基于圓錐曲線一種切線畫法的試題命制

福建省泉州第五中學 (362000) 李萍萍 楊蒼洲

1.圓錐曲線切線的作法

1.1 過橢圓上點S的切線的作法

①任作一條直線m垂直于橢圓的長軸A1A2；

②作直線A1S、A2S分別交直線m于I、J兩點；

③作線段IJ的中點T，則直線ST即為所求的切線l.

圖1

設IJ的中點T(x1,y1)，則x1=t，y1=

圖2

1.2 過雙曲線上點S的切線的作法

①任作一條直線m垂直于雙曲線的實軸A1A2；

②作直線A1S、A2S分別交直線m于I、J兩點；

③作線段IJ的中點T，則直線ST即為所求的切線l.

證明同上.

1.3 過拋物線上點S的切線的作法

設拋物線y2=2px(p>0)的頂點為O，S為拋物線上一點，過點S作拋物線的切線l，作法如下：

①任作一條直線m垂直于拋物線的對稱軸；

②作直線OS交直線m于I點，作平行于對稱軸的直線SJ交直線m于J點；

③作線段IJ的中點T，則直線ST即為所求的切線l.

證明同上.

2 基于圓錐曲線切線作法的試題命制

題1 已知拋物線x2=2py(p>0)，焦點F到準線l的距離等于2.

圖3

(Ⅰ)求拋物線E的方程；

(Ⅱ)若直線AB過拋物線的焦點F交拋物線于A,B兩點，C,D為l上的兩點，AC⊥l,BD⊥l,E為線段CD的中點，證明：AE,BE分別與拋物線C相切于點A,B.

解析：(Ⅰ)∵p=2，∴拋物線x2=4y.

同理可證：直線BE與拋物線相切.

圖4

(Ⅰ)求橢圓E的方程；

(Ⅱ)給出命題：“已知P是橢圓E上異于A1,A2的一點，直線A1P,A2P分別交直線l:x=t(t為常數)于不同兩點M,N,，點Q在直線l上.若直線PQ與橢圓E有且只有一個公共點P，則Q為線段MN的中點”，寫出此命題的逆命題，判斷你所寫出的命題的真假，并加以證明;

(Ⅲ)試研究(Ⅱ)的結論，根據你的研究心得，在圖5中作出與該雙曲線有且只有一個公共點S的直線m，并寫出作圖步驟.

(注意：所作的直線不能與雙曲線的漸近線平行.)

圖5

(Ⅱ)逆命題：“已知P是橢圓E上一點，直線A1P、A2P分別交直線l:x=t(t為常數)于M、N兩點，若Q為線段MN的中點，則直線PQ與橢圓E有且只有一個公共點P”為真命題.

證明如下：

圖6

(Ⅲ)如圖6，①任作一條直線n垂直于實軸；②作直線A1S、A2S分別交直線n于I、J兩點；③作線段IJ的中點V，則直線SV即為所求的直線m.