尋破除解題思維坎的關鍵“點”*

☉江蘇省贛榆高級中學 徐梅香

一、分析現狀，找準問題

圓錐曲線是平面解析幾何的核心內容，也是高考命題的熱點.圓錐曲線題大多是中檔題，教師和學生都給予足夠的重視，在平時教與學的過程中都投入大量的時間和精力.圓錐曲線是學生能否取得高分的一道分水嶺，而好多學生越不過這道坎.在高三二輪復習的時候常會有同學這樣問：“做題時該設點坐標還是設直線的斜率？”從中可以看到，圓錐曲線解答題做題的入口處，也就是如何選參，以哪些對象為載體實施解題過程，學生容易產生解題的困惑和迷茫，從而阻礙思維，于是產生思維坎.

2016年蘇州大學畢業生張平準備學位論文時，在學生對解析幾何中核心概念理解、基本公式的推導與證明以及基本思想運用情況方面做了詳細的研究，研究發現，學生在解析幾何學習中存在的主要問題是：對解析幾何的基本概念與基本公式理解不足；對解析幾何的基本思想理解不到位；代數運算能力弱.

這三個方面問題的總結具有普遍性和代表性，其中以第一個問題為主，思想和方法的滲透需要附著于基礎知識與基本方法，運算能力的提升更要依賴基礎知識的理解和基本方法的運用，“如果不先教明概念，便是教得不好”（夸美紐斯語），因而找尋破除解題思維坎的關鍵“點”應該從根本出發，回歸課本，緊扣教材，從基本概念出發，深度剖析概念的本質，從概念學習領悟過程中找尋破除思維坎的關鍵”點”.

二、剖析概念，尋“關鍵點”

下面以橢圓教學為例，闡述破除圓錐曲線思維坎的關鍵“點”.

1.橢圓的定義刻畫“點”的幾何性質

橢圓的定義：平面內到兩個定點F1，F2的距離的和等于常數（記為2a，大于|F1F2|）的點的軌跡叫做橢圓，兩個定點F1，F2叫做橢圓的焦點，兩焦點間的距離叫做焦距（記為2c，a＞c＞0）.

橢圓上任意一點記為P，可表示為：|PF1|+|PF2|=2a.

（1）看式子的類型，定義描述的是一個動點所滿足的條件是一個等式，變化的對象是一個點，不變的是兩個定點一個常數，點在運動，但是滿足的條件是確定的，因而點P是有確定等量關系的點.

（2）看解題規律，一般總會用已知表示未知，用條件求解結論，此處的點P是可用的點.

（3）看圓錐曲線題型，常出現定值、定點、最值、范圍問題，這些問題背后一定有確定的關系調控著，橢圓的定義揭示的就是一個定值問題，此處的點P是有主動權的點.

（4）看變量類型，橢圓的定義揭示點P是以幾何形式呈現的，它的變化可以用兩條線段的長（兩個變量）來刻畫，此處的點P是可聯系變量的點.

2.橢圓的標準方程揭示點的代數性質

借助平面直角坐標系（坐標法），實現了將幾何條件代數化，點P的代數形式是坐標（x，y），以焦點在x軸上為

（1）該等式涉及兩個變量x，y，點P的可用之處就是它的坐標滿足確定的關系，該式可以整體使用，

以上從兩個方面分析了橢圓上的點所具有的性質，我們完全有理由把橢圓上的點定位為破除圓錐曲線解題思維坎的“關鍵點”.

三、分類研究，以“點”破坎

1.橢圓上一個關鍵點

例1 已知橢圓方程

此處解題的切入口是刻畫點P，設出有條件的兩個變量|PF1|=r1，|PF2|=r2，建立目標函數，運用已知條件（橢圓定義）求解最值問題.

說明：證法一直接使用橢圓上的點P的坐標表示其他相關的點的坐標和直線方程，最終將P滿足的確定的等量關系代入化簡，求得答案.證法二利用斜率刻畫橢圓上點P條件，簡化了直線方程的形式，實質和法一相同.無論哪種方法都歸功于橢圓上點P，它是一個重要的關鍵點，是打開思路的一個切入點.

2.橢圓上兩個關鍵點

（1）滿足一定條件的橢圓上兩個自由關鍵點

圖1

求點P的軌跡方程，即建立P點坐標滿足的等量關系，而橢圓上兩個點M，N就是具有條件的點，用已知條件兩點M，N的坐標關系揭示與之相關的點P的特征，這恰恰符合解題的一般規律.

（2）同是一條直線與橢圓的交點的兩個關鍵點

圖2

需要用點C，D的坐標表示目標，C，D滿足兩個條件，既是橢圓上的點，又是AB平行直線上的點，如果將橢圓上點所滿足的關系（二次方程）直接代入到目標（一次）化簡，勢必引發次數的不匹配，所以需要更換運用條件的順序，引入直線方程，C，D這兩個關鍵點坐標就是直線方程和橢圓方程聯立后方程組的解，可以借助韋達定理，整體代入.

3.橢圓上多個關鍵點（兩個以上），一個主動點

圖3

證明：設P（x0，y）0，A（x1，y）1，B（x2，y2），F（1-c，0），F（2c，0），則

又P（x0，y0）在橢圓上，即有a2y02=a2b2-b2x02，代入上式并化簡得：b2λ12-2 （cx0+c2）λ1-a2-c2-2cx0=0，解得λ1=

P、A、B都是橢圓上的關鍵點，其中P是主動點，A、B兩點可以結合向量條件由P點表示，再將A、B兩點的坐標回代到橢圓方程中，得到λ1（λ2）與同一對象點P坐標的關系，達到證明的目的.

四、結束語

圓錐曲線是訓練學生運算能力，提升思維能力的很好載體.從知識層面上，要熟練掌握圓錐曲線的定義、標準方程及幾何性質.從方法層面上，要重點掌握圓錐曲線中的關鍵點的處理方法，比如橢圓上的一個關鍵點可以直接使用，兩個直線與橢圓的交點問題，通過聯立方程組，解點坐標或者設而不求，整體代入；多個橢圓上的關鍵點可以采用回代的方法.將對橢圓上的點的分析作為探尋解題思路的關鍵，實現做題切入難問題的突破，真正做到以點破坎，學生的思維能力在找點，用點的過程得到了順利提升.從數學思想層面上，方法的落實要依賴思想的引領，代數方法的背后是方程（方程組）思想，坐標使用背后是變量思想，使用過程中要貫穿整體思想、消元思想及函數思想.J