高考解題不用愁，數形結合顯身手

☉江蘇省宜興第一中學 李云強

“數”與“形”是一對矛盾的統一體，宇宙萬物都可以看成“數”和“形”的矛盾的統一.我國偉大的數學家華羅庚先生曾說過：“數缺形時少直觀，形少數時難入微，數形結合百般好，隔裂分家萬事休”.在數學中，數形結合思想往往通過“以形助數”或“以數解形”的方式，使得復雜的問題簡單化，抽象的問題形象化，具體的問題直觀化，進而有助于把握數學問題的本質屬性，從而達到有效解決問題的目的.數形結合思想是數學的規律性與靈活性的有機結合，也是高考中?？嫉臄祵W思想之一.

一、在函數與方程中的應用

函數的圖像是函數關系的一種直觀、形象的表示，是運用數形結合思想方法的基礎.對于一些含有函數背景的問題，通過對函數性質的分析，結合相應的圖像，對相應的函數、方程問題加以有效轉化，把復雜的問題轉化為簡單的相應的函數圖像的問題，通過數形結合，根據題設條件，結合性質簡捷分析與求解.

綜上分析可得-2≤a≤2.故選A.

圖1

點評：解決此類問題的關鍵是抓住函數的圖像與性質，運用數形結合的思想和函數與方程的思想解答問題.特別地，數學中的方程、不等式等的相關問題，往往可以通過函數、方程與不等式之間的聯系轉化為函數來處理，進而結合方程與函數的對應關系作出相應的圖像，數形結合達到求解的目的.

二、在平面向量中的應用

而在平面向量中，平面向量的線性運算自身就蘊含著豐富且深刻的幾何背景，平面向量的坐標表示使平面向量問題代數化成為了可能.平面向量知識成為了數形結合中重要的載體，是數形結合對應的高度統一的實例之一.

例2 （2017·全國Ⅱ理·12）已知△ABC是邊長為2的等邊三角形，P為平面ABC內一點，則P—A·（P—→B+P—C）的最小值是（ ）.

分析：根據平面向量的中點公式與條件加以轉化，數形結合確定取得最小值時點P的位置，進而結合基本不等式來確定最值問題.

圖2

點評：在解決平面向量問題中，經常通過幾何圖形特征或巧妙構造坐標系，數形結合來轉化與處理.平面向量中的向量問題往往既有形的特征，又有數的質感，巧妙地運用數形結合，可以使問題解決起來更直觀快捷，思路清晰，解法巧妙.

三、在線性規劃中的應用

結合數形結合，利用線性規劃，設出決策變量，找出約束條件和線性目標函數，利用圖像在線性約束條件下找出目標函數的取值范圍、最值或取得最值時的點的坐標或由此衍生出來的其他問題，如：斜率、距離的最值等.

分析：先根據條件作出對應約束條件的可行域，通過數形結合，利用平移直線法，根據目標函數并結合可行域來確定最值問題.

作出直線l：3x-4y=0，平移直線l，當直線z=3x-4y經過點A（1，1）時，z取得最小值，最小值為3-4=-1.

圖3

點評：利用數形結合思想可以解決在線性規劃可行域約束條件下已知目標函數的最值問題.線性規劃可以解決很多的相關問題，其解決問題的關鍵：設出決策變量，通過數形結合，利用圖像在線性約束條件下找出決策變量使線性目標函數達到最大或最小值.

四、在概率中的應用

許多概率問題都可以通過畫樹形圖、建立平面直角坐標系，或是利用圖形等，將數的問題轉化為形的問題，借助于形的優勢，使問題得到解決.特別在幾何概型中，數形結合顯得尤為重要.

例4 （2017·全國Ⅰ文·4；理·2）如圖4，正方形ABCD內的圖形來自中國古代的太極圖.正方形內切圓中的黑色部分和白色部分關于正方形的中心成中心對稱.在正方形內隨機取一點，則此點取自黑色部分的概率是（ ）.

圖4

分析：設出正方形的邊長，進而確定正方形內切圓的半徑，結合幾何圖形的面積以及對稱性來確定幾何測度問題，數形結合利用幾何概型的概率公式來求解概率即可.

解析：設正方形的邊長為2，則正方形內切圓的半徑為1，

則正方形的面積為4，正方形內切圓的面積為π，

根據對稱性可知，黑色部分的面積是正方形內切圓的面積的一半，即圖中黑色部分的面積為

故選B.

點評：涉及概率的求解問題，有時可以把古典概型、幾何概型的問題轉化為直觀圖形，通過數形結合來分析更直觀快捷.特別，涉及面積型的幾何概型問題是高考中最常見的題型之一，主要有結合平面幾何的性質確定相應的幾何圖像面積，利用面積之比來確定幾何概型等概率問題.

五、在圓錐曲線中的應用

對于圓錐曲線問題，許多對應的長度、數式等都具有一定的幾何意義，挖掘題目中隱含的幾何意義，采用數形結合的思想方法，可簡單快捷地解決某些相應的問題.

例5 （2017·全國Ⅱ理·16）已知F是拋物線C：y2=8x的焦點，M是C上一點，FM的延長線交y軸于點N.若M為FN的中點，則|FN|=______.

分析：根據題目條件以及中點的性質確定點M的橫坐標，通過數形結合，結合定義把拋物線上的點到焦點的距離轉化為拋物線上的點到準線的距離，進而來求解對應的線段長度問題.

解析：由拋物線C：y2=8x知，p=4，焦點F（2，0），

如圖5所示，由于FM的延長線交y軸于點N，則N的橫坐標為0，而M為FN的中點，可得M的橫坐標為xM=1，結合拋物線的定義6.

圖5

點評：通過數形結合，把圓錐曲線問題直觀化，通過把抽象的數學語言與直觀的圖形結合起來，使抽象思維與形象思維結合起來，使對題目的解答更形象、直觀、一目了然，從而得以快捷求解.直線與圓錐曲線的位置關系的轉化有兩種，一種是通過數形結合建立相應的關系式，另一種是通過代數形式轉化為二元二次方程組的解的問題進行討論.

巧妙運用數形結合思想來處理與解決一些相關的抽象的數學問題，往往可起到事半功倍的效果.數形結合思想的重點是“以形助數”，根據對應知識點中的數量與圖形之間的對應關系，通過“數”與“形”的相互轉化來解決數學問題.尤其在解決一些選擇題、填空題時，數形結合思想往往發揮著奇特功效，可以大大提高解題能力與速度，提升效益.J