少一些直接切入，多一些啟發和引導
——高中數學課堂三種常見現象的分析和對策

☉浙江省溫嶺市新河中學 郭小劍

高效教學并不等于教師的全盤包辦，在教學中，很多教師的操作太過直接，自顧自地跑在問題探索的最前沿，這顯然無助于學生的發展和提升，以下是我們教學中亟待改變的常見現象.

一、直接點出學生的錯誤

數學教育家波利亞有關教學行為總結出“教師十誡”，其中的最后一條是“提供建議，而不是強迫接受”，他在進一步的說明中強調，教師針對學生的錯誤思路或答案不能直接說“這是錯的”，如果教師經常這樣操作，將導致學生會在心理上對老師和數學產生一種憎惡.

例1已知f（x）=asin2x+cos2x（a∈R）的函數圖像有

學生將函數化歸為正弦函數，并表示出對稱軸的一般表達式，再結合已知條件確定a的取值，這一解題思路是正確的，但是學生的解答也存在著一些問題，即忽視了a的取，則α應該是一、三象限角，因此對應的正余弦取值應該是同號的，即

在日常教學中，如果遇到這樣的情況，很多教師往往一針見血地點出學生的錯誤，這固然是一種效率極高的操作，但是卻在一定程度上挫傷了學生數學學習的興趣，也讓學生失去一次自主發現錯誤、自行探索真理的機會，這當然無助于學生學習效率的提升.

一般來講，如果教師不進行提示，學生不會對a的取值情況展開檢驗，但是如果直截了當地提示學生進行檢驗，這又是對學生自主思考權力的一種剝奪.

應對策略：面對上述尷尬局面，筆者認為我們可以指導學生探尋不同解法，由此讓學生對比出最終答案的差別，自然也就會自發地探求出問題的所在.

二、直接將巧妙方法提供給學生

波利亞的教育理論指出，教師要盡可能地為學生提供發揮主動意識的機會，強調教師不能一下子將所有的秘密全部揭示出來，要盡量讓學生自己在探索中發現問題解決的方案.事實上，我們的教學中，很多老師無法做到上述要求.

現象呈現：學生處理時往往會采用這樣的思路：

上述方法運算量非常大，而且存在一定的技巧性，很多學生開始的思路正確，但是在運算時陷入僵局.特別是步驟（*），很少有學生能夠將分母展開并通過配方讓k更加集中.事實上，本題更加巧妙的處理是采用極坐標，即將上述方法中的斜率k變成角.實際教學中，很多教師是直接將方法提供給學生，但是這樣的操作必然會剝奪學生學習數學的樂趣.

應對策略：本題的處理關鍵是對學生進行啟發：為什么不能根據步驟（*）的表達式完成求解呢？由于A與B之間特殊的關系，如何對動點A進行刻畫可以避開k取零的情形？實踐中，我們發現學生在啟發下成功地調整思路，用極坐標來表示動點A（ρ1cosθ，ρ1sinθ），B（-ρ2sinθ，ρ2cosθ）.這樣即可得到：

如果教師只是片面地追求講題效率，直接將作答的方法灌輸給學生，而沒有給予學生足夠的時間進行自主思考和探索，沒有對學生予以耐心的啟發，學生也只能是暫時性接受到一個問題的答案，至于方法、思想等內容很難浸潤學生的內心，所以教師要善于通過啟發性的問題引導學生展開探索，由此引導學生實現問題的解決.

三、直接替代學生完成數學問題表征

問題表征是在理解問題的基礎上，發現問題結構，并在頭腦中構思問題空間的過程，這對問題解決相當重要.在高中數學課堂上，一旦遇到難度較大的問題，很多教師會逐字逐句地閱讀問題，并通過列表作圖的方式來幫助學生進行問題表征，甚至將解題方法的框架全部為學生搭建好.

例3 已知某數列{an}的每一項都是正整數，對于n=1，2，3，…，有

如果存在m∈N*，當n＞m，且an為奇數時，an恒等于常數p，請確定p的值.

現象呈現：學生在處理上述問題時難度很大，其主要原因是在問題表征上遇到障礙.就數列問題來講，通常應該將初始項作為已知條件提供出來，但是本題卻沒有，因此這里的數列可以視為一“抽象數列”.本題的情境指出：若an是奇數，則an+1=3an+5，此時這必然是一個偶數；當an是偶數時，可以將因數中的2提出來，則存在一個最大正整數k，使得an=2kb，此時b是奇數，而an+1=b，由此可知問題所給的數列實際上有著奇偶相間的特點，我們再將條件“如果存在m∈N*，當n＞m，且an為奇數時，an恒等于常數p”這一條件表征為“設an為奇數，則an+1=3an+5為偶為奇數且與an相等”，這樣即可很容易地完成對an的確定，即對p值的確定.

以上表征過程難度較大，很多教師直接替代學生完成這一過程，長此以往，學生將形成依賴心理，當再次遇到此類難題，還是很難完成表征.

應對策略：教師在教學中不宜替代學生完成問題的解讀過程，而應該通過一些啟發性的問題來誘導學生，比如提出以下問題：（1）假設an為一個特殊的偶數，則k如何取值，可以讓an+1為奇數？（2）請思考這個數列的各項有何特點？

面對問題，學生要積極發掘和分析題目中的信息，有時單一化的角度很難完成對問題的正確表征，我們要培養學生從多個角度來實現問題表征，以此來提升學生的問題分析能力.