩圓的方程的求解以及位置關系，通過兩圓內切的位置關系來確定AD的最小值.本解法的思維巧妙，涉及極坐標問題，知識點比較偏.

解法3（極坐標法）：如圖3，以B為坐標原點，AB所在直線為x軸建立平面直角坐標系xBy，而A（-1，0），由于AC=可得點C所在的圓A為：（x+1）2+y2=5，整理為x2+y2+2x=4，

則圓A的極坐標方程為ρ2+2ρcosθ=4，

圖3

代入ρ2+2ρcosθ=4，

整理有σ2+4σsinα=16，

則點D所在的圓F為：x2+y2+4y=16，

即x2+（y+2）2=20，

顯然圓A與圓F相內切，

思路方向4：涉及凸四邊形的對邊、對角線等的關系問題，可考慮利用特殊的幾何定理：托勒密不等式（凸四邊形的兩組對邊乘積和不小于其對角線的乘積，當且僅當四點共圓或共線時等號成立）來處理.處理巧妙，過程簡單快捷.本解法涉及的托勒密不等式不屬于課本知識，所以不易掌握，只是作為一個課外的拓展解法來處理.

解法4（托勒密不等式法）：如圖4，設BD=2BC=2a，設AD=x，

由于BD⊥BC，

圖4

由托勒密不等式（凸四邊形的兩組對邊乘積和不小于其對角線的乘積，當且僅當四點共圓或共線時等號成立）可得AB·CD+AD·BC≥AC·BD，

思路方向5：平面幾何的問題還是采用平面幾何的方法來處理，這是解決問題的一個思維方式.根據題目條件加以巧妙的構造輔助線，通過三角形的相似，并結合相似三角形及三角形的性質來確定最值問題.本解法利用初中知識來解決高中問題，回歸本源.其實，采用初中平面幾何的知識來解決一些高中相應的數學問題，往往可以使得問題的解決更流暢、快捷.

圖5

解法5（旋轉+幾何法）：如圖5，作BE⊥AB，且BE=2AB=2，連接AE、DE，可得

由于BE=2AB，BD=2BC，則知△ABC∽△EBD，

通過從多個不同角度的處理，巧妙地把該題的底蘊充分挖掘出來，從多角度出發，多方面求解，真正實現對數學知識的融會貫通，充分展現知識的交匯與綜合，達到提升能力、拓展應用的目的，進而真正達到在學中“悟”，在“悟”中不斷提升解題技能的目的.正如我國著名數學家蘇步青先生說過：“學習數學要多做習題，邊做邊思索，先知其然，然后知其所以然.”H