特殊法妙解高考客觀題

☉江蘇省口岸中學(xué) 曹 艷

在解答高考數(shù)學(xué)客觀題中，我們可以結(jié)合一些特殊元素來處理相關(guān)的問題，比如可以選取一些特殊值、特殊函數(shù)、特殊向量、特殊復(fù)數(shù)、特殊圖像（或圖形）等.通過特殊法來處理相關(guān)的數(shù)學(xué)問題，往往可以達(dá)到非常好的效果，且簡(jiǎn)單有效，快捷方便.任意一個(gè)考生都有一顆巧妙利用特殊法解決客觀題的心.下面用特殊法剖析2017年高考真題.

一、特殊值法

在解決一些有關(guān)函數(shù)、不等式、數(shù)列、算法等選擇題時(shí)，往往可以結(jié)合題目的條件，通過特殊值的選取結(jié)合題中對(duì)應(yīng)的選項(xiàng)加以排除，進(jìn)而達(dá)到確定正確選項(xiàng)的目的.往往可以簡(jiǎn)化過程、提升速度.

分析：常規(guī)方法是根據(jù)分段函數(shù)f（x）的圖像展開，采用導(dǎo)數(shù)法或基本不等式方法來處理，過程繁雜，不易判斷.通過特殊值的選取，利用排除法來間接分析與判斷，從特殊到一般來確定.

當(dāng)x=0時(shí)，得|a|≤f（0）=3，解得-3≤a≤3，排除選項(xiàng)C、D；

當(dāng)x=2時(shí)，得|a+1|≤f（2）=3，解得-4≤a≤2，排除選項(xiàng)B、D.

故選擇A.

點(diǎn)評(píng)：通過特殊值的選取，回避復(fù)雜分段函數(shù)問題、絕對(duì)值不等式問題的交匯與綜合，簡(jiǎn)化解答過程，正確快捷得到答案.解決問題的關(guān)鍵是選取合理的特殊值使問題的判斷更為快速，以及減少特殊值的選取次數(shù).

二、特殊函數(shù)法

在解答一些有關(guān)抽象函數(shù)的選擇題或填空題時(shí)，可以選取滿足條件的特殊函數(shù)加以驗(yàn)證，變抽象為具體，通過特殊函數(shù)發(fā)現(xiàn)規(guī)律，尋求解答方法.

例2（2017·天津理·6）已知奇函數(shù)f（x）在R上是增函數(shù)，g（x）=xf（x）.若a=g（-log25.1），b=g（20.8），c=g（3），則a，b，c的大小關(guān)系為（ ）.

（A）a＜b＜c （B）c＜b＜a

（C）b＜a＜c （D）b＜c＜a

分析：常規(guī)方法是根據(jù)題目條件來分析確定抽象函數(shù)g（x）的單調(diào)性，進(jìn)而作出判斷，過程比較煩瑣.而根據(jù)題目條件選擇特殊函數(shù)法就顯得簡(jiǎn)單快捷，易于操作.

解析：取特殊函數(shù)f（x）=x，則g（x）=xf（x）=x2，

從而g（x）是R上的偶函數(shù)，且在（0，+∞）上是增函數(shù)，而0＜20.8＜21=2=log24＜log25.1＜log28=3，可得g（20.8）＜g（log25.1）＜g（3），亦即g（20.8）＜g（-log25.1）＜g（3），則有b＜a＜c，故選擇C.

點(diǎn)評(píng)：直接結(jié)合抽象函數(shù)的性質(zhì)來分析，比較煩瑣.而通過選取滿足題意的特殊函數(shù)，可以快速準(zhǔn)確地解答相關(guān)的函數(shù)問題，進(jìn)而得以判斷.解決此類問題的關(guān)鍵是根據(jù)題目條件選取簡(jiǎn)單的滿足題目條件的基本初等函數(shù)，熟練掌握基本初等函數(shù)的相關(guān)性質(zhì)是利用特殊函數(shù)法解決問題的關(guān)鍵.

三、特殊點(diǎn)法

在解答有關(guān)函數(shù)圖像、平面向量、解析幾何等問題時(shí)，往往可以通過選取特殊點(diǎn)的方法，非常巧妙地處理與函數(shù)圖像、向量運(yùn)算、直線與圓、圓錐曲線等有關(guān)的問題，直觀快捷，方便易懂.

例3 （2017·山東理·12）已知e1，e2是互相垂直的單位向量.若e1-e2與e1+λe2的夾角為60°，則實(shí)數(shù)λ的值是______.

分析：常規(guī)方法根據(jù)平面向量的線性運(yùn)算確定相應(yīng)的模以及數(shù)量積，結(jié)合數(shù)量積公式來求解.而根據(jù)題目條件通過特殊點(diǎn)的選取，引入平面直角坐標(biāo)系，可以更為快捷的確定相應(yīng)的參數(shù)值.

解析：取特殊點(diǎn)，設(shè)e1=（1，0），e2=（0，1），

點(diǎn)評(píng)：通過特殊點(diǎn)的選取，引入平面直角坐標(biāo)系，從而平面向量的線性運(yùn)算與數(shù)量積的運(yùn)算問題就可以轉(zhuǎn)化為平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算，運(yùn)算起來更為快捷方便，而且不失一般性.特殊點(diǎn)處理，巧妙化解決.

四、特殊復(fù)數(shù)法

通過特殊復(fù)數(shù)的引入，可以非常快捷地處理一些與復(fù)數(shù)性質(zhì)、運(yùn)算、判斷等有關(guān)的問題.通過特殊復(fù)數(shù)法，可以回避相關(guān)復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算、相關(guān)性質(zhì)以及相關(guān)的運(yùn)算規(guī)律，簡(jiǎn)化過程.

例4 （2017·全國(guó)Ⅰ理·3）設(shè)有下面四個(gè)命題：

p2：若復(fù)數(shù)z滿足z2∈R，則z∈R；

p3：若復(fù)數(shù)z1，z2滿足z1z2∈R，則z1=z2；

p4：若復(fù)數(shù)z∈R，則；

其中的真命題為（ ）.

（A）p1，p3（B）p1，p4（C）p2，p3（D）p2，p4

分析：常規(guī)方法是設(shè)出復(fù)數(shù)z=a+b（ia，b∈R），根據(jù)各命題的條件加以展開來分析與判斷.而根據(jù)題目條件中相應(yīng)命題的特征，引入特殊復(fù)數(shù)，可以“秒”判斷.

解析：取特殊復(fù)數(shù)z=z1=z2=i，

對(duì)于p2：由于z2=i2=-1∈R，但z=i?R，其是假命題；

對(duì)于p3：由于z1z2=i2=-1∈R，但z1≠z2，其是假命題.

故選擇B.

點(diǎn)評(píng)：在判斷一些命題真假時(shí)，經(jīng)常可以采用一些特殊元素，利用舉反例直接判斷其為假命題.這里通過特殊復(fù)數(shù)的選取，讓一般性的復(fù)數(shù)問題特殊化，使問題簡(jiǎn)單統(tǒng)一化，簡(jiǎn)化運(yùn)算.

五、特殊圖形法

在解決一些有關(guān)函數(shù)性質(zhì)、立體幾何等的選擇題中，可以通過特殊函數(shù)圖像的構(gòu)造、特殊立體幾何圖形的應(yīng)用等實(shí)現(xiàn)數(shù)形結(jié)合，直觀判斷相應(yīng)的函數(shù)、立體幾何等問題.

例5 （2017·全國(guó)Ⅲ理·16）a，b為空間中兩條互相垂直的直線，等腰直角三角形ABC的直角邊AC所在直線與a，b都垂直，斜邊AB以直線AC為旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)，有下列結(jié)論：

①當(dāng)直線AB與a成60°角時(shí)，AB與b成30°角；②當(dāng)直線AB與a成60°角時(shí)，AB與b成60°角；③直線AB與a所成角的最小值為45°；④直線AB與a所成角的最小值為60°.

其中正確的是______（填寫所有正確結(jié)論的編號(hào)）.

分析：常規(guī)方法是根據(jù)空間直線的位置關(guān)系來分析判斷，難度非常大，不易操作.而結(jié)合題目條件，直接構(gòu)造特殊的立體幾何圖形，利用圓錐的特殊情況來解決空間直線的夾角問題.這樣就省去復(fù)雜的空間幾何體的想象與計(jì)算.

解析：構(gòu)造特殊圖形，由題意，AB是以AC為軸，BC為底面半徑的圓錐的母線，設(shè)BC=1，

由 AC ⊥a，AC ⊥b，又AC⊥圓錐底面，在底面內(nèi)可以過點(diǎn)B，作BD∥a，交底面圓C于點(diǎn)D，如圖1所示，

連接DE，則DE⊥BD，可得DE∥b，連接AD，等腰△ABD中，AB=AD=

當(dāng)直線AB與a成60°角時(shí)，∠ABD=60°，故BD=

過點(diǎn)B作BF∥DE，交圓C于點(diǎn)F，連接AF，由圓的對(duì)稱性可知BF=DE=

圖1

那么△ABF為等邊三角形，即∠ABF=60°，亦即AB與b成60°角，②正確，①錯(cuò)誤，由最小角定理可知③正確；

很明顯，可以滿足平面ABC⊥直線a，直線AB與a所成的最大角為90°，④錯(cuò)誤.

故填答案：②③.

點(diǎn)評(píng)：通過特殊立體幾何圖形——圓錐的構(gòu)造，結(jié)合特殊圓錐的幾何性質(zhì)來解決空間直線的夾角問題，直觀有效，省去繁雜的計(jì)算，提高解題效益.

特殊法是解答高考客觀題的最佳方法之一，適用于解答“對(duì)某一集合的所有元素、某種關(guān)系恒成立”，這樣以全稱判斷形式出現(xiàn)的題目，其原理是“結(jié)論若在某種特殊情況下不真，則它在一般情況下也不真”，利用“小題小做”或“小題巧做”的策略解題.J