淺談完全平方公式的推導、推廣及在計算中的應用

李小軍

（灌云縣九年制實驗學校，江蘇 灌云）

完全平方公式是初中階段數學學習的一個重要知識點，也是一個難點。對于公式的內容，大多數學生都能記得，但對于公式的由來、結構特點以及深層次的推廣應用還是比較陌生的。因此，在實際運用過程中難免會出現一些差錯。下面，筆者就結合自己的教學實踐和體會來談談對完全平方公式的理解與認識，希望能給大家帶來一點啟發與幫助。

一、完全平方公式的推導

完全平方公式的內容是：（a+b）2=a2+2ab+b2或（a-b）2=a2-2ab+b2，在教學時，相信老師們也給學生傳授了類似于“首平方，尾平方，首尾乘積2倍在中央”的記憶方法或口訣，因此對于公式的內容大多數學生還是能夠掌握的，但是這個公式是如何得到的呢？我們老師在教學時都引導學生去探索了，但學生功利得只記住了內容，而忽略了方法。作為學生求知路上的組織者、引導者，老師不光要讓學生知道“是這樣”，更要讓學生知道“為什么是這樣”，即“知其然，還要知其所以然”。下面筆者從兩個方面來談談完全平方公式的由來。

（一）利用多項式乘多項式法則推導

（a+b）2，根據乘方的定義可知：（a+b）2=（a+b）（a+b），然后再根據多項式乘多項式的法則，拿前面括號里的每一項與后面括號里的每一項分別相乘，再把所得的積相加即可。過程如下：

（a+b）2=（a+b）（a+b）

=a2+ab+ab+b2

=a2+2ab+b2

同樣，（a-b）2也可以通過以下過程得到：

（a-b）2=（a-b）（a-b）

=a2-ab-ab+b2

=a2-2ab+b2

注意：對于中間到底是“+2ab”還是“-2ab”，這并不是只取決于中間的是“+”號、“-”號，而取決于括號內的“首項”和“尾項”前的符號。首尾同號則加，首尾異號則減。例如：第一個式子中，括號內首項是“+a”，尾項是“+b”,所以中間是“+2ab”；而第二個式子中，括號內首項是“+a”，尾項是“-b”，所以中間是“-2ab”。

（二）利用計算圖形面積推導

用不同的方法計算圖1最大正方形的面積，圖2的陰影面積可以推導出完全平方公式。

圖1

圖2

在圖1中，求最大的正方形的面積：

方法 1：S大正方形=（a+b）（a+b）=（a+b）2

方法 2：S大正方形=a2+ab+ab+b2=a2+2ab+b2

因為計算的是同一個圖形的面積，所以，（a+b）2=a2+2ab+b2

在圖2中，求陰影部分正方形的面積：

方法 1：S陰影=（a-b）（a-b）=（a-b）2

方法 2：S陰影=a2-ab-ab+b2=a2-2ab+b2

因為計算的是同一個圖形的面積，所以，（a-b）2=a2-2ab+b2

二、完全平方公式的推廣

在上文中，我們完成了對（a+b）2=a2+2ab+b2和（a-b）2=a2-2ab+b2的推導，得出了上述完全平方公式。公式中的“a”和“b”，它們只是兩個符號，“a”和“b”可能表示一個數，也可能表示一個單項式，也可能表示一個多項式。那么，（多項式）2的計算公式又是什么呢？

我們可以根據乘方的定義和多項式乘多項式法則作如下探索：

（a+b+c）2=（a+b+c）（a+b+c）

=a2+ab+ac+ab+b2+bc+ac+bc+c2

=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc

（a+b+c+d）2=（a+b+c+d）（a+b+c+d）

=a2+ab+ac+ad+ab+b2+bc+bd+ac+bc+c2+cd+ad+bd+cd+d2

=a2+b2+c2+d2+2ab+2ac+2ad+2bc+2bd+2cd

觀察上述兩式計算過程及結果，我們發現：（多項式）2的計算結果就等于每一項的平方再加上括號內所有項兩兩相乘的積2倍的和。

三、完全平方公式及推廣公式的應用

學以致用，下面結合具體實例來探討公式的應用。

例 1.計算（a+3）2

分析：此題括號內多項式由兩項組成，首項是“a”，尾項是“+3”，可根據“首平方，尾平方，首尾乘積2倍在中央”完成計算。

解：（a+3）2=a2+2·a·3+32=a2+6a+9

例 2.計算（3a-4b）2

分析：此題括號內多項式由兩項組成，首項是“3a”，尾項是“-4b”，可根據“首平方，尾平方，首尾乘積2倍在中央”完成計算。

解：（3a-4b）2=（3a）2+2·3a·（-4b）+（-4b）2=9a2+（-24ab）+16b2=9a2-24ab+16b2

綜上所述，只要是（多項式）2的形式，都可以用完全平方公式及其推廣公式進行簡便計算。但在運用過程中，一定要弄清公式結構特征，然后套用規定格式，最后再化簡合并，才能順利達成運用完全平方公式進行簡便計算的初衷。