創新無處不在，統計成就好題*

☉江蘇省宿遷中學 張滿成

創新問題是培養學生能力、優化學生思維品質的極好素材.數學考綱中明確要求：以數學知識為載體，從具體數學問題的條件入手，用統一的數學觀點來組織材料，把握數學學科的整體意義與數學內涵，側重體現對數學知識的理解、掌握和應用，尤其是對數學綜合知識的靈活應用.同時以此來檢測學生將數學知識遷移到不同知識、生活情境中去的思維與能力，從而檢測出學生的個體理性思維的廣度、深度和維度等，以及進一步學習的潛能，為終身學習提供條件.當然統計知識的創新問題也是高考創新題重點考查的一種類型.

一、抽樣方法中的創新問題

好題1 根據天氣預報，某市在接下來的三天內，每一天降雨的概率估計均為40%.為了估計這三天內恰有兩天降雨的概率，現在采用隨機模擬試驗的方法來處理：先利用計算器產生數字0到9之間取整數值的隨機數，其中，用數字1，2，3，4表示降雨，用數字5，6，7，8，9，0表示不降雨；接著再以每三個隨機數作為一組數據，代表這三天內的降雨情況.經隨機模擬試驗產生了如下的20組的隨機數：

917 966 191 925 271 932 812 458 569 683 431 257 393 027 556 488 730 113 537 989

（1）根據條件估計，這三天中恰有兩天降雨的概率估計為______；

（2）根據條件估計，這三天中至少有一天降雨的概率估計為______.

分析：利用隨機數表的引入，通過對隨機數的分析，結合古典概型的概率公式、對立事件的概率等加以分析與處理.

解析：由題意知，模擬三天中恰有兩天下雨的結果，經隨機模擬產生了如下20組隨機數，

（1）設事件A=“這三天中恰有兩天降雨”，

在20組隨機數中表示三天中恰有兩天降雨的有：191、271、932、812、393，共5組隨機數，

在20組隨機數中表示三天中均不下雨的有：966，569，556，989，共4組隨機數，

故填答案：（1）0.25；（2）0.8.

好題點睛：本題主要考查隨機數表法的應用，古典概型的概率公式與對立事件的概率公式等.此創新問題設置在最簡單的隨機數表上，問題比較簡單，綜合與數據、概率的公式等，加以巧妙設置，達到考查知識與能力的目的.

二、統計圖表中的創新問題

好題2 以下三個圖表，表示的都是某工廠在一到三月的生產產值情況，那么其中圖表______表示的產值最高.

圖（A）

圖（B）

圖（C）

分析：通過統計數表的分析，注意到三個圖表橫、縱坐標的不同意義，不難發現三個圖表在圖形上看雖然是一樣的，但對應表示的產值意義是有很大不同的.

解析：圖（A）中，一月份、二月份、三月份的產值分別為：10萬元，20萬元，30萬元，那么由此可知，前三個月的產值合計是10+20+30=60萬元.

圖（B）中，一月末、二月末、三月末的產值分別為：10萬元，20萬元，30萬元，那么由此可知，二月份的產值是20-10=10萬元，同時對于一月末的產值，不一定是一月份的產值，也可能是從頭一年某個時間起累積的產值，這樣計算下來，前三個月的產值最多也就30萬元.

圖（C）中，一月份、二月份、三月份的增長值分別為：10萬元，20萬元，30萬元，那么可知，在不考慮出現負產值的情況，則一月份的產值至少有10萬元，二月份的產值至少有30萬元，三月份的產值至少有60萬元，由此可見，該圖表表示的產值至少有10+30+60=100萬元.

綜上可知，圖（C）對應的產值最高.故填答案：（C）.

好題點睛：本題主要考查統計的圖表信息與應用.不同的統計圖表所能傳遞的信息會有所不同.有些圖表傳遞的信息可能會比其他圖表傳遞的信息更多，有些圖表所傳遞的信息是一樣，但有的圖表可能會比其他的圖表表示更直觀一些.一方面給我們提供了多種統計圖表的制作方法，另一方面也要求我們在分析理解統計圖表時要進行全面的分析，不僅對圖表中的數值予以足夠的重視，對數值所對應的意義也要認真分析.

三、統計特征數中的創新問題

好題3 已知一組數據x1，x2，x3，…，xn的平均數為x，方差為s2，那么另一組數據ax1+b，ax2+b，ax3+b，…，axn+b，a x+b（a≠0）的平均數為______，方差為______.

分析：先根據已知數據的特征值建立相應的關系式，再結合新數據的特征通過計算加以分析與處理.

解析：設新數據的平均數為x′，方差為s′2，

好題點睛：本題主要考查統計中的數據特征及其應用.新數據中通過增加一個數據，并在新數據的基礎上增加一個倍數并再加上一個相等的數，利用平均數與方差的定義與公式來變式與計算，達到探究與應用的目的.

四、統計綜合中的創新問題

好題4 為了了解學習“中國夢”講話精神的情況，在某單位的一個部門隨機抽取10人進行問卷測評，10人的得分為：（單位：分）5，5，6，6，6，7，7，8，10，10.把這10人的得分看成一個總體.

（1）求該總體的平均數；

（2）用簡單隨機抽樣的方法從這10人中抽取2名，他們的得分組成一個樣本，求該樣本平均數與總體平均數之差的絕對值不超過0.5的概率.

分析：通過對應的數據，結合總體的平均數的計算公式加以運算，并通過古典概型問題中對基本結果的羅列，結合古典概型的概率公式加以應用.

（2）設“樣本平均數與總體平均數之差的絕對值不超過0.5”為事件A，

從總體中用簡單隨機抽樣的方法抽取2個個體的全部可能 的 基 本結果有：（5，5），（5，6），（5，6），（5，6），（5，7），（5，7），（5，8），（5，10），（5，10），…，（10，10），共9+8+7+6+5+4+3+2+1=45個基本結果，

事件A包括的基本結果有：（5，8），（5，10），（5，10），（5，8），（5，10），（5，10），（6，7），（6，7），（6，8），（6，7），（6，7），（6，8），（6，7），（6，7），（6，8），（7，7），（7，8），（7，8），共有18個基本結果，

好題點睛：本題主要考查統計中的數據處理問題，古典概型的概率問題等.通過統計與概率的知識交匯，同時在利用概率公式計算過程中又圍繞統計的相關知識，真正達到兩者有機結合與綜合應用的目的.J