應用隨機過程課程講授探索

劉仁彬

摘 要：本文基于本科應用隨機過程課程教學中授課教師講什么、如何講的問題，結合該課程的知識點和講授實踐，就本科應用隨機過程的授課問題進行了深入的思考和探索。

關鍵詞：應用隨機過程 教學效果 講授內容 講授方式

中圖分類號：G642 文獻標識碼：A 文章編號：1672-3791（2018）02（a）-0147-02

《應用隨機過程》是本科生學習《概率論與數理統計》課程后即將開設的一門后繼課程。它的基本知識和方法，不僅為數學、概率統計專業所必需，也為工程技術、電子信息及經濟領域的應用與研究所需要。 因此，隨機過程的理論、方法和應用越來越受到人們的重視，高等院校的學生、工程技術人員、金融工作者，更迫切地需要學習和掌握隨機過程的知識。

但是本科學生習慣了確定性現象的研究思維和研究方法，對以研究不確定現象為對象的應用隨機過程課程，感覺理論抽象、公式繁瑣，例題聯系廣泛，理解、接受和應用起來難度很大。另一方面，大多數高校都把這門課程列為選修課，課時較短（我校統計專業是40學時，數學與應用數學專業是32學時，全校選修課是32學時）。面對這樣的局面，如何在有限的教學時間內實現理想的教學效果，讓學生理解抽象的概念、掌握定理結論并應用到實際問題中去分析問題和解決問題，克服學生的恐懼畏難情緒，使學生的被動學習轉變為主動學習，最終實現教學中學生為主體老師為主導，這不僅要求學生勤奮努力，更對授課教師提出了較高的要求。講什么？如何講？這是授課教師繞不開的一個主題。 作者結合講授應用隨機過程多年的實踐和體會，進行了如下的思考和探索。

1 對一些概念，講清楚引入它們的原因或作用

在應用隨機過程的教學中，經常出現的一種現象是，授課教師直接給出一些抽象的概念，隨后理論上證明一些定理結論，再講解一些例題。學生不理解引入這些概念有什么用，為什么需要這些概念，僅僅停留在被動學習的不利地位，完全是因為考試而學習。如果講清楚概念引入的原因或作用，將有利于學生加深對概念的理解和掌握。比如，引入事件域σ代數）這一概念時，可以實數集的運算封閉性來談事件域引入的原因。因為實數集具有良好的運算封閉性，即實數的加、減少、乘、除、乘方、開方仍是實數，使得其上建立的函數具有良好的性質。同樣地，為了更好地研究事件概率，需要在事件構成的集合（集類）上定義一個具有良好性質的函數（概率），這就要求這個事件構成的集類對集合的運算具有良好的封閉性，即這個集類的集合經并、交、差、對立事件等運算后仍屬于這個集合。這樣的集類稱為事件域，從而很自然地給出事件域概念，加深了學生的理解。由于事件域對事件運算具有良好的封閉性，使得其上建立的函數（概率）具有良好的性質，再講授概率的幾條性質就很自然了；又比如，為了更好的表示事件，特別是表示一些復雜事件，概率論在樣本空間上定義一個函數，用它的函數值來表示事件，這個函數就是隨機變量，從而引出隨機變量的概念。再比如，對任意實數和樣本空間，由于，，所以要求隨機變量X取值表示的事件概率，只需對任意實數x，求事件的概率，而是x的函數，稱為X的分布函數，這樣就說明了引入分布函數的原因。

2 對相關聯的隨機過程，講清楚它們的區別和聯系

在應用隨機過程課程中，有些隨機過程之間是相關聯的，講清楚它們之間的區別和聯系，可以讓學生理解更透徹。比如，對嚴平穩過程和寬平穩過程來說，它們的均值函數和方差函數存在時均為常數，而自相關函數和協方差函數均為時間間隔的一元函數。但嚴平穩過程不一定是寬平穩過程，反之一樣，也存在既不是嚴平穩又不是寬平穩的隨機過程。具體例子如下：（1）對其密度函數為，則是嚴平穩過程，但不存在，所以不是寬平穩過程；（2）對，因為對有，即該隨機過程的一維分布函數隨時間平移改變，所以該過程不是嚴平穩過程。但由于均值函數，協方差函數只與時間差有關，

且二階矩，故該過程為寬平穩過程。但對，因是t的函數，故該過程既不是嚴平穩過程又不是寬平穩過程。由上述關系可知，當嚴平穩過程也是二階矩過程時必為寬平穩過程。另外，理論上可以證明，對正態過程（Gauss過程）而言，嚴平穩過程等價于寬平穩過程。

3 對具有多個定義的隨機過程，明確它們各自的使用范圍

對隨機過程的多個等價定義，講清楚它們各自的使用范圍，對它們的具體應用是有益的。比如，泊松過程具有如下三個等價定義：

定義1稱計數過程N（t）為參數為的泊松過程，如果（1）N（0）=0；（2）過程有獨立增量；（3）。

定義2 計數過程為參數為的泊松過程，如果（1）N（0）=0；（2）過程具有平穩獨立增量性；（3）對充分小的正數；（4）對充分小的正數。

定義3 稱計數過程N（t）為參數為的泊松過程，如果某事件A發生的間隔時間序列獨立均服從參數的指數分布。

一般，定義1和3常在理論計算和證明中使用，定義2通常在實際問題中用來判斷某個隨機過程是否可近似為泊松過程。

4 對實際工程中常用到的隨機過程，盡量多結合一些實際案列，突出它們的應用價值

結合一些實際案例去理解抽象的隨機過程，對理論上理解和實際中運用有很大的幫助。比如，一段時間內，到某商場購物的顧客數；經過公路某路口的汽車數；保險公司接到的索賠數；細胞中染色體的交換數；計數器上的粒子流和炮彈的彈著點等等，都可以近似看成泊松過程。又比如，一臺機器上某種型號的零件發生故障后立即換上同型號的新零件，則一段時間內換下的零件近似為一個延遲更新過程；再比如，昆蟲沿著一個三角形三條邊在三個頂點間爬行，且以相同的概率爬向相鄰的頂點，則某時刻昆蟲所在的頂點位置是一個時齊鏈；還有上鞅、下鞅和鞅可以描述有利、不利和公平賭博等等例子。

5 對一些抽象難懂的隨機過程，運用數學軟件進行動態演示

有一些隨機過程教材上只給出了抽象的定義，如用傳統的講授方法，學生不易理解和接受，也無法明白其應用價值。比如教材上理論推導了隨機游動的極限過程就是布朗運動，用標準布朗運動定義了漂移布朗運動和布朗橋，比較抽象，學生也難于理解“漂移”和“橋”的特征，如果借助數學軟件編程在多媒體上進行演示，則通過對時間的無限分割可以讓學生看到用隨機游動逼近布朗運動的這個過程，相比傳統的講授更容易讓學生接受。通過對比讓學生對漂移布朗運動中“漂移”有更加形象直觀的認識。通過圖像的實現可直觀地講解為什么這樣的過程稱為“橋”。對具體如何編程實現上述教學效果，可參考文獻。

隨機過程是一門高度抽象應用廣泛的新學科，隨著各領域新問題的出現和新的數學知識的引入，其發展是與時俱進的。在講授隨機過程課程時，既要通曉各領域相關的實際例子，又要深入淺出地講清楚抽象的理論知識，講什么？怎樣講？需要授課教師不斷實踐、探索和積累，只有這樣，才能實現該課程的應用型人才培養目標。

參考文獻

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