突出實用特性的線性代數教學方法探索

劉明

摘 要 針對線性代數課時短、難度大導致的教學效果不理想問題，不同于傳統的教學方式，本文提出了一種突出實用特性的線性代數教學方法。通過理論聯系實際的教學方法激發學生學習線性代數課程的主動性，提高學生對抽象數學公式的直觀認知，實現教學質量的有效提升。

關鍵詞 線性代數 實用特性 教學方法

0 引言

線性代數是數學的一個重要分支，同微積分一樣，是一門重要的數學課程。它是處理矩陣和向量空間的數學分支，是一門非常有效的工具學科，在現代科學的各個領域都有廣泛的應用。[1-2]

線性代數是工科各專業必修的一門基礎理論課，是學生后續進行科學研究和工程實踐必須掌握的基礎課程。可以說，線性代數已經滲透入了生產和生活中的方方面面，在關系國計民生、國防安全、航空航天等重要領域中發揮著重要的作用。[3-4]由于該課程在本質上是一門數學學科，而且學時少、內容多、難度大，[5-6]對于這種性質的課程，單純依靠授課老師以傳統方式進行授課，很難取得滿意的教學效果，容易使學生產生厭學情緒。如何提高學生的學習興趣，激發起學生的學習主動性至關重要。已經有諸多學者提出了結合MATLAB進行線性代數的教學方法，并取得了一定程度教學效果的改善。[7]然而，除了在教學手段上采用傳統板書教學與多媒體課件相結合的方式以外，還需要在教學設計上狠下功夫，提高學生的學習積極性，積極開拓學生思維，培養分析問題和解決問題的能力，這是提高線性代數教學質量的必經之路。

1 線性代數學科的特點

線性代數這門課程概念很多，內容抽象難懂，且學習內容前后聯系非常密切，概念、性質、運算法則多而雜。大部分學生為了應付考試，主要是依靠大量做題來提高成績，而對于數學思想和理念，則感到茫然無措，無法深入理解線性代數的精髓。

線性代數是目前很多非數學專業大學生必修的基礎課程之一，如電子信息類專業、通信工程類專業、計算機機科學類專業、機械工程類專業、控制科學類專業、航空航天類專業等，是相關專業碩士研究生學習、博士研究生學習的基礎。各個階段的學生畢業以后，無論后續從事科學研究還是工程設計工作，均與線性代數息息相關，其已經滲透進了我們生活和工作中的點點滴滴。在計算機日益普及的今天，線性代數課程的地位和作用顯得更為重要。由于線性代數問題廣泛存在于自然科學和工程技術的各個領域，而某些非線性問題在一定條件下也可以轉化為線性問題，因此線性代數的理論和方法得到了廣泛的應用。但是，線性代數的高度抽象性和邏輯嚴謹性讓許多大學生望而生畏，感到枯燥乏味，很難產生主動學習的興趣，大多學生僅僅是為了應付考試而進行被動學習。

欲使學生學好線性代數，強化學生的自主學習興趣是核心所在，作為主講老師需要從根本上改善數學學科的繁難、枯燥、乏味等負面特點，使學生在學習線性代數的過程中能享受到樂趣。線性代數是一門思維抽象且邏輯性強的學科，課堂上如何使抽象的概念通俗化、復雜的知識簡明化，在有限的時間里，如何使學生的邏輯思維得到最大限度的訓練，讓學生生動直觀地感受到線性代數強大的力量和魅力所在。

2 突出實用特性的線性代數教學

雖然線性代數的本質為數學課程，但如果按照傳統的教學思路進行授課，只是針對課程中的數學定義、概念和理論進行授課，則無法從根本上改善數學學科的繁難、枯燥、乏味等負面特點，從而很難避免讓學生產生厭學情緒，激發學生的學習興趣更是無從談起。

如果能夠突出線性代數的實用特性，使學生生動真切的感受到線性代數的力量和魅力，結合具體的實際應用背景，則較為容易激起學生的學習興趣，使學生覺得學有所用，感受到學習線性代數這門課程的必要性。那么為線性代數的教學內容找到具體應用的實例，是理論結合實際進行線性代數教學的重中之重，授課教師需要在這方面下功夫鉆研，使得實際應用的例子能完美無縫地銜接進授課內容當中。

一種非常有效的方式就是教師將其自身的科研應用引入到課堂教學當中。教師對自己課題的研究都相當深入，對線性代數在具體應用中的物理意義理解透徹，可以達到深入淺出講解抽象定義和概念的目的。此外，由于教師自身對應用背景較為熟悉，也容易激發學生開展鉆研相關領域研究的興趣，為后續研究生求學或相關領域求職打下基礎。以下通過本課題組科研項目中用到的一個科研實例對矩陣部分的基礎定義和概念開展分析。

2.1 矩陣的相關概念

矩陣：由m譶個元素aij（i=1， 2， …， m； j=1， 2， …， n）排成的m行n列數表，稱為一個m譶矩陣，記為：

其中，aij稱為該矩陣第i行第j列的元素，也可稱為矩陣A的第（i， j）元。

方陣：行數與列數相等的矩陣，稱為方陣。

矩陣的轉置：將矩陣A的各行變成同序數的列得到的矩陣稱為A的轉置矩陣，記為AT。

對稱矩陣：設A=（aij）為n階方陣，若AT=A，即aij=aji，（i， j=1， 2， …， n），稱A為對稱陣。

單純的數學定義無法使學生產生直觀的認識，死記硬背概念和公式不但會使學生本能的產生厭學心理，更為重要的是，即使暫時記住了概念和公式，由于無法理解其深入的含義，過一段時間也會忘記。

2.2 目標識別中矩陣的應用

在圖像處理、數據分類與聚類分析、飛行器設計、自動控制、目標識別領域中，矩陣的應用隨處可見，以下以SAR圖像目標識別中的一個例子對矩陣的應用進行說明。識別時可通過近鄰矩陣的構建描述數據的局部結構，實現數據細節信息的有效捕獲與保持，為高精度識別提供基礎。將近鄰矩陣P的每一個元素Pst建模為以下形式：

（1）

其中，vs和vt表示數據集中的第個和第個樣本，=1，2，3…，表示SAR圖像的訓練樣本總數，exp[Y宂表示指數函數，為常數，實際中可通過交叉驗證方法確定，表示樣本vt的個近鄰點，表示樣本vs的個近鄰點。表征了樣本vs和vt的局部結構信息，可實現數據內在本質特性的準確描述。仔細觀察公式（1）可以發現，如果樣本vs和vt的距離較近，則對應公式（1）的權值較大，如果樣本vs和vt的距離較遠，則對應公式（1）的權值較小。通過構建融入公式（1）的目標函數，即可實現數據局部結構的有效描述。高維空間距離相近的目標樣本，在經過降維處理后，在低維空間里相應樣本之間的距離仍然較近。數據的本質結構特征得到了準確的描述和保持，為高精度的SAR圖像目標識別提供了基礎，有效減弱了目標SAR圖像的方位角敏感特性。

仔細觀察公式（1）可以發現，公式（1）表示的矩陣為一個對稱矩陣，因為P=PT，滿足對稱矩陣的定義。從其物理意義可知，其既可以實現樣本vs和vt之間關系的描述，也可以實現樣本vt和vs之間的關系描述，因為這兩個樣本在空間中的分布是確定的。

通過近鄰矩陣對數據結構進行描述后，可通過分類器實現識別。通過這個具體實際應用中的例子，不僅可以使學生從枯燥的數學定義中擺脫出來，更重要的是讓學生不再迷茫困惑。然而需要說明的是，在教學中也不宜引入過為復雜的矩陣應用，因為復雜的應用和推導又容易使學生產生畏難情緒，或者使得學生陷入復雜的應用背景研究，而忽略了線性代數本身的學習。

3 結論

為克服線性代數教學過程中不可避免的概念定義多、抽象難懂的問題，提高學生的學習主動性，本文提出一種突出實用特性的線性代數教學方法，通過理論教學與科研實際中的具體應用背景中涉及的線性代數知識相結合的辦法，使得學生對枯燥抽象的數學概念有較為生動的理解和掌握，達到提高教學質量的目的。

參考文獻

[1] 王正盛.中外線性代數教材的比較與探討.大學數學，2009.25（1）：200-203.

[2] 陳懷琛.線性代數要與科學計算結成好伙伴.大學數學，2010.26（1）：28-34.

[3] 趙文.線性代數教學的實踐與探索.軍隊院校數學課程創新教學研討會，2012-07-01.

[4] 李玲.工科線性代數教學的思考與體會.黑龍江科技信息，2012（11）：187-187.

[5] 李煒.淺談工科線性代數的教學.杭州電子科技大學學報，2006.2（1）：50-52.

[6] 楊磊.淺談線性代數案例教學法的幾點體會.高校理科研究，2010（20）：536-537.

[7] 馬建榮，劉三陽，高淑萍，陳懷琛，楊威.用MATLAB增強線性代數教學效果的實踐與探索.大學數學課程報告論壇，2008-11-08.