如何在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中幫助學(xué)生建構(gòu)方程模型

賴敏賢

【摘要】模型思想，是指運(yùn)用數(shù)學(xué)的語(yǔ)言、知識(shí)和思想去研究和描述現(xiàn)實(shí)世界的典型問(wèn)題的內(nèi)部規(guī)律。方程是在未知數(shù)和已知數(shù)之間建立相等關(guān)系的數(shù)學(xué)模型。在天平情景中，感知方程模型；在分類概括中，建構(gòu)方程模型；在生活情景中，應(yīng)用方程模型。在方程模型的建構(gòu)過(guò)程中，讓學(xué)生經(jīng)歷“問(wèn)題情景——建立模型——應(yīng)用模型”的數(shù)學(xué)活動(dòng)過(guò)程，感悟方程模型的本質(zhì)。

【關(guān)鍵詞】模型 方程模型 建構(gòu) 小學(xué)數(shù)學(xué)

【中圖分類號(hào)】G623.5 【文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼】A 【文章編號(hào)】2095-3089（2018）03-0156-02

所謂模型思想，是指運(yùn)用數(shù)學(xué)的語(yǔ)言、知識(shí)和思想去研究和描述現(xiàn)實(shí)世界的典型問(wèn)題的內(nèi)部規(guī)律。而方程是描述現(xiàn)實(shí)世界中相等關(guān)系的數(shù)學(xué)模型。認(rèn)識(shí)方程的意義，不僅僅只是認(rèn)識(shí)方程的顯性特征：含有未知數(shù)的等式。更要感悟方程的隱性特征（本質(zhì)特征）：未知數(shù)與已知數(shù)同等地位、體現(xiàn)數(shù)量間的相等關(guān)系。教學(xué)應(yīng)從學(xué)生熟悉的簡(jiǎn)單而豐富的生活情景中喚醒學(xué)生已有的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)，把對(duì)問(wèn)題和結(jié)果的關(guān)注引向?qū)Φ攘筷P(guān)系上來(lái)?？墒鞘苄W(xué)4年算術(shù)思維的影響，學(xué)生常常認(rèn)為“=”表示的是結(jié)果，不能將“=”看作是連接兩邊算式的“橋梁”，進(jìn)而找不到相等關(guān)系。那么如何在教學(xué)中幫助學(xué)生構(gòu)建方程模型呢？

一、在天平情景中，感知方程模型

《標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》明確指出，在數(shù)學(xué)教學(xué)中應(yīng)當(dāng)引導(dǎo)學(xué)生感悟建模過(guò)程。在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，從學(xué)生熟悉的簡(jiǎn)單而豐富又感興趣的生活情景中，選取鮮活有趣的素材，喚醒學(xué)生已有的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)。天平作為一種直觀認(rèn)識(shí)方程模型的有效教具，它能非常直觀地引導(dǎo)學(xué)生觀察左右兩邊物體的質(zhì)量關(guān)系，進(jìn)而用語(yǔ)言進(jìn)行描述，用符號(hào)表示，這是建模的重要基礎(chǔ)。在平衡與不平衡的現(xiàn)象中，理解等式與不等式的含義。從現(xiàn)實(shí)模型到算式表達(dá)，初步感知方程模型。

例如，在教學(xué)“方程的意義”時(shí)，先在課件出示天平直觀圖，讓學(xué)生說(shuō)說(shuō)對(duì)天平的認(rèn)識(shí)。然后出示左圖。

問(wèn)：你能用一道式子把這種平衡的狀態(tài)表示出來(lái)嗎？

生：50+50=100.

師繼續(xù)追問(wèn)：等號(hào)的左右兩邊分別表示什么？為什么用等號(hào)表示？

通過(guò)追問(wèn)，引導(dǎo)學(xué)生把注意放在天平左右兩邊質(zhì)量相等時(shí)，可以用等號(hào)連接起來(lái)。接著把2個(gè)50克的砝碼換成了一個(gè)空杯子，天平也保持平衡狀態(tài)，得出空杯子的質(zhì)量也是100克。

師：向空杯子中加入一些水，天平會(huì)發(fā)生怎樣的一些變化？

生：天平不再平衡，向左邊傾斜。

師：說(shuō)的真好，那左邊杯子和水共重多少克？用式子表示呢？

生：100+x

課件動(dòng)態(tài)演示：在天平的右邊增加100克砝碼。

師：仔細(xì)觀察，現(xiàn)在天平出于什么狀態(tài)？你能用一個(gè)式子描述一下現(xiàn)在天平的狀態(tài)嗎？

生：天平還是向左邊傾斜，用式子100+x<200表示。

接著課件演示在天平右邊再增加100克砝碼。

師：你能用一道式子把這種不平衡的狀態(tài)表示出來(lái)嗎？

生：100+x>300。

最后，通過(guò)調(diào)整砝碼，天平平衡了。

師：那你能用一道式子表示現(xiàn)在的相等關(guān)系嗎？

生：100+x=250。

學(xué)生匯報(bào)后追問(wèn)：為什么用“=”表示？

……

以上的直觀演示，天平由平衡到不平衡再到平衡，這個(gè)過(guò)程讓學(xué)生深刻感悟到，只有兩邊的質(zhì)量相等時(shí)，天平才平衡，才能用等號(hào)連接左右兩邊的式子。初步讓學(xué)生認(rèn)識(shí)到：等號(hào)不僅可以表示左邊算式的計(jì)算結(jié)果，還可以是連接兩邊算式的橋梁，初步建立等式的“結(jié)構(gòu)性”的表象，也就是在未知量和已知量之間建立的等量關(guān)系，初步感知方程的模型。

二、在分類概括中，建構(gòu)方程模型

在方程模型的建構(gòu)過(guò)程中，學(xué)生主要通過(guò)觀察、分析、抽象、概括、判斷等數(shù)學(xué)活動(dòng)，完成模型抽象，得到模型，這是建模最重要的一個(gè)環(huán)節(jié)。分類能將模糊的事物變得清晰，更能反映事物的本質(zhì)特點(diǎn)。通過(guò)觀察算式，經(jīng)歷二次分類，體會(huì)概念的形成過(guò)程并歸納概括出方程的意義，有效地完成對(duì)方程模型的建構(gòu)。

例如“方程的意義”教學(xué)片段：

師：同學(xué)們，請(qǐng)你仔細(xì)觀察，你能按一定的標(biāo)準(zhǔn)把黑板上的算式分成兩類嗎？

學(xué)生小組討論。

生：我是把含有“=”的算式分成一類，有“>”、“<”的分一類。

師順勢(shì)介紹：像這樣表示左右兩邊相等的式子叫等式（并用集合圈把等式圈起來(lái)）。請(qǐng)同學(xué)們?cè)儆^察等式的特點(diǎn)，你能把等式分成兩類嗎？

生：我是這樣想的，含有未知數(shù)的分一類，不含未知數(shù)的分另一類。

師：你真會(huì)總結(jié)，像這樣含有未知數(shù)的一類我們把他們稱為方程，你能用自己的話說(shuō)說(shuō)什么是方程嗎？

生：含有未知數(shù)的等式就是方程。

課件出示：判斷下面的說(shuō)法是否正確。學(xué)生先獨(dú)立思考

含有未知數(shù)的式子叫方程。（ ）

所有的等式都是方程。（ ）

所有的方程都是等式。（ ）

判斷完成后出示集合圖。

引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)對(duì)得到的式子進(jìn)行二次分類，發(fā)現(xiàn)同樣是表示相等關(guān)系的式子，有些是含有未知數(shù)，有些是不含有未知數(shù)，這時(shí)抽象概括出方程的意義，已是水到渠成。在課堂上設(shè)計(jì)判斷題，讓學(xué)生自主發(fā)現(xiàn)方程與等式的關(guān)系，加深對(duì)方程意義的理解。

三、在生活情景中，應(yīng)用方程模型

數(shù)學(xué)來(lái)源于生活，應(yīng)用于生活。從天平情景中抽象出方程模型，再用建立的方程模型解決生活中的數(shù)學(xué)問(wèn)題，讓學(xué)生體會(huì)到學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的用處、快樂(lè)和成功感。初步建立的方程模型需要在教師精心設(shè)計(jì)的問(wèn)題情景中實(shí)踐應(yīng)用，進(jìn)一步體驗(yàn)方程模型的價(jià)值。當(dāng)學(xué)生遇到問(wèn)題時(shí)會(huì)有意識(shí)使用方程模型來(lái)解決時(shí)，就體驗(yàn)出“問(wèn)題——模型——應(yīng)用”的全過(guò)程。

例如“方程的意義”教學(xué)片段。

師：同學(xué)們，我們已經(jīng)知道什么是方程，下面我們一起用方程解決生活中的數(shù)學(xué)問(wèn)題可以嗎？

1.請(qǐng)你用方程表示下面的數(shù)量關(guān)系。

師：請(qǐng)同學(xué)們心里想著天平，列出方程，并說(shuō)說(shuō)“=”的左右兩邊各表示什么？

2.不同情景，列出相同的方程。

（1）

（2）

（3）一輛汽車，以每小時(shí)x千米的速度行了4小時(shí)，共行了400千米。

讓學(xué)生獨(dú)自完成，并交流討論。

師：請(qǐng)同學(xué)們觀察這3道題，你有什么發(fā)現(xiàn)？

生：題目不一樣，列出的方程卻相同。

師：咦，老師覺(jué)得奇怪了，3個(gè)問(wèn)題情景各不相同，卻可以列出相同的方程呢？

生：因?yàn)樗鼈冋f(shuō)的其實(shí)是同一件事情，都表示相同的數(shù)量關(guān)系，可以用“每份數(shù)×份數(shù)=總數(shù)”來(lái)表示。

師：你的總結(jié)太到位了！不同的情景可以列出相同的方程，同一個(gè)方程可以表示相同的數(shù)量關(guān)系。想想看，還有那些問(wèn)題也可以用4x=400來(lái)表示呢？

生：5年級(jí)有4個(gè)班，每個(gè)班發(fā)了x本書(shū)，一共發(fā)了400本書(shū)。

……

從前面天平中的相等關(guān)系，到兩輛車上的人數(shù)相等，再到相等關(guān)系隱藏在同一輛車中的數(shù)量，從直觀到抽象，這樣安排符合學(xué)生認(rèn)知的規(guī)律，并引導(dǎo)學(xué)生從現(xiàn)實(shí)的生活情景中抽象出用文字表達(dá)的相等關(guān)系，并用方程表示出來(lái)。而在第2題的練習(xí)中，讓學(xué)生用同一個(gè)方程表示一類問(wèn)題的數(shù)量關(guān)系，將問(wèn)題中非本質(zhì)的情景剝離，剩下相同的結(jié)構(gòu)，感受方程模型的應(yīng)用。

綜上所述，建構(gòu)方程模型是一個(gè)綜合性的過(guò)程。在教學(xué)活動(dòng)中，教師通過(guò)逐層深入，引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷方程模型的建構(gòu)全過(guò)程，可以加深學(xué)生對(duì)方程本質(zhì)的深刻理解，深化知識(shí)的結(jié)構(gòu)。并且在解決問(wèn)題中，學(xué)以致用，凸顯方程的價(jià)值。經(jīng)過(guò)逐層抽象，方程模型能在學(xué)生腦海中逐漸建立起來(lái)。

參考文獻(xiàn)：

[1]中華人民共和國(guó)教育部制定.義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）.北京師范大學(xué)出版社.2012年.

[2]曹紅艷.“方程的認(rèn)識(shí)”教學(xué)片段與反思.小學(xué)數(shù)學(xué)教育.2017.1-2.

[3]姚玉茜.融入現(xiàn)實(shí)情景，構(gòu)建“方程”模型.基礎(chǔ)教育研究.2014年123月（上半年）.

[4]張齊華.方程：從概念走向模型.教育研究與評(píng)論.小學(xué)教育教學(xué).2013年第2期.