智能轉化“有且只有”生成自然解法

江蘇省太倉市第一中學 (215400) 朱建良

《數學課標(2011)版》指出“注重結合具體的學習內容，設計有效的數學探究活動，使學生經歷數學的發生發展過程，是學生積累數學活動經驗的重要途徑”.教師在教學設計中應基于課標要求和教材內容，依據學情，因材施教，提供豐富的數學思維活動素材，幫助學生提升幾何圖形直觀和合情推理能力，筆者嘗試立足于幫助學生從函數觀點、運動觀點理解“有且只有”的數學涵義，在系列探究活動中明白數學思維之道，優化解題之術，優化數學思維品質.

數學是一門嚴謹的學科，在語言表達上嚴格要求準確規范、準確傳達意思，筆者嘗試以“有且只有”數學語言為幾何探究主線，以函數、方程等幾何核心知識和性質為載體，結合拋物線問題背景，由點到線，再及面，提煉共性，探求多題通解，嘗試衍生變式問題，意在指向數學內涵與本質展開討論，請同行指正.

1.解讀內涵，明確任務

我們初學幾何時，學習了幾何基本事實：“在平面上，過兩點有且只有一條直線”， “在同一平面內，過一點有且只有一條直線與已知直線垂直”等.“有且只有”是由“有一個”與“只有一個”復合而成的，其中“有一個”說明對象是存在的，“只有一個”說明對象是唯一的，所以“有且只有一個”說明對象有“存在性”和“唯一性”.

數學語言“有且只有”的相關數學問題蘊含了初中數學核心知識，如：函數、方程、距離與坐標關系，直線與圓的位置關系等，同時以“有且只有”為問題情境的數學問題突出了對學生運算，圖形直觀判斷，演繹推理等多種能力的考查.

筆者在初中九年級數學教學過程中，嘗試以拋物線問題情境下的“有且只有”問題為數學思維的載體，結合二次函數、方程、相似三角形、圓等核心知識設計問題，引導學生思考：(1)解決此類問題的難點是什么？(2)關鍵是什么？(3)解決問題運用了哪些數學基本方法？運用了哪些基本概念和原理？此類問題如何變式推廣？(4)如何在正確理解各變量之間關系的基礎上，建立合理的數學模型，解決問題？通過專題探究活動，深入拋物線及相關問題核心，優化學生數學理性思維品質.

2.剖析方法，揭示本質

嘗試在課堂教學中運用啟發性教學原則，引入“形”的觀察，給學生研究數學問題帶來直觀的空間感受.引導學生體驗數學方法對“有且只有”意境的解釋，從細節入手，深刻領悟“有且只有”所要滿足條件的內涵，挖掘有效的轉化策略，自然、真實地展開數學發散思維，喚起學生欲發現、想探究、思創造的愿望.

圖1

問題1 如圖1，拋物線y=k(x+1)(x-3k)(k>0)，與x軸分別交于A、B兩點，與y軸交于C點，連接BC，過A點作AE∥CB交拋物線于E點，若在直線AE上有且只有一點Q，連接OQ、BQ，使OQ⊥BQ，求k的值？

問題啟智：(1)如何由“有且只有一點Q”聯想幾何模型，轉化OQ⊥BQ？(2)如何從不同角度分析、聯想，實現點的坐標與線段長度之間的轉化？(3)如何捕獲圖形隱含的相似三角形，尋求圖形運動過程中不變的數量關系？

設計意圖:對特定的數學語言“有且只有”轉化在幾何圖形中，在“數形結合”的角度重新審視分析問題，在建立數學模型，類比轉化的探究過程中，提升學生的自主歸納和數學語言的互譯轉化能力.

3．理清關系，講清道理

數學是思維的科學，尋求問題的解法，只能由學生自己感悟，學生在仔細觀察、思考中疏理相關知識點，由表及里，逐層深入，透過現象審視幾何圖形的直觀，剖析由特殊點對應的數量關系，逐步弄清問題的關鍵所在，明晰解題思路.

圖2

拓展如圖2，拋物線y=-x2+2x+3與x軸交于A、B兩點，與y軸交于C點，M為拋物線頂點，直線MD⊥x軸于D點，點N為線段MD上一個動點，以N為等腰三角形的頂角頂點，NA=NG，等腰ΔNAG，G點落在直線CM上，若在直線CM上滿足條件的G，有且只有一個時，求點N的坐標.

問題啟智：(1)如何構建輔助圓？類比轉化問題？(2)“點G有且只有一個”，如何在“形”的描述上直觀刻畫？(3)如何合理分類，避免漏解？

圖3

如圖3，“有且只有一個G點”還可理解為，以AN2為半徑作⊙N2，RtΔAGK中，有N2A=N2G=N2K，而A、N2、K三點一直線時，不能構成三角形，此時N2(1,3)，K(3,6).

設計意圖：把所討論的點進行數量和位置上的鎖定，鎖定在輔助圓上，確保結果不漏解，由抽象到具體，直觀的輔助圓幫助學生充分感受特殊點之間的內在聯系，提升了學生的理解能力.

4．類比遷移，拓展延伸

由特殊動點衍生特殊圖形面積問題展開探究，深刻理解“有且只有”的特定涵意，直觀感知由量變到形變的內在規律，從而掌握如何確定量的關系特征，在形的“變化”中找到“不變”的特征量，以外顯尋求動點發展內涵的數學思維，再把此問題類比拓展，把探究活動經驗升華為分析問題和解決問題的能力.

圖4

問題啟智：(1)如何把動點P的特殊位置直觀轉化為不等式的討論區間？(2)如何理解動點P“有且只有一個”與“有且只有兩個”的區別？(3)如何設未知數，用數量關系描述圖形面積的變化規律？

設計意圖：類比探究拋物線背景下的特殊三角形的面積問題，在對比疏理中解有所悟，理解“有且只有兩個動點P”的一般轉化思路，避免學生形成思維定勢，加深了學生對幾何圖形面積最值問題與一元二次方程等知識的深層理解，有效訓練了學生思維的敏捷性.

5．啟迪思維，探求規律

深入淺出，把抽象的問題具體化，把復雜的問題最大限度地簡單化，這是數學教學的真諦，通過學生歸納、猜想、推理證明，引導學生體驗感悟數學分類討論、特殊與一般、化歸的數學思想方法，挑戰數學思維的深度和發散性，揭示問題的本質和規律，引導學生轉換視角，學會靈活處理“有且只有”相關問題.

圖5

問題啟智：(1)如何借助圖形的直觀性，突破難點，理解“有且只有兩個動點Q”？(2)如何聯系數學最值問題構造幾何模型，求解ΔQCA面積的最大值？(3)如何揭示此類面積最值問題的深層思維結構？疏理出一般解題規律？

設計意圖:由直線與拋物線的交點衍生出分類討論的特殊三角形面積問題，演繹了用函數思想解決相關“有且只有兩個動點Q” 問題的策略，幫助學生深刻理解變化圖形的內在特征，積累解題經驗，洞察問題本質，學會建模，善于轉化.

通過拋物線背景下動點問題的系列探究活動，幫助學生學會在直線與拋物線的交點上做文章，巧妙轉化，發展了學生的建模能力，幫助學生掌握了借助函數圖像使抽象的“有且只有”問題形象化、直觀化，實現數學思維可視化，解題過程條理化，因此“數形結合”是解決此類問題的關鍵.

數學教學過程應重視學生有效的思維活動，探究活動設計必須有一個專題，有一個明確的學習目標，本案例設計了一個有價值的數學語言轉化的探究活動，為學生提供了一個數學問題情境和可供學生進行有效活動的拋物線背景的序列問題，并運用問題意識激發學生強烈的學習愿望，在探究拋物線問題中的特殊動點問題的變化規律過程中，幫助學生深刻、精準理解“有且只有”的數學涵意，訓練學生的分析、綜合、概括、判斷、推理等初步邏輯思維能力由低級向高級逐步提升，提高了數學教學設計的有效性，提升了學生的數學素養.