圓錐曲線的弦方程及其應用

浙江省寧波市北侖中學 (315800) 吳文堯

圓錐曲線問題一直是數學高考和競賽的熱點問題，也是高中數學中的難點內容之一,成為難點的其中一個重要原因是過不了“運算關”，常常陷入繁雜的運算而不能自拔,當涉及圓錐曲線的弦時，通常的處理方法是把直線方程代入曲線方程，整理得到一個關于x或y的一元二次方程，從而把問題化歸為一元二次方程有關問題來解決，其過程之艱辛大家深有體會.若在解題中能回避把直線方程代入曲線方程，則往往可簡化運算過程,筆者發現若在解題中合理地使用圓錐曲線弦所在直線的方程，則能做到這一點.

一、圓錐曲線的弦方程.

1.橢圓的弦所在直線的方程

2.雙曲線的弦所在直線的方程

3.拋物線的弦所在直線的方程

說到課桌上睡覺，不是實在犯困，誰能睡得著？睡著了被吵醒，誰能有多少好心情？再說，朦朧中醒來抱怨的一句話，也未必一定是對老師的大不敬，也許，她根本就沒弄清楚是誰攪了她的美夢呢？

二、圓錐曲線的弦方程的應用舉例

圖1

分析：易見本題的本質是一個圓錐曲線中的定點問題，當直線l確定時，整個圖形就完全確定，所以按常規的解法，可以設直線l的斜率k為參變量，則點H的坐標(x0,y0)隨k的變化而變化，要證明點H為定點，注意到點H在直線x=2y上，所以可“裝腔作勢”地把點H的縱坐標y0用k表示之，表示以后會發現其值與k無關，要把點H的坐標用k表示之,可以通過把直線l的方程代入橢圓的方程,再運用一元二次方程根和系數的關系建立(x0,y0)與k的關系式,這可是一件很難完成的任務.若利用橢圓的弦方程,則可回避直線方程代入曲線方程.

設M(2cosθ,sinθ)，則直線NM的方程為

評注:注意到R,M,N均是橢圓上的點,上述解法中選擇這三點所對應的參數為變量,剛開始共有三個變量,由于直線MN過定點Q,直線RM斜率為定值,由此可減少兩個參變量,所以本質上只有一個參變量,當運用條件減少到只含一個參變量時,問題也隨之解決了.

圖2

分析：由于雙曲線關于x軸對稱,要證明A和A0關于x軸對稱,只須證明這兩點的橫坐標相等,注意到當直線AB的斜率確定時,A,A0的橫坐標也隨之確定,故可設法把這兩點的坐標用直線AB的斜率表示之.通常方法還是把直線BA方程代入雙曲線的方程解決之,但在具體操作中往往陷入繁雜運算而不能自拔,而運用雙曲線的弦方程,為我們開啟了解決問題的另一扇門.

評注:本題解題思想方法與例1本質上相同,即先選定三個參變量,然后通過運用直線AB,A0B分別過定點F,M減少變量,從而使問題得到解決.

圖3

例3 如圖3，已知拋物線y2=2px及定點A(a,b),B(-a,0),其中ab≠0,b2≠2pa，M是拋物線上的點，設直線AM,BM與拋物線的另一個交點分別為M2,M1.

證明：當M點在拋物線上變動時(只要M1,M2存在且M1≠M2)直線M1M2恒過一個定點，并求出這個定點的坐標.

分析：要證明動直線M1M2過一個定點，只需寫出這條動直線的方程，使其方程中僅有一個參變量.易見動直線M1M2隨點M的變化而變化,“照理”可選擇點M的坐標作為動直線的參變量，但要把直線M1M2的方程用點M的坐標表示之是件很不容易的事，再注意到M，M1，M2三點的地位等價，且其中一個點確定，另兩個點也隨之確定，ΔMM1M2三邊所在直線方程的寫法是一樣的，設M(2pt2,2pt)，

從以上三例不難發現,運用曲線的弦方程的解題套路基本相同,即先寫出曲線弦的方程,然后利用曲線的弦過某一定點得到相關參數的方程,再運用這個方程達到減少參數目的,從而使原問題得到解決.