淺談完全平方公式的推導(dǎo)、推廣及在計(jì)算中的應(yīng)用

李小軍

（灌云縣九年制實(shí)驗(yàn)學(xué)校，江蘇 灌云）

完全平方公式是初中階段數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的一個(gè)重要知識(shí)點(diǎn)，也是一個(gè)難點(diǎn)。對(duì)于公式的內(nèi)容，大多數(shù)學(xué)生都能記得，但對(duì)于公式的由來(lái)、結(jié)構(gòu)特點(diǎn)以及深層次的推廣應(yīng)用還是比較陌生的。因此，在實(shí)際運(yùn)用過(guò)程中難免會(huì)出現(xiàn)一些差錯(cuò)。下面，筆者就結(jié)合自己的教學(xué)實(shí)踐和體會(huì)來(lái)談?wù)剬?duì)完全平方公式的理解與認(rèn)識(shí)，希望能給大家?guī)?lái)一點(diǎn)啟發(fā)與幫助。

一、完全平方公式的推導(dǎo)

完全平方公式的內(nèi)容是：（a+b）2=a2+2ab+b2或（a-b）2=a2-2ab+b2，在教學(xué)時(shí)，相信老師們也給學(xué)生傳授了類似于“首平方，尾平方，首尾乘積2倍在中央”的記憶方法或口訣，因此對(duì)于公式的內(nèi)容大多數(shù)學(xué)生還是能夠掌握的，但是這個(gè)公式是如何得到的呢？我們老師在教學(xué)時(shí)都引導(dǎo)學(xué)生去探索了，但學(xué)生功利得只記住了內(nèi)容，而忽略了方法。作為學(xué)生求知路上的組織者、引導(dǎo)者，老師不光要讓學(xué)生知道“是這樣”，更要讓學(xué)生知道“為什么是這樣”，即“知其然，還要知其所以然”。下面筆者從兩個(gè)方面來(lái)談?wù)勍耆椒焦降挠蓙?lái)。

（一）利用多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式法則推導(dǎo)

（a+b）2，根據(jù)乘方的定義可知：（a+b）2=（a+b）（a+b），然后再根據(jù)多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式的法則，拿前面括號(hào)里的每一項(xiàng)與后面括號(hào)里的每一項(xiàng)分別相乘，再把所得的積相加即可。過(guò)程如下：

（a+b）2=（a+b）（a+b）

=a2+ab+ab+b2

=a2+2ab+b2

同樣，（a-b）2也可以通過(guò)以下過(guò)程得到：

（a-b）2=（a-b）（a-b）

=a2-ab-ab+b2

=a2-2ab+b2

注意：對(duì)于中間到底是“+2ab”還是“-2ab”，這并不是只取決于中間的是“+”號(hào)、“-”號(hào)，而取決于括號(hào)內(nèi)的“首項(xiàng)”和“尾項(xiàng)”前的符號(hào)。首尾同號(hào)則加，首尾異號(hào)則減。例如：第一個(gè)式子中，括號(hào)內(nèi)首項(xiàng)是“+a”，尾項(xiàng)是“+b”,所以中間是“+2ab”；而第二個(gè)式子中，括號(hào)內(nèi)首項(xiàng)是“+a”，尾項(xiàng)是“-b”，所以中間是“-2ab”。

（二）利用計(jì)算圖形面積推導(dǎo)

用不同的方法計(jì)算圖1最大正方形的面積，圖2的陰影面積可以推導(dǎo)出完全平方公式。

圖1

圖2

在圖1中，求最大的正方形的面積：

方法 1：S大正方形=（a+b）（a+b）=（a+b）2

方法 2：S大正方形=a2+ab+ab+b2=a2+2ab+b2

因?yàn)橛?jì)算的是同一個(gè)圖形的面積，所以，（a+b）2=a2+2ab+b2

在圖2中，求陰影部分正方形的面積：

方法 1：S陰影=（a-b）（a-b）=（a-b）2

方法 2：S陰影=a2-ab-ab+b2=a2-2ab+b2

因?yàn)橛?jì)算的是同一個(gè)圖形的面積，所以，（a-b）2=a2-2ab+b2

二、完全平方公式的推廣

在上文中，我們完成了對(duì)（a+b）2=a2+2ab+b2和（a-b）2=a2-2ab+b2的推導(dǎo)，得出了上述完全平方公式。公式中的“a”和“b”，它們只是兩個(gè)符號(hào)，“a”和“b”可能表示一個(gè)數(shù)，也可能表示一個(gè)單項(xiàng)式，也可能表示一個(gè)多項(xiàng)式。那么，（多項(xiàng)式）2的計(jì)算公式又是什么呢？

我們可以根據(jù)乘方的定義和多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式法則作如下探索：

（a+b+c）2=（a+b+c）（a+b+c）

=a2+ab+ac+ab+b2+bc+ac+bc+c2

=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc

（a+b+c+d）2=（a+b+c+d）（a+b+c+d）

=a2+ab+ac+ad+ab+b2+bc+bd+ac+bc+c2+cd+ad+bd+cd+d2

=a2+b2+c2+d2+2ab+2ac+2ad+2bc+2bd+2cd

觀察上述兩式計(jì)算過(guò)程及結(jié)果，我們發(fā)現(xiàn)：（多項(xiàng)式）2的計(jì)算結(jié)果就等于每一項(xiàng)的平方再加上括號(hào)內(nèi)所有項(xiàng)兩兩相乘的積2倍的和。

三、完全平方公式及推廣公式的應(yīng)用

學(xué)以致用，下面結(jié)合具體實(shí)例來(lái)探討公式的應(yīng)用。

例 1.計(jì)算（a+3）2

分析：此題括號(hào)內(nèi)多項(xiàng)式由兩項(xiàng)組成，首項(xiàng)是“a”，尾項(xiàng)是“+3”，可根據(jù)“首平方，尾平方，首尾乘積2倍在中央”完成計(jì)算。

解：（a+3）2=a2+2·a·3+32=a2+6a+9

例 2.計(jì)算（3a-4b）2

分析：此題括號(hào)內(nèi)多項(xiàng)式由兩項(xiàng)組成，首項(xiàng)是“3a”，尾項(xiàng)是“-4b”，可根據(jù)“首平方，尾平方，首尾乘積2倍在中央”完成計(jì)算。

解：（3a-4b）2=（3a）2+2·3a·（-4b）+（-4b）2=9a2+（-24ab）+16b2=9a2-24ab+16b2

綜上所述，只要是（多項(xiàng)式）2的形式，都可以用完全平方公式及其推廣公式進(jìn)行簡(jiǎn)便計(jì)算。但在運(yùn)用過(guò)程中，一定要弄清公式結(jié)構(gòu)特征，然后套用規(guī)定格式，最后再化簡(jiǎn)合并，才能順利達(dá)成運(yùn)用完全平方公式進(jìn)行簡(jiǎn)便計(jì)算的初衷。