教學(xué)高中數(shù)學(xué)“三角函數(shù)”的幾點(diǎn)策略

☉重慶市綦江中學(xué) 張啟榮

對(duì)于高中數(shù)學(xué)來說，三角函數(shù)這一模塊的知識(shí)內(nèi)容占據(jù)著非常重要的地位，一直以來在高考中三角函數(shù)這部分的知識(shí)內(nèi)容都是考查的重點(diǎn)和熱點(diǎn)，不僅如此，三角函數(shù)還是學(xué)生們解決其他類型題目的一種常見的工具，有些類型的題目若能夠應(yīng)用三角函數(shù)的知識(shí)進(jìn)行解決那么將極大地簡化解題過程、厘清解題思路，學(xué)生們的解題效率以及數(shù)學(xué)素養(yǎng)便會(huì)在不知不覺間得到巨大提升.因此，教師應(yīng)當(dāng)對(duì)這一模塊的知識(shí)給予足夠的重視，盡可能地從多個(gè)方面去探索教學(xué)三角函數(shù)相關(guān)知識(shí)的有效策略.

一、編寫口訣，理解公式內(nèi)涵

在高考中，三角函數(shù)一般會(huì)出現(xiàn)在大題的第一道或者第二道這樣的位置，這足以說明其考查的難度并不大，屬于基礎(chǔ)知識(shí)的考查類.但是，很多學(xué)生卻跟我反映覺得這部分的知識(shí)很難學(xué)，做題時(shí)沒有思路.其實(shí)，產(chǎn)生這種問題的原因就是其對(duì)基本公式的掌握和運(yùn)用并不扎實(shí)，或者只是對(duì)公式進(jìn)行死記硬背，并不能深刻理解公式的內(nèi)涵，導(dǎo)致無法在做題時(shí)應(yīng)用得得心應(yīng)手，舉一反三.

以三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式為例，三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式數(shù)量非常多，所以在記憶時(shí)若能有效借助口訣，那么將極大地減輕學(xué)生們的記憶負(fù)擔(dān)，一句非常簡潔有效的口訣便是：“奇變偶不變，符號(hào)看象限.”其具體含義很好理“sin”變?yōu)椤癱os”，假定α是第一象限在象限的三角函數(shù)的符號(hào)確象限角，第四象限角正弦值為負(fù)，所以符號(hào)為負(fù)，所以公式對(duì)任意角有效，用這公式時(shí)不用理會(huì)α是什么象限的，只要判斷α前面的數(shù)對(duì)應(yīng)的函數(shù)的正負(fù)即可.所以說借助口訣這些公式將很容易被記住，學(xué)生們的學(xué)習(xí)興趣也會(huì)極大提升.

對(duì)于三角函數(shù)的這部分知識(shí)來說，其公式確實(shí)很多，學(xué)生們?cè)谟洃浧饋硪灿幸欢ǖ碾y度，所以教師在教學(xué)時(shí)應(yīng)當(dāng)有效結(jié)合口訣來引導(dǎo)學(xué)生們對(duì)相關(guān)公式進(jìn)行記憶，這樣才能有效提升學(xué)生的記憶效率，增強(qiáng)學(xué)生們的解題技巧.

二、數(shù)形結(jié)合，探尋解題規(guī)律

對(duì)于學(xué)生們來說，如果在解決三角函數(shù)的相關(guān)問題的過程中只單純的運(yùn)用代數(shù)的方法可能解題步驟會(huì)相對(duì)較多，而解題思路也會(huì)比較復(fù)雜，但是如果只用幾何方法的話雖然會(huì)很直觀但是可能得到的結(jié)果不會(huì)很準(zhǔn)確.所以教師在教學(xué)時(shí)要有意識(shí)地引導(dǎo)學(xué)生們運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，使學(xué)生們能夠借助圖形來將復(fù)雜的代數(shù)問題直觀化，這樣學(xué)生們就能夠在逐步的探究中摸索出最佳解題思路，全面提升解題效率.

比如在教學(xué)三角函數(shù)這一部分的內(nèi)容時(shí)，有這樣一道例題：當(dāng)α，t為參數(shù)時(shí)，求y=（4cosα+3-2t）2+（3sinα-1+2t）2中的y的最大值.這道題目就可以通過數(shù)形結(jié)合的思想來進(jìn)行有效解答.因?yàn)橥ㄟ^仔細(xì)觀察之后就可以發(fā)現(xiàn)，這道題中y的形式跟距離公式的形式十分相似，如果學(xué)生們能夠想到這一步，那么問題就迎刃而解了.所以說這道題如果能夠運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的思想進(jìn)行求解那么將極大地簡化計(jì)算過程，如圖1，求y的最大值，即

求點(diǎn)（4cosα，3sinα）和點(diǎn)（2t-3，

圖1

1-2t）之間的距離的最大值，而點(diǎn)（4cosα，3sinα）的幾何圖形是橢圓，點(diǎn)（2t-3，1-2t）的幾何圖形則是直線，因此這道題就轉(zhuǎn)化成了求橢圓與直線之間的最大值了，答案不難解出.所以在解答此類題目的時(shí)候，我們需要讓學(xué)生們秉承數(shù)形結(jié)合的思想，將準(zhǔn)確但抽象的代數(shù)解法與直觀但不夠精準(zhǔn)的圖形解法巧妙融合，這樣不僅可以簡化做題過程，而且堅(jiān)持下去很可能會(huì)形成極強(qiáng)的直覺意識(shí)，一旦看見題目頭腦中便可以反應(yīng)出圖形將答案猜得“八九不離十”.

通過數(shù)形結(jié)合，學(xué)生們能夠以最直觀的方式解決三角函數(shù)的相關(guān)問題，其解題過程也會(huì)很簡單，解題思路也會(huì)異常清晰，所以說這是一種事半功倍的解題方式，這樣堅(jiān)持一段時(shí)間后學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力和創(chuàng)造性思維能力也能得到進(jìn)一步的提升.

三、多元對(duì)比，洞悉基本性質(zhì)

對(duì)于三角函數(shù)來說，其有些公式或者例題的形式很像，所以教師在教學(xué)時(shí)有必要將這類的題目進(jìn)行對(duì)比教學(xué)，這樣學(xué)生們就能夠在對(duì)比的過程中深刻地洞悉其相關(guān)性質(zhì)，學(xué)生們?cè)谧鲱}時(shí)才能夠?qū)⑵潇`活應(yīng)用，這樣不僅能夠節(jié)約做題時(shí)間提升解題效率，還能夠在一定程度上引導(dǎo)學(xué)生形成良好的學(xué)習(xí)習(xí)慣.

比如對(duì)于和差角公式sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB，sin（A-B）=sinAcosB-cosAsinB，cos（A+B）=cosAcosB-sinAsinB，cos（A-B）=cosAcosB+sinAsinB來說，其在形式上非常相似，所以教師在教學(xué)時(shí)可以將這幾個(gè)公式進(jìn)行對(duì)比教學(xué)，在歸納出該公式的相關(guān)性質(zhì)后，學(xué)生們才能夠?qū)ζ湫再|(zhì)有更加深刻的理解.比如通過仔細(xì)對(duì)比上述公式可以發(fā)現(xiàn)，“sin”公式的前后符號(hào)相同，但其等式右邊的形式為“不同±不同”；而“cos”公式的前后符號(hào)不相同，其等式右邊的形式為“相同?相同”，經(jīng)過這個(gè)對(duì)比過程后，學(xué)生們能夠深刻認(rèn)識(shí)到和差角公式之間的區(qū)別和聯(lián)系，而且其對(duì)三角函數(shù)的相關(guān)性質(zhì)也能夠因此而產(chǎn)生更加深刻和全面的理解，所以說這種對(duì)比教學(xué)的做法非常值得提倡和推廣.

三角函數(shù)的公式的數(shù)量確實(shí)很多，學(xué)生們?cè)谟洃浐瓦\(yùn)用時(shí)可能會(huì)有一定的難度，因此，在教學(xué)三角函數(shù)的過程中有必要將一些相似的公式進(jìn)行多元對(duì)比，從公式形式以及性質(zhì)等方面全面區(qū)分，有效提升學(xué)生們對(duì)于相關(guān)公式的理解能力和掌握能力.

四、歸納整理，建構(gòu)認(rèn)知體系

對(duì)于三角函數(shù)這個(gè)模塊的知識(shí)來說，其零碎的知識(shí)點(diǎn)比較多，所以教師應(yīng)當(dāng)引導(dǎo)學(xué)生對(duì)這些知識(shí)進(jìn)行歸納整理，進(jìn)而有效梳理相關(guān)知識(shí)內(nèi)容，建構(gòu)更加完善的知識(shí)體系，這樣學(xué)生們才能夠更加清楚各個(gè)部分的知識(shí)模塊之間的聯(lián)系，這對(duì)于學(xué)生們對(duì)整體知識(shí)的把握將具有極大的促進(jìn)作用.

在學(xué)習(xí)三角函數(shù)時(shí)，學(xué)生們首先學(xué)習(xí)的是角的概念和弧度制的相關(guān)知識(shí)，以此引出了任意角的三角函數(shù)，在這個(gè)過程中需要學(xué)生們掌握單位圓中的三角函數(shù)線以及同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式等，這些知識(shí)是學(xué)生們進(jìn)行后續(xù)學(xué)習(xí)的基礎(chǔ).在這之后，學(xué)生們應(yīng)當(dāng)能夠熟練掌握“sin”、“cos”的誘導(dǎo)公式、兩角和與差的公式、二倍角公式等，在記憶這些公式的時(shí)候可以有效借助于正弦函數(shù)、余弦函數(shù)、正切函數(shù)的圖像和性質(zhì)，周期函數(shù)的特性，這樣能夠提升記憶的效率，學(xué)生們也能夠有效溫習(xí)之前所學(xué)過的知識(shí).而在這些知識(shí)的基礎(chǔ)上，最后的一部分內(nèi)容是對(duì)正弦定理及余弦定理的掌握，教師應(yīng)當(dāng)有效引導(dǎo)學(xué)生們運(yùn)用這些知識(shí)和定理解決一些實(shí)際的問題.經(jīng)過這個(gè)過程后，學(xué)生們對(duì)于三角函數(shù)這部分的知識(shí)的整體就有了一個(gè)更加深刻的把握，各個(gè)部分的知識(shí)也能被有效串聯(lián)，所以說知識(shí)體系的建立和優(yōu)化是非常有必要的.

因此，教師在完成三角函數(shù)這部分內(nèi)容的教學(xué)之后，要通過合適的方式對(duì)這些知識(shí)進(jìn)行系統(tǒng)的整理，并在這個(gè)過程中將知識(shí)連點(diǎn)成線、連線成面，這樣學(xué)生們才能夠?qū)τ谙嚓P(guān)知識(shí)有一個(gè)更加系統(tǒng)的把握，其對(duì)相關(guān)知識(shí)的應(yīng)用能力也會(huì)更上一層樓.

總之，三角函數(shù)作為高中數(shù)學(xué)中的重要內(nèi)容，其獨(dú)特的知識(shí)內(nèi)容和結(jié)構(gòu)體系使得教師在教學(xué)時(shí)必須對(duì)癥下藥，在多種數(shù)學(xué)思想的引領(lǐng)下進(jìn)行高效教學(xué)，這樣不僅能夠減輕學(xué)生們的學(xué)習(xí)負(fù)擔(dān)，還能夠在一定程度上培養(yǎng)和啟發(fā)學(xué)生們運(yùn)用科學(xué)的思想和方法去解決實(shí)際的數(shù)學(xué)問題的能力，這樣在一段時(shí)間之后，學(xué)生們的數(shù)學(xué)思維能力會(huì)極大增強(qiáng)，學(xué)生們的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)也會(huì)不斷提升，極大地促進(jìn)了學(xué)生們的全面發(fā)展和個(gè)性發(fā)展.J