巧用對稱解參數 三次函數妙處理

☉江蘇省蘇州市吳江區汾湖高級中學 張麗琴

根據導數的運算知，三次函數的導函數是二次函數，而二次函數是高中數學中的重要內容之一，因此以三次函數為問題背景的高考題已經成為高考命題的高頻考點之一.這就更需要我們多加研究，以便了解和掌握三次函數的圖像與性質，總結相應的解題規律，拓展思維.同一數學問題，從多方位、多角度、多層次入手，就會得到多種解題思路和方法，從而提高對數學知識的理解和掌握，同時也提升數學解題能力，培養優良的數學素養.

【例題】（某市2018屆月考）若函數f（x）=（1-x）（x2+ax+b）的圖像關于圖上點（-2，0）對稱，x1，x2分別是函數f（x）的極大值點與極小值點，則x1-x2=______.

分析：解決本題的基本思路是根據題目中的對稱條件確定函數f（x）的解析式，進而利用導數研究其極值點.而如何快捷地求解出參數a、b的值，從而確定函數f（x）的解析式是解決問題的關鍵.

思維方向1：通過對函數f（x）的一次求導與二次求導，結合函數f（x）的圖像關于點（-2，0）對稱，利用導數的應用可得f″（-2）=0且f（-2）=0，構建方程組，進而確定參數a、b的值.二次求導是比較難想到的，但處理起來方便快捷，是本題的切入點.

解法1（導數應用法）：函數f（x）=（1-x）（x2+ax+b）=-x3+（1-a）x2+（a-b）x+b，

而f′（x）=-3x2+2（1-a）x+（a-b），f″（x）=-6x+2（1-a）.

又因為函數f（x）=（1-x）（x2+ax+b）的圖像關于點（-2，0）對稱，

則有f（x）=（1-x）（x2+7x+10），

則f′（x）=-3（x2+4x+1）.

令f′（x）=0，

思維方向2：根據函數f（x）的圖像關于點（-2，0）對稱，得到恒等式f（-2+x）+f（-2-x）=0，結合特殊值賦值來構建方程組，進而確定參數a、b的值.計算略顯繁瑣，但由恒等式可以根據所需來建立相應的方程，方便處理.

解法2（特殊值法）：由于函數f（x）=（1-x）（x2+ax+b）的圖像關于點（-2，0）對稱，

則有f（-2+x）+f（-2-x）=0成立.

不妨取特殊值x=1和x=2，可得對應的方程組，解得a=7，b=10.

則有f（x）=（1-x）（x2+7x+10），

則f′（x）=-3（x2+4x+1），

令f′（x）=0，

思維方向3：通過函數f（x）求導，那么函數f（x）的極大值點x1與極小值點x2關于直線x=-2對稱，同時f′（x）的兩零點x1，x2關于導函數f′（x）的圖像的對稱軸對稱，構建方程組，進而確定參數a、b的值.巧妙抓住原函數與導函數圖像之間的關系加以處理，數形結合，方便快捷.

解法3（原函數與導函數關系法）：由f（x）=（1-x）（x2+ax+b）可得f′（x）=-3x2+2（1-a）x+（a-b），

而函數f（x）=（1-x）（x2+ax+b）的圖像關于點（-2，0）對稱，

那么函數f（x）的極大值點x1與極小值點x2關于直線x=-2對稱，

又x1，x2是導函數f′（x）=-3x2+2（1-a）x+（a-b）的兩個不等零點，那么x1，x2關于對稱軸直線x=-2對稱，則有

又對稱點（-2，0）在函數f（x）的圖像上，

則有f（-2）=3（4-2a+b）=0，

聯立解得a=7，b=10，

則有f（x）=（1-x）（x2+7x+10），

則f′（x）=-3（x2+4x+1），

令f′（x）=0，

余略.

思維方向4：通過函數f（x）=（1-x）（x2+ax+b）的解析式特點可以確定f（x）有一零點1，結合函數f（x）的圖像關于點（-2，0）對稱，則知必存在一個零點與零點1關于直線x=-2對稱，得到x=-5是方程x2+ax+b=0的一個根，再結合對稱性確定方程的另一個根，通過系數對比確定參數a、b的值.本解法思維巧妙，容易理解，且處理起來也比較簡單.

解法4（函數零點法）：由函數f（x）=（1-x）（x2+ax+b），可以確定f（x）有一零點1，

又函數f（x）的圖像關于點（-2，0）對稱，那么零點1關于x=-2的對稱值-5也是函數f（x）的零點，即x=-5是方程x2+ax+b=0的一個根，而方程x2+ax+b=0有兩個根，則知另一個根為x=-2（根據對稱性知，零點必成雙出現）

則有x2+ax+b=（x+5）（x+2），展開可得a=7，b=10，

則有f（x）=（1-x）（x2+7x+10），

則f′（x）=-3（x2+4x+1），

令f′（x）=0，

余略.

著名數學家、教育學家G·波利亞在《怎樣解題》一書中指出：“好題目和某種蘑菇有點相似之處：它們都是成串成長，找到一個以后，我們應該看看，很有可能在很近的地方又能找到更多的.”因而當我們解完一道題以后，要不斷領悟反思，多角度切入進行深度挖掘，從而達到觸類旁通、一題多解的效果.通過典型實例的一題多解，可以使得我們的解題思路更加開闊，數學知識的掌握更加熟練，同時拓展思維，妙法頓生，提高解題速度，培養發散思維能力，激發我們學習的主動性、積極性和趣味性，全面提高我們的知識水平和思維能力.J

余略.

思維方向5：通過函數f（x）的圖像關于點（-2，0）對稱，將其函數的圖像向右平移2個單位得到函數f（x-2）的圖像，其關于原點（0，0）對稱，即其是奇函數，結合奇函數的圖像與性質構建方程組，進而確定參數a、b的值.通過平移將相應的中心對稱問題轉化為更為熟悉的奇函數問題，利用奇函數的圖像與性質來轉化，更為熟悉且更容易操作.

解法5（平移函數法）：由于函數f（x）=（1-x）（x2+ax+b）的圖像關于點（-2，0）對稱，

若將f（x）的圖像向右平移2個單位，可得f（x-2）的圖像關于原點（0，0）對稱，

即f（x-2）=［1-（x-2）］［（x-2）2+a（x-2）+b］=-x3+（7-a）x2+（5a-b-16）x+3（b-2a+4）為奇函數，

根據奇函數的性質可知二次項系數與常數項必為0，解得a=7，b=10.

則有f（x）=（1-x）（x2+7x+10），

則f′（x）=-3（x2+4x+1），

令f′（x）=0，