解“最值問題”的幾種方法

陳龍

【中圖分類號】G634.6 【文獻標識碼】A 【文章編號】2095-3089（2018） 11-0286-02

最值問題是我們所熟悉的問題，如今，經(jīng)歷了中學乃至大學的知識學習，我們接觸到了各種各類的最值問題，同時我們也相應學習了求解各類最值問題的方法，而這些方法也有助于我們解決生活中各式各樣的最值問題，下面我就為大家歸納下求解最值問題的幾種方法.

一、配方法

對于可以轉(zhuǎn)換成“一元二次函數(shù)型”的函數(shù)，我們都可以利用配方法對其最值進行求解.

例1 求在區(qū)間內(nèi)的最值.

分析 本題看上去較為復雜，包括不同類型指數(shù)的運算，但稍加觀察的話，你就會發(fā)現(xiàn)，此中的函數(shù)是可以轉(zhuǎn)化為“一元二次型的函數(shù)”，再之后，答案也就呼之欲出了：

又，有，所以，當時，取得最大值為；當時，.

二、判別式法

對于一元二次方程，我們可以利用來判斷其是否存在實根，那么對于一個一元二次函數(shù)，若其值域不為空集的話，那么我們就可以認為方程的判別式，由此求得原一元二次函數(shù)的值域，進而就可以求得該一元二次函數(shù)在某定義域內(nèi)的最值情況.

例2 求函數(shù)的最值.

分析 本題可以利用配方法進行求解，但過程較為繁瑣.觀察原題，可以發(fā)現(xiàn)函數(shù)的值域不會為空集，因此可以考慮到利用判別式法進行求解.解法如下：

原等式可化為：

（）

可以得到

若，則有；若，則有.

于是，則；若，則.

這邊需要注意的一點是，我們不能隨意的斷定等號是否會成立，還需要進行一項后續(xù)工作，將等號的值代入原方程，觀察原方程是否有實數(shù)解，即是否有相應的值與對應.若存在，我們就可以直接確定最值了.

三、換元法

對于一些特殊的函數(shù)，我們可以利用換元法對其進行最值求解，基本思想是將某一部分當做一個整體或者用一個新的變量來代替某一整體，達到化繁為簡，化陌生為熟悉，從而幫助我們更加便利的解決問題.換元法通常有三角代換和三角代換兩種.

例3 求函數(shù)的最值.

分析 對于這類含根號的函數(shù)，為了化繁為簡，換元法是比較大眾的方法.求解如下：

由于，則所隱含的定義域為，于是，我們可以令，

則

又，則，故當時，即時，取得最大值為；

當時，即時，取得最小值為

四、不等式法

不等式法求解最值問題主要是利用以下幾個重要的不等式及其變形來處理最值問題的.

不等式：（），其中

調(diào)和平均數(shù)： ② 幾何平均數(shù)：

③算術(shù)平均數(shù)： ④平方平均數(shù)（均方根）：

注意：當且僅當時等號成立.

在用不等式求函數(shù)的最值時，經(jīng)常需要配合某些變形技巧，結(jié)合已知條件進而進行求解.

例4 設，，記中最大數(shù)為，則的最小值為多少？

分析 本題的計算涉及到對數(shù)，準確應用對數(shù)的運算性質(zhì)，認真觀察，發(fā)現(xiàn)其中的技巧.

由已知條件可得所求為中最大的數(shù)，不妨設中最大的數(shù)為A，則.由于，所以，當且僅當時等號成立，此時為最小，那么A能否取到最小值2呢？容易知道，當時，，即A可以取得最小值2，從而的最小值為.

五、單調(diào)性法

求解函數(shù)在指定區(qū)間的最值的時候，我們應該考查該函數(shù)在該指定區(qū)間內(nèi)的單調(diào)性情況.如果函數(shù)在該區(qū)間內(nèi)是單調(diào)的，則該函數(shù)的最值在區(qū)間的端點上取得.若函數(shù)在該區(qū)間上并不是單調(diào)的，則我們就可以考慮把該區(qū)間分割成若干個小的區(qū)間，目的是使得該函數(shù)在分割的每一個小區(qū)間上是單調(diào)的，再求出各個小區(qū)間上的最值情況，通過比較，得到整個區(qū)間上的最值.

例5 設函數(shù)是奇函數(shù)，對于任意均有關(guān)系，若時，且.求在上的最大值和最小值.

分析 本題若能確定在上的單調(diào)性，其最值也就可以相繼求得.下面來考察在上的單調(diào)性：

設任意且，則.由題設可知，為奇函數(shù)，且，，則，

則在上單調(diào)遞減，即在兩端點處取得最值.

因為，則，進而.

又故在上的最大值為，最小值為

六、導數(shù)法

對于基本初等函數(shù)以及某些復合函數(shù)，我們可以利用導數(shù)這一工具有效的對其進行最值求解.設在上是連續(xù)，在上是可導，則在上的最大值和最小值就是在內(nèi)的每個極值與中的最大值與最小值.利用導數(shù)的方法進行最值的求解適用性廣，在解題的時候應該優(yōu)先考慮.

例6 求數(shù)列的最大項.

分析 結(jié)合導數(shù)法，就可以較為簡便的求出該數(shù)列的最大項.

設，則令，得，，又，可知，數(shù)列的最大項是第10000項，值為.

七、構(gòu)造方差法

由于方差恒大于或者等于0的特征，我們也可以利用方差解決某些的最值問題.

例7 確定最大的實數(shù)Z，使得實數(shù)滿足：

，.

分析 按照常規(guī)的思路，本題不容易攻克，可以巧妙的構(gòu)造方差進行最值的求解.

由題設，知，

，構(gòu)造的方差得，

所以，解得，故Z的最大值是.

八、三角函數(shù)最值的常見求法

1.巧用定義域

求解三角函數(shù)的最值問題，在大多數(shù)的題目中，我們必須清楚該函數(shù)的定義域，這是解決題目的基礎(chǔ)和重要前提.

例8 已知，求得最大值和最小值.

分析 此類三角函數(shù)可以視作為

或的形式，求解其最值的過程中，根據(jù)已知條件中X的范圍，我們就可以求解出的最值.在本題中：原函數(shù)可以轉(zhuǎn)化為

又因為，可求得：，進一步即可以求得，則可以得到函數(shù)的最大值為2，最小值為.

2.巧用已知條件

大多數(shù)的數(shù)學題型中，題干中所給出的條件都有其特殊的作用和功能，所以，在解題的過程中，我們不能忽視任意一個條件.

例9 已知，求的最小值.

分析 本題的題目比較單一，已知條件顯而易見的就一個，我們要做的是如何正確的去用好這個已知條件.當然，我們也不能盲目地瞎猜，根據(jù)題目要我們求的東西去巧妙地利用好這個已知條件.

根據(jù)題設，我們可以得到

現(xiàn)在，我們只需要確定的取值范圍即可求解出原代數(shù)式的最小值.又，即所以可求得，故當時，原式有最小值為

3.巧用換元法

對于一些較為復雜的三角函數(shù)，為了求解的方便，我們可以去尋找題干的特點，化繁為簡，換元法一般是首選.

例10 已知，求的最大值和最小值.

分析 對于三角函數(shù)，我們應該清楚，其存在著這么一種轉(zhuǎn)化關(guān)系：

此中就啟發(fā)我們可以運用換元法快捷簡便地解決相應三角函數(shù)的最值問題.

本題中，我們可以設

則.

又，

故當時，，當時，.

4.巧引輔助角

三角函數(shù)是一個特殊的函數(shù)，自然也有其獨門的“法寶”——輔助角公式，能否巧妙地運用輔助角公式也是能否成功解題的關(guān)鍵.

例11 求函數(shù)的最值.

分析 直觀地來看，這是一個分式代數(shù)式，分子、分母中均含有三角函數(shù)，這無疑給解題增添不少難度，但如果我們對其做一個稍微的變形，情況可能就不一樣了：

原函數(shù)可變?yōu)椋海^察這個等式的特點，聯(lián)想到輔助角公式，就可以得到：

（為輔助角）

即：

由得到：，

兩邊平方并整理，得：，

解得：，所以.