構(gòu)造法在高中數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用

☉江蘇省新沂市第一中學(xué) 徐 劍

數(shù)學(xué)思想方法結(jié)合構(gòu)造技巧，能使我們領(lǐng)悟數(shù)學(xué)的價(jià)值，形成一整套行之有效的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)方法與思想，從不同的角度、不同的知識(shí)層面來(lái)看待高中各種各樣的復(fù)雜數(shù)學(xué)應(yīng)用題型，緊跟教師課堂的教學(xué)步驟，從單一的思維模式中解放出來(lái)，探尋一種高效率、高質(zhì)量、高保證的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)模式.

一、注重構(gòu)造法的理念，訓(xùn)練和解決數(shù)學(xué)問(wèn)題

我們?cè)诶谩皹?gòu)造法”進(jìn)行解答數(shù)學(xué)例題之前，要先了解構(gòu)造法的概念.首先，“構(gòu)造”就是為達(dá)到某一目的，要采取一系列的方案和手段，制作出步驟及相應(yīng)的流程來(lái)完成這個(gè)目的.我們可以選擇某種合理的、能促進(jìn)自己理解的方式去達(dá)到提高解題效率的成果，強(qiáng)有力地鍛煉自身的數(shù)學(xué)思維邏輯，無(wú)論遇到多么復(fù)雜的數(shù)學(xué)題目，都能進(jìn)行化簡(jiǎn)，從而把它們變成日常練習(xí)過(guò)的簡(jiǎn)單例題，有效的解答，全方面地學(xué)好數(shù)學(xué).方程作為高中數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容之一，涉及很多難理解的知識(shí)層面，它與代數(shù)式，各種復(fù)雜的函數(shù)相連接，還與不等式等章節(jié)密切不可分，我們?cè)谧鎏厥夥匠痰睦}時(shí)，要充分利用構(gòu)造法，依據(jù)方程理論，加深對(duì)數(shù)學(xué)應(yīng)用題的理解和記憶，循序漸進(jìn)，反復(fù)訓(xùn)練，能使許多的問(wèn)題得以轉(zhuǎn)化，從而得到解決，經(jīng)歷一個(gè)反復(fù)思考的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過(guò)程，把生活中的各種數(shù)學(xué)分類遷移到數(shù)學(xué)中來(lái)，挖掘教材提供的機(jī)會(huì)，并根據(jù)數(shù)學(xué)的特殊性質(zhì)，對(duì)自己負(fù)責(zé)，逐漸養(yǎng)成學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的良好習(xí)慣.

數(shù)學(xué)中的構(gòu)造法有效而特殊，會(huì)讓我們有“似曾相識(shí)”的感覺(jué)，它是為了對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)科的研究和日常的解題方便而采用的一種思想.它能激發(fā)我們的學(xué)習(xí)思維，讓我們?cè)陬^腦中能有一種潛意識(shí)，從而進(jìn)行不斷的知識(shí)遷移和擴(kuò)展、數(shù)學(xué)定理的推移、數(shù)學(xué)證明的猜測(cè)和結(jié)合等，通過(guò)各種手段，讓原來(lái)一個(gè)復(fù)雜的數(shù)學(xué)過(guò)程變得通用化、簡(jiǎn)單化、快捷化.對(duì)于一些復(fù)雜的三角函數(shù)例題，由于存在特殊的函數(shù)角度，不方便直接求解，這時(shí)就需要采用構(gòu)造法.

例1 求sin20°cos70°+sin10°sin50°的值.

解析：不能直接求出來(lái)，需要借用“構(gòu)造法”，引入幾個(gè)特殊值，所求式子與和差角公式結(jié)構(gòu)一致，達(dá)到構(gòu)造和提高解題效率的目的.我們可以令x=sin20°cos70°+sin10°sin50°，y=cos20°sin70°+cos10°cos50°，構(gòu)造出兩個(gè)方程表達(dá)式，則x+y=sin20°cos70°+sin10°sin50°+cos20°sin70°+cos10°cos50°=sin90°+cos40°=1+cos40°. 同理，x-即sin20°cos70°+sin10°sin50°的值為，就完成了解答過(guò)程.這樣一個(gè)構(gòu)造的解題過(guò)程，能扭轉(zhuǎn)一些數(shù)學(xué)解題困局.我們要不斷估計(jì)和推理，把普遍問(wèn)題類比為特殊問(wèn)題等，獲取最佳的解答方案.

二、廣泛應(yīng)用構(gòu)造思想，多角度思考和理解問(wèn)題

在數(shù)學(xué)界有許多的數(shù)學(xué)家都是勤勤懇懇地利用自己的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)，借助構(gòu)造法發(fā)現(xiàn)并證明了許多十分有用的數(shù)學(xué)定理.例如，歐幾里得、洛必達(dá)研究的洛必達(dá)法則；歐拉研究的歐拉不等式；拉格朗日研究的中值定理等，大多都用“構(gòu)造法”解決了許多的數(shù)學(xué)難題，為我們開(kāi)辟了數(shù)學(xué)道路.我們要向前輩學(xué)習(xí)，運(yùn)用一系列的數(shù)學(xué)定理和數(shù)學(xué)推理，自行構(gòu)造和解答，學(xué)會(huì)從一個(gè)數(shù)學(xué)角度轉(zhuǎn)移到另一個(gè)角度或者層面，從一個(gè)對(duì)象獲得另一個(gè)對(duì)象的性質(zhì)，養(yǎng)成學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的好習(xí)慣，逐漸加強(qiáng)構(gòu)造法的力度，完善有效數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)方法.構(gòu)造法是一種重要的數(shù)學(xué)解題方法，我們?cè)诮忸}過(guò)程中要注重構(gòu)造思想的實(shí)際效果，合理應(yīng)用構(gòu)造思想，對(duì)題目進(jìn)行整理和分析，學(xué)會(huì)實(shí)質(zhì)性的訓(xùn)練和不斷的探索創(chuàng)新，不斷的感知數(shù)學(xué)公式、概念，遇到復(fù)雜的題目時(shí)，換一個(gè)角度去思考，去理解，去感悟，從而找到一條繞過(guò)障礙的新途徑.

解析：這是一道復(fù)雜的代數(shù)求解問(wèn)題，首先得看清已知條件是什么，不能匆忙下手，更不能胡亂拉取數(shù)學(xué)公式，造成解題思路的混淆，而是要通過(guò)已知條件選擇更簡(jiǎn)單的解題方法.通過(guò)對(duì)題目的詳細(xì)觀察，不難發(fā)是倒數(shù)關(guān)系，這時(shí)可以設(shè)a和b是方程t2-4xt-1=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，又因?yàn)閍＞b，所以最終解得（）n的值為2013，這是2013年的高考真題.我們可以到書(shū)店購(gòu)買一些實(shí)質(zhì)性的學(xué)習(xí)資料和數(shù)學(xué)真題，時(shí)常練習(xí)，發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)例題的解答規(guī)律，形成常規(guī)題型的解題思路和模式，正視自己的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)基礎(chǔ)，并結(jié)合各類數(shù)學(xué)概念和公式，做好必要的筆記，及時(shí)復(fù)習(xí)和鞏固.

三、引入構(gòu)造法的模式，全面提高解題效率

在對(duì)構(gòu)造法的應(yīng)用過(guò)程中，我們要不斷地引入構(gòu)造法的模式，全面提高數(shù)學(xué)解題效率，可以借鑒課內(nèi)外的書(shū)籍，加強(qiáng)自身的數(shù)學(xué)素質(zhì)培養(yǎng).國(guó)內(nèi)外就有許多的研究成果，如西方的《幾何原本》和中國(guó)的《九章算術(shù)》等都詳細(xì)地記載了數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的方法，對(duì)我們的學(xué)習(xí)效率和技巧很有幫助.我國(guó)的構(gòu)造法主要是針對(duì)當(dāng)前數(shù)學(xué)學(xué)科的特殊性，注重問(wèn)題的能行性，引出一系列的方法和模式，許多古典的書(shū)籍和書(shū)籍中的數(shù)學(xué)例題對(duì)推動(dòng)中國(guó)數(shù)學(xué)的發(fā)展起到了深遠(yuǎn)的影響，我們一定要合理地運(yùn)用和練習(xí)，從各個(gè)角度尋求數(shù)學(xué)例題的解題思路，遇到不懂的問(wèn)題多思考、多求解、多詢問(wèn)，循序漸進(jìn)地提高自己的數(shù)學(xué)能力.構(gòu)造法是一種極其富有技巧性和思維創(chuàng)造性的常用解題方法，需要我們了解自己所需要的數(shù)學(xué)模型和接受知識(shí)的能力和基礎(chǔ)，并根據(jù)數(shù)學(xué)的特殊性質(zhì)，全面地進(jìn)行歸納和理解，和同學(xué)老師做好溝通交流，取長(zhǎng)補(bǔ)短地提高自己的實(shí)際能力，構(gòu)造出一種新的問(wèn)題形式，豐富自身內(nèi)涵，從數(shù)學(xué)例題中領(lǐng)悟數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)技巧，構(gòu)造出具體的結(jié)果，從而繞過(guò)解題障礙，明確構(gòu)造的目的和做題時(shí)的最終結(jié)果，全方面地通過(guò)用心觀察、仔細(xì)聯(lián)想，采用新的學(xué)習(xí)方法，把數(shù)學(xué)題目中的已知的關(guān)系式為“支架”，真正體驗(yàn)一種創(chuàng)造性思維的構(gòu)思過(guò)程，在把握滲透契機(jī)的同時(shí)，往往能使許多復(fù)雜的數(shù)學(xué)問(wèn)題在新的關(guān)系下得以轉(zhuǎn)化，許多不懂的問(wèn)題也可以很快解決.

另一方面，當(dāng)今的計(jì)算機(jī)科學(xué)和各類的財(cái)經(jīng)類專業(yè)，都離不開(kāi)數(shù)學(xué)這一門(mén)學(xué)問(wèn)，在很大程度上是靠數(shù)學(xué)來(lái)發(fā)展的，無(wú)論我們今后從事什么職業(yè)，都要運(yùn)用數(shù)學(xué)的知識(shí)來(lái)解答一些實(shí)質(zhì)性的問(wèn)題.因此，我們高中生必須從現(xiàn)在做起，吸取生活中各種各樣有價(jià)值的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)元素，打好數(shù)學(xué)基礎(chǔ)，憑借結(jié)構(gòu)上的數(shù)學(xué)相似性，找到數(shù)學(xué)例題的解題突破口，把定理和公式合理結(jié)合在一起，才能極大降低數(shù)學(xué)例題的難度，通過(guò)適當(dāng)?shù)恼{(diào)節(jié)和代換，以及相應(yīng)的變形，適當(dāng)?shù)臅r(shí)候結(jié)合圖像進(jìn)行分析和揣摩，抓住解題的關(guān)鍵點(diǎn)，分析、發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)問(wèn)題的各個(gè)環(huán)節(jié)，以及它們之間的聯(lián)系，從而達(dá)到事半功倍之效.

例3 已知x+y+z=0，xyz=8，求z的取值范圍.

解析：構(gòu)造一個(gè)以x，y為根的一元二次方程t2+bt+c=得z<0或z>.構(gòu)造法在解題時(shí)的便捷性由此可見(jiàn).

數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)是循序漸進(jìn)的學(xué)習(xí)，不斷積累學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)的一門(mén)學(xué)科，我們一定要學(xué)會(huì)把“構(gòu)造法”加入到各種復(fù)雜的數(shù)學(xué)例題解答過(guò)程中，充分轉(zhuǎn)化和化簡(jiǎn)，并通過(guò)自己的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)的真諦.在解答各類題型時(shí)，一定要注重構(gòu)造法的理念，訓(xùn)練日常數(shù)學(xué)課堂例題，經(jīng)歷一個(gè)認(rèn)真總結(jié)、積累經(jīng)驗(yàn)的數(shù)學(xué)探索和學(xué)習(xí)過(guò)程，才能逐漸地加強(qiáng)構(gòu)造法的力度，完善有效數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)方法，最終引入構(gòu)造法的模式，全面提高數(shù)學(xué)解題效率.J