自動控制原理課程中的頻域分析法的教學(xué)探討

賀容波 張捍東 張世峰 孔慶凱

本文對自動控制原理課程中頻域分析法的教學(xué)內(nèi)容和教學(xué)方法進(jìn)行了初步探討。著重討論了系統(tǒng)頻域分析內(nèi)容的主要特點(diǎn)和教學(xué)重難點(diǎn)，并列舉了教學(xué)實(shí)踐中普遍存在的問題，歸納總結(jié)了產(chǎn)生這些問題的內(nèi)在原因。并從這些原因入手，有針對性的提出了一些改進(jìn)的教學(xué)方法和建議。為了能夠更好地將所述方法應(yīng)用于實(shí)踐，筆者通過一個(gè)教學(xué)案例，詳細(xì)闡述了上述教學(xué)方法的應(yīng)用。

1 頻域分析方法的特點(diǎn)

頻率響應(yīng)分析法的基本思想是把控制系統(tǒng)中的所有變量當(dāng)作一些由不同頻率的正弦信號所合成的信號來處理，其理論基礎(chǔ)為傅里葉變換。由線性系統(tǒng)的疊加原理，可以得到各個(gè)變量的運(yùn)動響應(yīng)就是系統(tǒng)對不同頻率信號的響應(yīng)總和。這種方法的引入克服了直接用微分方程研究系統(tǒng)的困難，解決了許多理論問題和工程問題，迅速形成了在頻率分析和綜合的整套方法，即頻率響應(yīng)分析方法。相比于其他分析方法，其具有以下幾個(gè)方面特點(diǎn)：

1）頻率響應(yīng)方法的物理意義鮮明。按照頻率響應(yīng)的觀點(diǎn)，一個(gè)控制系統(tǒng)的運(yùn)動無非是信號在一個(gè)一個(gè)環(huán)節(jié)之間依次傳遞的過程；每個(gè)信號又由一些不同頻率的正弦信號合成；在傳遞過程中，這些正弦信號的振幅和相角依嚴(yán)格的函數(shù)關(guān)系變化，產(chǎn)生形式多樣的運(yùn)動。與把控制系統(tǒng)“一攬子”地表示成一組微分方法的做法相比，頻率法的因果概念顯然更強(qiáng)，更容易理解，特別是便于啟發(fā)人們區(qū)分主要因素和次要因素，進(jìn)而考慮改善系統(tǒng)性能的辦法。

2）可以用實(shí)驗(yàn)方法求出對象的數(shù)學(xué)模型。這一點(diǎn)在工程上價(jià)值很大，特別是對于機(jī)理復(fù)雜或機(jī)理不明而難以列寫微分方程的對象，頻率響應(yīng)的觀點(diǎn)提供了重要的實(shí)驗(yàn)處理方法；

3）頻率響應(yīng)法的大部分工作可用作圖完成。圖解法的使用使它有較強(qiáng)的直觀性，也便于研究參數(shù)變化對系統(tǒng)動態(tài)性能的影響，便于工程應(yīng)用。

2 頻域分析方法的教學(xué)內(nèi)容

控制系統(tǒng)的頻域分析部分的教學(xué)內(nèi)容主要包括：頻率特性的基本概念；典型環(huán)節(jié)的頻率特性、伯德圖和奈奎斯特曲線表示；奈奎斯特穩(wěn)定性判據(jù)；控制系統(tǒng)的相對穩(wěn)定性。上述五個(gè)方面構(gòu)成了頻率法理解掌握的核心，其中頻率特性是本童的基礎(chǔ)，貫穿始終；伯德圖和奈奎斯特曲線是頻率特性的表現(xiàn)形式，需要掌握其繪制技巧；奈奎斯特穩(wěn)定性判據(jù)是頻率特性在系統(tǒng)穩(wěn)定性分析中應(yīng)用，是本章的難點(diǎn)，其結(jié)論表現(xiàn)形式依據(jù)頻率特性的不同圖形表現(xiàn)形式有不同的表述。經(jīng)過長期的教學(xué)實(shí)踐，學(xué)生在學(xué)習(xí)頻域分析法時(shí)容易出錯(cuò)和難理解的內(nèi)容可以概括為以下幾個(gè)方面：

1）頻率特性的定義

系統(tǒng)對正弦輸入的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)稱為頻率響應(yīng)。該定義包含以下三個(gè)方面：系統(tǒng)必須滿足穩(wěn)定條件；輸入信號為正弦信號或余弦信號，一般教材上以正弦輸入信號為例，但是需要明確余弦信號也同樣適用；響應(yīng)指的是穩(wěn)態(tài)響應(yīng)。學(xué)生在理解上容易出現(xiàn)偏差，如輸入信號容易誤認(rèn)為正弦信號而忽略余弦信號、把系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)相應(yīng)片面的看成系統(tǒng)響應(yīng)除此以外分清楚開環(huán)頻率響應(yīng)和閉環(huán)頻率響應(yīng)的關(guān)系。

2）奈奎斯特曲線及其繪制

在復(fù)平面上，當(dāng)ω由0～∞變化時(shí)，向量G（ jω）端點(diǎn)的軌跡，稱為幅相頻率特性圖即極坐標(biāo)圖通常又稱為奈奎斯特圖。在繪制時(shí)要注意奈奎斯特曲線只是依據(jù)頻率特性G（ jω）繪制的概略曲線，要注重它的起點(diǎn)、終點(diǎn)和中間點(diǎn)（與實(shí)軸的交點(diǎn)或與虛軸的交點(diǎn)）的求取，其他部分則不必關(guān)心。然而，學(xué)生在繪制該曲線時(shí)則采用給定頻率計(jì)算頻率特性的取點(diǎn)法繪制，這種方法忽略了繪制的G （jω）是概略曲線的事實(shí)。

3）伯德圖及其繪制

傳統(tǒng)坐標(biāo)系標(biāo)度都是以十進(jìn)制為單位，而伯德圖m軸是對數(shù)頻率特性坐標(biāo)系標(biāo)度，其以對數(shù)刻度來表示十進(jìn)制單位中的距離1，相較于線性坐標(biāo)對數(shù)坐標(biāo)系的引入有以下兩方面的優(yōu)勢：1）可以方便在頻率域中對系統(tǒng)的觀察，其突出的優(yōu)點(diǎn)在于，對數(shù)坐標(biāo)能夠把小區(qū)間放大，大區(qū)間縮小，如區(qū)間[0.01 0.1]和[10 100]在對數(shù)坐標(biāo)上所占的距離大小都是1；2）同時(shí)，系統(tǒng)的參考信號大都是低頻信號，噪聲信號為高頻信號，因而實(shí)際分析中要對低頻段進(jìn)行放大，高頻段進(jìn)行縮小，這樣對系統(tǒng)感興趣的頻段進(jìn)行分析。3）對數(shù)坐標(biāo)的引入，有利于用分段線性函數(shù)對頻率特性進(jìn)行逼近，方便了頻率特性的圖形表示。

在伯德圖的對數(shù)幅頻特性繪制上也是采用近似的方法，即將相應(yīng)的傳遞函數(shù)在不同頻率范圍內(nèi)近似成由比例和積分環(huán)節(jié)組成的傳遞函數(shù)，在依據(jù)近似的傳函來繪制漸近對數(shù)幅頻特，因而表現(xiàn)出分段特性。這一技巧的靈活使用是繪制伯特圖的基礎(chǔ)，部分同學(xué)由于對這種方法缺乏理解，導(dǎo)致在繪制對數(shù)幅頻特性無從下手。

4）幅角定理的理解

在講解奈奎斯特穩(wěn)定判據(jù)的時(shí)候，首先要介紹幅角定理，特別要強(qiáng)調(diào)該定理的條件和結(jié)論。在幅角定理的條件—一“在s平面上封閉曲線C域內(nèi)共有P個(gè)極點(diǎn)和Z個(gè)零點(diǎn)，且封閉曲線C不穿過F（s）的任一個(gè)極點(diǎn)和零點(diǎn)”，要特別強(qiáng)調(diào)封閉曲線C中的P個(gè)極點(diǎn)和Z個(gè)零點(diǎn)是考慮重根數(shù)的和不穿過F（s）的任一個(gè)極點(diǎn)和零點(diǎn)；在結(jié)論部分—一“當(dāng)s順時(shí)針沿封閉曲線C變化一周時(shí)，在F（s）平面上對應(yīng)的映射封閉曲線CF逆時(shí)針包圍原點(diǎn)N=P -Z周”，要強(qiáng)調(diào)N>O逆時(shí)針，N

5）穩(wěn)定裕度

學(xué)生對系統(tǒng)的穩(wěn)定裕度具有思維定勢，仍然局限在時(shí)域內(nèi)，即認(rèn)定特征值離虛軸距離越遠(yuǎn)，系統(tǒng)的穩(wěn)定裕度越高。然而，若利用幅值裕度和相角裕度的概念來講解穩(wěn)定裕度時(shí)，盡管有數(shù)學(xué)指標(biāo)作為參考，但是對這兩個(gè)穩(wěn)定裕度的理解仍然不夠深刻。

根據(jù)調(diào)查分析，產(chǎn)生上述問題的客觀原因主要有以下幾點(diǎn)：（1）對頻率特性的概念缺乏直觀的了解，只停留在書本的公式推導(dǎo)上，然而學(xué)生對繁瑣的數(shù)學(xué)公式推導(dǎo)難以理解，這直接影響了課程的學(xué)習(xí)和知識點(diǎn)的理解；（2）頻率分析方法主要是圖解分析方法，不論是伯德圖的繪制還是奈奎斯特曲線的繪制都是一種近似，因而在兩種圖的繪制時(shí)如何快速的把握其繪制技巧是本章學(xué)習(xí)的關(guān)鍵。（3）課本中的例子很少涉及生活中的實(shí)際應(yīng)用系統(tǒng)，使得學(xué)生誤認(rèn)為頻域分析理論在實(shí)際過程之中沒有應(yīng)用價(jià)值，對這一部分內(nèi)容學(xué)習(xí)興趣下降。

3 頻域部分的教學(xué)方法探討

針對上述教學(xué)中普遍存在的問題，筆者建議采用如下有針對性的教學(xué)方法進(jìn)行改進(jìn)。

1）凝煉教學(xué)內(nèi)容，突出教學(xué)主線

實(shí)踐表明，一堂好的課并不在于教了多少知識，而在于學(xué)生掌握了多少知識，因而切實(shí)提高課堂效率才是決定教學(xué)方法成敗的關(guān)鍵。頻率分析法自身內(nèi)容豐富，知識點(diǎn)多而雜，但是作為教學(xué)沒有必要面面俱到，講的太多很容易讓學(xué)生形成走馬觀花的感覺，形成視覺疲勞，降低課堂學(xué)習(xí)效率。因而筆者認(rèn)為在課堂教學(xué)前要有選擇性的對重難點(diǎn)進(jìn)行凝煉，對講課內(nèi)容進(jìn)行選擇，每次上課時(shí)最好能夠用圖和表格將本次課的內(nèi)容集中地呈現(xiàn)給學(xué)生，使其在上課時(shí)對重難點(diǎn)有個(gè)全面的了解。教師在講解過程中，保證在每一節(jié)課的講授過程中，始終以一個(gè)知識點(diǎn)為主線帶動其他知識點(diǎn)，這樣可以加深學(xué)生的記憶，有益于學(xué)生對知識點(diǎn)的理解。

2）合理利用課堂教學(xué)時(shí)問，提高課堂學(xué)習(xí)效率

根據(jù)筆者的教學(xué)觀察，在每一節(jié)課前20分鐘的時(shí)間中學(xué)生的注意力最為集中，因而要充分利用這段時(shí)間。每堂課應(yīng)該將大部分較難理解的理論知識集中在這一時(shí)間段講解。在講解理論知識時(shí)，應(yīng)該要注重結(jié)合圖形表格來闡述，使得理論形象化。在余下的時(shí)間，學(xué)生的注意力將有一定的分散此時(shí)，不斷地采用例子對所講授的知識點(diǎn)進(jìn)行反復(fù)訓(xùn)練，甚至可以嘗試讓學(xué)生自己走上講臺練習(xí)。此外，還應(yīng)當(dāng)注重結(jié)合生活中的實(shí)際應(yīng)用，利用前面的理論知識進(jìn)行實(shí)例分析，從而提高學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，增強(qiáng)教學(xué)效果。

3）充分利用多媒體手段強(qiáng)化課堂實(shí)踐教學(xué)

現(xiàn)有的課堂教學(xué)主要以多媒體課件為主，在適當(dāng)?shù)募尤氚鍟瑯O大地豐富了課堂教學(xué)的信息量，提高了教學(xué)效率。然而據(jù)筆者觀察，當(dāng)前的多媒體課件多以圖片、文字和公式靜態(tài)影響為主，動態(tài)的部分并不多。為了調(diào)動學(xué)生的課堂學(xué)習(xí)氣氛，并將課堂知識進(jìn)行擴(kuò)展，可以在多媒體課件中插入Matlab仿真和實(shí)驗(yàn)小視頻，真正的讓課堂教學(xué)的知識點(diǎn)動起來，讓學(xué)生在課堂理論學(xué)習(xí)之余將其應(yīng)用到實(shí)踐中去，起到調(diào)動學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，培養(yǎng)分析問題及決問題的能力。

4 教學(xué)實(shí)踐

現(xiàn)在，我們對頻域分析教學(xué)中存在的問題，歸納出相應(yīng)的解決方法，大致分為以下三個(gè)步驟：凝煉教學(xué)內(nèi)容，充分借助圖或表格將課堂要點(diǎn)集中地呈現(xiàn)給學(xué)生，使其全面的了解重難點(diǎn)；爭取在一堂課的前20分鐘以內(nèi)講授完該節(jié)課有關(guān)知識點(diǎn)。通過多媒體手段，構(gòu)建基于實(shí)際模型的例子，在進(jìn)行理論分析之余，利用Matlab上進(jìn)行仿真驗(yàn)證；進(jìn)行實(shí)驗(yàn)教學(xué)，將理論知識實(shí)際化，使得學(xué)生懂得學(xué)以致用，最終理解所學(xué)習(xí)的知識點(diǎn)。下面以頻域分析中的頻率特性為例，給出一個(gè)具體的教學(xué)案例。

（1）闡述頻率特性的基本概念

線性定常系統(tǒng)在正弦信號作用下，穩(wěn)態(tài)輸出的復(fù)變量與輸入的復(fù)變量之比稱為系統(tǒng)的頻率特性，記為

幅頻特性A（ω）= |G（jω）| -輸出幅值與輸入幅值之比：

相頻特性φ（ω）=ω∠G（jω）——輸出相角與輸入相角之差。

該定義包含以下三個(gè)方面：系統(tǒng)必須滿足穩(wěn)定條件；輸入信號為正弦信號或余弦信號；響應(yīng)指的是穩(wěn)態(tài)響應(yīng)。

在定義的基礎(chǔ)上對引導(dǎo)學(xué)生參照教材相關(guān)內(nèi)容對上述公式進(jìn)行推導(dǎo)。

（2）實(shí)例matlab仿真教學(xué)演示

通過仿真讓學(xué)生直觀感受頻率特性的物理含義，從仿真結(jié)果驗(yàn)證頻率特性公式推導(dǎo)的正確性。進(jìn)一步，將系統(tǒng)的開環(huán)增益10調(diào)整為40，由Routh判據(jù)可知，此時(shí)系統(tǒng)不穩(wěn)定，系統(tǒng)此時(shí)的輸入輸出曲線如圖3所示。從圖中可以看出頻率響應(yīng)是以系統(tǒng)穩(wěn)定為前提的。

（3）通過搭建電路實(shí)驗(yàn)來進(jìn)一步驗(yàn)證上述的理論分析結(jié)論的正確性。

筆者根據(jù)以往的教學(xué)經(jīng)驗(yàn)以及自動控制原理課程的特點(diǎn)，總結(jié)了該課程頻域部分教學(xué)中普遍存在的問題，并討論了這些問題存在的原因。與此同時(shí)，筆者還有針對性地介紹了一些解決這些問題的方法。最后通過一個(gè)教學(xué)案例，闡述了如何運(yùn)用所介紹的教學(xué)方法解決已有的教學(xué)問題。