世事洞明皆學問，人情達練即文章
—— 期刊閱讀與寫作的幾個關注點

☉安徽省靈璧第一中學 鄭 良

英國作家伯特蘭·羅素在著作《教育和美好的生活》中說：“沒有科學，愛是無力的；沒有愛，科學是破壞性的.”“凡是教師缺乏愛的地方，無論是品格還是智慧都不能充分地或自由地發展.”數學教學的最終目標是學習者會用數學的眼光觀察現實世界（抽象），會用數學的思維思考現實世界（推理），會用數學的語言表達現實世界（模型）.筆者自知愚笨，堅持梳理教學收獲的點點滴滴，訴之于筆端，偶有所得.承蒙年輕同行信任，共同研討寫作乃至專業成長的話題.期刊文章是作者教研成果的體現，代表著相關內容的較高水平.寫作的過程是累積、沉淀、思考、輸出的過程，是對數學綜合認識的總結與提煉.“讀書破萬卷，下筆如有神”，閱讀是一個積極主動的思考、理解和接受信息的過程.通過閱讀專業期刊可以及時學習課程改革理念、了解教學研究和實踐發展最新動態、交流教學認識、積累教學素材、完善認知、開拓視野、提升文采等，實現專業發展.專業閱讀不僅使我們找到了信息源，更為我們提供了專業寫作的方式與方法.

閱讀與寫作不僅讓筆者增加知識，解決疑難問題，強化對話意識，更引領筆者懂得換位思考，學會包容與欣賞.目前，少量文章針對專業閱讀狀況（閱讀率、閱讀者心理）進行了調查研究，而對專業閱讀的關注點的研究則較為少見.筆者不揣淺陋，以《中學數學》（高中版）2017年第12期為例，給出讀刊隨筆，談談對數學期刊閱讀的幾個關注點，與大家商討.

一、未知領域，由點到面，重新聚焦

一般的高中學校教科研氛圍不濃，應試壓力大，導致中學一線教師課業繁重，沒有多少機會接觸先進的教育教學理論.盡管中學教師教學經驗豐富，但其處理的往往是具體的數學問題，對于相對抽象枯燥的教學理論，往往難以做到平心靜氣的消化與吸收.數學期刊中的理論指導教學的文章能理論聯系實際，觀點高屋建瓴，分析鞭辟入里，敘述行云流水，將理念和理論巧妙融合于案例中，內化于無形，給人以美的享受.每個人的不同經歷決定了其掌握的資源是有限的.通過閱讀會遇到一些以前未曾接觸過的事物（教學理論、教學實踐、陌生的試題等），這時我們可先精讀文章，實現從無到有，然后（盡可能閱讀系統的專業書籍）閱讀相關的實證文章與綜述文獻，實現由點到面的擴張，達成對新內容的理解，最后再重新聚焦問題，結合自己的教學實際進行理性分析，判斷是否適合（或以怎樣的方式）運用于教學.如文1中探析“平面向量”概念的教材呈現的基礎為“認知負荷”理論，讀者可查閱該理論的提出、發展、完善等發展歷程，提升對相關內容的理解.又如，在設計新課的情境引入時，不同的教師會有不同的選擇，讀者可對案例中涉及的新情境進行全面考量，辯證分析其優缺點，實現認識的自我提升.

二、相同問題，質疑比對，完善提高

自然界的生存法則告訴我們：“不進即是倒退，停滯等于滅亡.你必須不停地奔跑，才能停在原地.”阿爾溫·托夫勒對于電子信息時代的到來有如下的小結：“微電子技術出現之前，相對地講，社會的變化是緩慢的，人們只能從有限的形象中構造現實模式，他們對世界的理解來自教師、家庭，他們的知識大部分來自直接經驗和書本上的語言形象.”［2］知識的爆炸式增長讓課堂不再是知識灌輸的場所，它要求教師必須對相對穩定的中學數學內容賦予更多的內涵.本質相同的問題，形式不斷演變，內涵日益豐富，倘若教師不能對知識進行更新換代，勢必被時代淘汰.相比之下，期刊能及時關注前沿信息、聚焦熱點，占領制高點，對問題發展與解決具有前瞻性，引領著教育教學發展的方向.

1.注重解題分析，思維自然流淌

閱讀文章時，建議讀者先發散思維，獨立解決，然后再看問題的分析、解析與點評，這樣才不會被作者牽著鼻子走.問題的分析是作者思維過程的展示，解析是解題過程的規范表達，點評往往是觀點的濃縮與提升，它促進讀者的深思和重新以審視的目光進行再閱讀.“小疑則小進，大疑則大進”.閱讀時要積極思考與主動對話，敢于質疑，在讀文章的同時更要讀懂自己.筆者有“不動筆不讀書”的學習習慣，苦思冥想嘗試還原文章的情境現場，對比自己教學時的想法與做法，比較優缺，探尋得失.

例1 （文3例5）已知實數x，y滿足x2+y2≤1，則|2x+y-4|+|6-x-3y|的最大值是______.

文中給出的解析為：因為|2x+y-4|+|6-x-3y|≥|（2x+y-4）-（6-x-3y）|=|3x+4y-10|，x2+y2≤1，所以|3x+4y-10|=-（3x+4y）+10.構造平面向量α=（3，4），β=（x，y）……本題求解目標為“|2x+y-4|+|6-x-3y|的最大值”，由于解題過程中出現了不等式“轉向”（先縮小再放大），與“不等式的傳遞性”矛盾，故推證過程中出現了邏輯錯誤，推證結果無效，這是不等式的求解與證明過程中常見的錯誤.因為x，y的有界性，絕對值三角不等式中的取等條件成立，最終答案是正確的.（含絕對值個數較少的）絕對值不等式的常見處理方式是去掉絕對值，只需將敘述略加調整：因為x2+y2≤1，所以|2x+y-4|+|6-x-3y|=-（3x+4y）+10，具體用線性規劃、三角換元法、構造向量法、柯西不等式等則是技術上的問題.

2.變換設問方式，構建知識網絡

由于通性通法能處理一類問題，揭示出該類問題思想方法的本質，故“強化通性通法，淡化特殊技巧”是教學的基本要求.教學要立足通性通法，構建知識網絡，引導學生在熟練操作后反思問題的模型，比較各具體問題與模型之間的差異，尋找更加靈活的解決方案.根深才能枝葉茂盛，否則學生可能被繁雜的現象掩蓋本質，無法跳出圈子看問題.平時多下功夫完善認知結構，考試時才能進退自如，游刃有余.

文4抓住了運動過程中的“某種”特殊狀態，結合選項用極限策略一招制勝.本題若改為解答題（并非所有客觀題都適合作為解答題），完整的解答又當如何呢？

3.挖掘問題特性，突出因地制宜

若在教學中無視問題特性，固守通性通法往往會使學生思維僵化，將鮮活的數學解題教學淪為機械的解題訓練，學生在呆板的解法中逐步喪失對數學的興趣.反之，若能強化“特殊——一般——特殊”的審題過程，在落實通性通法的同時關注問題的特性，針對具體的問題給出不同的解法，不僅能培養學生的閱讀分析能力，提高學生觀察的敏銳性、思維的敏捷性，還能發散學生思維，提升學生的審美素養.作者為了突出主題，無需（也沒必要）面面俱到，讀者對此的思考必不可少.

例3（文5“題目”）已知由整數組成的數列{an}各項均不為0，其前n項和為Sn，且a1=a，2Sn=anan+1.

（1）求a2的值；

（2）求{an}的通項公式；

（3）若n=15時，Sn取得最小值，求a的值.

利用公式法可得數列 {a2k-1}，{a2k}分別是以a，2為首項，2為公差的等差數列.文5認為“學生易給出錯誤答案：根源，給出針對性的指導并進行補償教學是必要的.現象表明學生沒有弄清an與n（或k）的對應關系，無法從數列公式的形式化中揭示出問題的本質，沒有領悟等差（比）數列通項公式的推導過程（歸納法、累加（乘）法、迭代法）的真諦.下面給出兩種解法：

解法1：當n為奇數時，記n=2k-1，則an=a2k-1=a1+2（k-1）=a-1+n；當n為偶數時，記n=2k，則an=a2k=a2+2（k-1）=n.

解法2：構造以a為首項，1為公差的等差數列{cn}，則cn=a+n-1，則當n為奇數時，an=cn=a+n-1；構造第二項為2，1為公差的等差數列{dn}，則dn=2+（n-2）×1=n，則當n為偶數時，an=dn=n.

由于{a2k-1}（{a2k}）在數列{an}中有規律的跳躍，故嘗試構造“標準”的等差數列.解法1為相關點法，建立an與bk（以n為奇數為例，an=a2k-1=bk）的一一對應關系，通過等差數列通項公式求出規則數列{bk}的通項公式bk=g（k），繼而利用n與k的關系消去k得到an=f（n）.解法2將數列{a2k-1}（{a2k}）相鄰項的差（常數）對該兩項在原數列{an}中的“項數間距”進行平均（標準化），即將按n分類的數列{an}嵌入到（標準化）的等差數列中，通過“割補法”實現數列{an}的化歸與轉化.

文5通過分組求和法求出數列{an}的前n項和Sn.下面再給出兩種解法：

解法1為并項求和法，當n為偶數時，將Sn視為以a+2為首項，4為公差的等差數列的前項和；當n為奇數時，利用偶數時的結論求解，還可寫成Sn=a1+（a2+a3）+（a4+a5）+…+（an-1+an）；解法2充分利用題設中Sn與項an，an+1的關系，從“半成品”入手，避免了“從頭再來”.

又如：對于任意實數x∈［1，5］，|x2+px+q|≤2，不超過的最大整數是______.

記（fx）=x2+px+q，則-2≤（fx）≤2在區間［1，5］上恒成立.若按對稱軸與區間的關系對p分四種情況討論則陷入了計算的海洋，若抓住函數f（x）在長度為4的區間上的最大值與最小值的差不超過4的特性，則鎖定函數f（x），事半功倍.

4.強化追根溯源，揭示問題本質

隨著學習內容的增加，解題經驗的豐富，思維能力的提高，學生的思維脈絡理應越來越清晰.而教學現實則是學生記得越多，混淆越快，學得越多，思路越亂.學生不可謂不努力，教師不能說不辛苦，但教與學方向有失偏頗，教師拋授結論而沒有完全暴露思維過程和揭示問題本源，學生試圖用解題操作中獲得的感性經驗來代替理性分析與總結，致使學生“只見樹木不見森林”“知其然不知其所以然”.理解上的有形無實導致學生只能用操作的熟練程度來彌補認識高度與深度方面的不足，此乃無奈之法，絕非明智之舉.

文6根據橢圓的第二定義將問題轉化為橢圓上一點到橢圓內定點和（與焦點相對應的）準線的距離之和的最小值問題，其原理為點到直線的距離的定義.這類問0）上一點，A（x0，y0）為橢圓C內一定點，F為其右焦點.

（2）求|PA|+|PF|的取值范圍.

其中第（2）問需要利用橢圓的第一定義來求解.

例5 （文6例6）已知點M在圓C：（x-4）2+（y-4）2=8上運動，A（6，-1），O為原點，求（|MO|+2|MA|）min.

問題關鍵點在于“|MO|=2|MB|”，思維過程如下：先嘗試尋找定點D滿足“2|MA|=|MD|”，利用“|MO|+2|MA|=|MO|+|MD|”轉化為“圓C上任意一點M到兩個定點O，D的距離之和最小值”問題，遺憾的是符合題意的點D不存在；再嘗試從“|MO|”中析出常數2，從而得到上述解答.該問題的背景為“阿波羅尼斯圓”（俗稱“圓的第二定義”），若不用以上解法（待定系數法），還可從角平分線切入：連接OC，線段OC交圓C于點E，其延長線交圓C于點F，則E（F）分別為∠OMB的內（外）角平分線與直線OC的交點，由|OE|=2|EB|（|OF|=2|FB|），利用定比分點公式可求出定點B的坐標.

例4與例5外表相同，處理方式不同，本質為曲線上的動點到兩個定曲線（點、線、面等）的距離之和最小問題，其代數形式為閉區間上連續函數的零點定理.變式題還有文7的例2：已知P是直線l：3x-4y+11=0上動點，PA，PB是圓C：x2+y2-2x-2y+1=0的兩條切線，A，B為切點，那么四邊形PACB面積的最小值為______.將問題進行歸類，審視該類題演變的歷程，應用于教學，讓學生拾級而上，漸入佳境，同時也為自己命制試題提供了樣例.又如點P（x0，y0）為橢圓外一點，且點P到橢圓C的兩條切線相互垂直，求點P的軌跡方程.第（2）問的背景為蒙日圓.

5.推敲遣詞造句，表達通俗易懂

作為專業閱讀，讀者更喜歡內容新穎、信息量大、質量上乘與品味高雅的期刊.“有一千個讀者就有一千個哈姆雷特”，任何文章的語言都需要字斟句酌、準確流暢，保證其科學性.若文章表達生硬，抽象晦澀，味同嚼蠟，則會使讀者敬而遠之，失去了交流與傳播的本性；反之，若文章行云流水，言簡意賅，語言優美，內容深入淺出，明確清楚的觀點更易于被讀者理解并接受，輕松活潑充滿趣味性的表達讓場景如詩如畫，閱讀文章就是鑒賞藝術.筆者閱讀期刊時，往往采取精讀的方式對文章進行研讀，逐字逐句地推敲鉆研，力爭做到透徹理解.而對自己發表的文章，反復將原稿與（編輯加工的）刊登稿反復比對，領悟提升.

例6 （文9例1）已知F為拋物線C：y2=4x的焦點，過F作兩條互相垂直的直線l1，l2，直線l1與C交于A，B兩點，直線l2與C交于D，E兩點，則|AB|+|DE|的最小值為（ ）.

A.16 B.14 C.12 D.10

文9中的解法2“直線l1，l2互相垂直，l1與C交于A、B兩點，l2與C交于D、E兩點，要使|AB|+|DE|最小，則A與D，B與E關于x軸對稱，設DE的斜率為1，直線l2的方程為y=x-1……”由對稱性能得到該結論嗎？這個結論是否具有一等號成立.

由對稱性及坐標變換知，用標準方程表示的拋物線焦點在x軸的負半軸或y軸上時，通過計算可知其結論也是成立的，但此說法仍然顯得唐突，不合規范.

教師的本職工作在于教學，教而不研則淺，研而不教則空.教學、閱讀、寫作三位一體.作為課堂教學的教師，我們能更加準確地把握學情、深化對學生的理解、給予學生更多的尊重；作為期刊的讀者（學習者，即學生），我們更了解學生的需求，學會聆聽與交流、對作者與期刊少一分抱怨與旁觀、多一份理解與支持；作為文章的作者，只有理解讀者需求、寫作時才能想別人所想，急別人所急.己所不欲，勿施于人.我們要切實關注自己真實的感觸，深化認知，有感而發，成果才會引起別人的共鳴，才能經受得起時間的考驗.